兩桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的多層嵌套滑?？刂品椒?/h1>

2014-03-09 02:07:16韓秀英郭愛芳

機(jī)床與液壓訂閱 2014年9期 收藏

關(guān)鍵詞：模面嵌套魯棒性

韓秀英，郭愛芳

(河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽 471003)

兩桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的多層嵌套滑?？刂品椒?/p>

韓秀英，郭愛芳

(河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽 471003)

目前對于兩桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的滑模控制方法大多不能保證子滑模趨近各自滑模面的可達(dá)性和魯棒性，表現(xiàn)為系統(tǒng)的穩(wěn)定過度依賴參數(shù)的選取，控制運(yùn)行擁塞，參數(shù)調(diào)整難度大，實(shí)現(xiàn)困難。為此提出一種多層嵌套滑模控制方法，以改善子滑模趨向各自滑模面的可達(dá)性、魯棒性和快速性。進(jìn)行了系統(tǒng)滑模面的可達(dá)性和穩(wěn)定性分析，并就Pendubot和Acrobot兩類欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行了位置鎮(zhèn)定控制數(shù)值仿真。仿真結(jié)果表明該方法能夠使系統(tǒng)的控制參數(shù)調(diào)整保持一定的連續(xù)性，降低控制擁塞和參數(shù)調(diào)整難度，并有效地提高子滑模趨向各自滑模面的快速性和魯棒性。

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng);Pendubot;Acrobot;位置鎮(zhèn)定控制;滑?？刂?/p>

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是指系統(tǒng)的獨(dú)立控制變量個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)自由度個(gè)數(shù)的一類非線性系統(tǒng)，其例子很多，如空間機(jī)器人、水下機(jī)器人、移動(dòng)機(jī)器人、無人自行車、倒立擺、橋式吊車等，同時(shí)在實(shí)際中某些系統(tǒng)由于驅(qū)動(dòng)器的減少或損壞，整個(gè)系統(tǒng)也會變?yōu)榍夫?qū)動(dòng)系統(tǒng)，其中人為主動(dòng)地將驅(qū)動(dòng)器減少，也會使整個(gè)系統(tǒng)體積減小、質(zhì)量減輕、成本降低。因此欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制研究具有重要意義。

包括Pendubot和Acrobot在內(nèi)的兩桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人是人們較為關(guān)注的典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其兩個(gè)關(guān)節(jié)中一個(gè)是自由的，另一個(gè)是有電機(jī)驅(qū)動(dòng)的。目前對于這兩種欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的控制方法很多，總的來說主要包括智能控制方法［1］、能量控制方法［2－3，9］、無源性控制方法［4］、混雜控制方法［5－9］以及滑?？刂品椒ǎ?0－11］等，其中滑?？刂剖且环N簡單實(shí)用的控制方法，在其滑動(dòng)模態(tài)上運(yùn)動(dòng)時(shí)對于系統(tǒng)不確定性和外界擾動(dòng)具有完全的魯棒性，因此滑?？刂频难芯繉τ谇夫?qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)具有重要的實(shí)際價(jià)值，王偉等人［12］針對Pendubot提出了一種分層滑?？刂品椒?，實(shí)現(xiàn)了對兩個(gè)被控輸出量的同時(shí)控制，有效避免了其它控制方法存在切換力矩大、穩(wěn)定時(shí)間長等不足;姜文超等［11］提出了一種從中間變量出發(fā)構(gòu)造滑模函數(shù)的方法，使得滑?？刂破髯兊酶鼮楹唵巍Ｈ欢壳暗幕？刂品椒ù蠖嗖荒鼙ＷC子滑模趨近各自滑模面的可達(dá)性和魯棒性，表現(xiàn)為系統(tǒng)穩(wěn)定過度依賴參數(shù)的調(diào)整，很多情況下無法調(diào)整出合適的參數(shù)，控制擁塞無法運(yùn)行，甚至發(fā)散，控制任務(wù)難以實(shí)現(xiàn)。

為此，提出了一種多層嵌套滑?？刂品椒ǎ蕴岣咦踊Ｚ呄蚋髯曰Ｃ娴目蛇_(dá)性、魯棒性和快速性。

1 兩桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型

圖1為兩桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，它在鉛直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其中圖1(a)為第一關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)，第二關(guān)節(jié)自由的Pendubot機(jī)器人，圖1(b)為第一關(guān)節(jié)自由，第二關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)的Acrobot機(jī)器人。

圖1 兩桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人

如圖1，q1，q2分別為機(jī)器人第一和第二關(guān)節(jié)的廣義坐標(biāo)。m，l分別為兩桿的質(zhì)量和桿長，這里假設(shè)兩桿為等截面勻質(zhì)桿。τ為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩。根據(jù)第二類拉格朗日方程，可得到兩種機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型

對于圖1(a)和圖1(b)所示的機(jī)器人，其驅(qū)動(dòng)力分別為

模型(1)中慣性矩陣M(q)是對稱正定矩陣，因此式(1)可寫為

2 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的多層嵌套滑?？刂破?/h2>

在鉛直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人有兩個(gè)平衡狀態(tài)，一個(gè)是機(jī)器人垂直指向上方，這種狀態(tài)是不穩(wěn)定狀態(tài)，另一個(gè)是機(jī)器人垂直向下，這種狀態(tài)是穩(wěn)定狀態(tài)。

