α-冪過(guò