在此，控制任務(wù)就是將機(jī)器人在有限時(shí)間內(nèi)由垂直向下的穩(wěn)定狀態(tài)鎮(zhèn)定到垂直向上的平衡狀態(tài)。

這里首先構(gòu)造兩個(gè)子系統(tǒng)的滑模函數(shù)作為多層滑模函數(shù)的第一層

式中:c1＞0，c2＞0。

然后利用子滑模函數(shù)s1，s2構(gòu)造第二層滑模函數(shù)

式中:h為常數(shù)。

最后再構(gòu)造第三層滑模函數(shù)

式中:λ1為常數(shù)，λ2為正常數(shù)。

這樣就實(shí)現(xiàn)了對滑模s1的嵌套，以利于避免集成控制造成的擁塞。

選取Lyapunov能量函數(shù)

3 各層滑模面的可達(dá)性分析

定理1:對于系統(tǒng)(2)，采用式(3)—(5)所構(gòu)造的滑動(dòng)平面，如果選取控制律 (7)，則滑模面S滿足可達(dá)性條件。

證明 系統(tǒng)(2)在控制律(7)作用下，由式(8)得，當(dāng)S≠0時(shí)有

因此滿足滑模面S的可達(dá)性條件。證畢。

定理2:對于系統(tǒng)(2)，采用式(3)—(5)所構(gòu)造的滑動(dòng)平面，如果選取控制律 (7)，且參數(shù)h的選取滿足式 (9)，則在滑模S滿足可達(dá)性條件的同時(shí)，子滑模s1，s2至少有一個(gè)滿足可達(dá)性條件。

4 各層滑模面的穩(wěn)定性分析

定理3:對于系統(tǒng)(2)，采用式(3)—(5)所構(gòu)造的滑動(dòng)平面，若采用控制律 (7)，則滑模面S是漸近穩(wěn)定的。

定理4:對于系統(tǒng)(2)，采用式(3)—(5)所構(gòu)造的滑動(dòng)平面，如果選取控制律 (7)，且參數(shù)λ1的選取滿足式 (11)，則子滑模面s1，s2也是漸近穩(wěn)定的。

由式 (11)可知，當(dāng)s1z≥0時(shí)，λ1=a，又λ2＞0，a＞0，因此可保證λ1λ2s1z≥0;當(dāng)s1z＜0時(shí)，λ1=－a，因此可保證λ1λ2s1z≥0，從而保證了式(13)成立，即s1∈L2，s2∈L2成立。

(2)其次證明s1∈L∞，1∈L∞，s2∈L∞，2∈L∞。

5 仿真

欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的參數(shù)為m=3 kg，l=0.8 m。

首先以圖1(a)所示的Pendubot機(jī)器人為控制對象，將其由垂直向下的靜止初始狀態(tài) (q1=π，q2=0)鎮(zhèn)定到垂直向上的狀態(tài) (q1=0，q2=0)，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 Pendubot控制仿真

然后以圖1(b)所示的Acrobot機(jī)器人為控制對象，將其由垂直向下的靜止初始狀態(tài) (q1=π，q2= 0)鎮(zhèn)定到垂直向上的狀態(tài) (q1=0，q2=0)，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 Acrobot控制仿真

6 結(jié)論

針對目前的滑?？刂品椒ù蠖嗖荒鼙ＷC所有滑模趨近各自滑模面的可達(dá)性和魯棒性，控制運(yùn)行容易擁塞，系統(tǒng)穩(wěn)定難于調(diào)整的問題，提出了一種多層嵌套滑模控制方法，并進(jìn)行了滑?？蛇_(dá)性分析和穩(wěn)定性分析。通過仿真表明，該方法能使系統(tǒng)的控制參數(shù)調(diào)整保持一定的連續(xù)性，降低調(diào)整難度，有效地提高所有滑模趨向各自滑模面的快速性和魯棒性。

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Hierarchical Nested Sliding-mode Control of Under-actuated Two-link Manipulators

HAN Xiuying，GUO Aifang
(School of Mechatronics Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang Henan 471003，China)

Currently，the greatest number of sliding-mode control means for the under-actuated two-link manipulators could not be assured of the reach-ability and robustness when all sub-sliding-modes approached one's own sliding-mode planes.It was appeared as stability of the system depended overly on selection of the parameters，and control running congested，and it was difficult to adjust the control parameters and implement.Therefore，a hierarchical nested sliding-mode control method was proposed to improve the reach-ability，robustness and rapidity.Both reach-ability and stability of all the sliding-mode planes were analyzed and numerical simulation of the position stabilization control of the pendubot and acrobot of the under-actuated two-link manipulators was done.The simulation results show that the control means can make adjustment of the control parameters keep more continuous，and decrease the control running congestion and difficulty of the parameters adjustment，and improve effectively the rapidity and robustness when all subsliding-modes approached one's sliding-mode planes.

Under-actuated systems;Pendubot;Acrobot;Position stabilization control;Sliding-mode control

TH112

A

1001－3881(2014)9－033－4

10.3969/j.issn.1001－3881.2014.09.009

2013－05－04

河南省教育廳基礎(chǔ)研究重點(diǎn)項(xiàng)目 (13A460237)

韓秀英 (1971—)，女，學(xué)士，實(shí)驗(yàn)師，研究方向?yàn)闄C(jī)械系統(tǒng)測試及控制。E－mail:lhybxy@163.com。

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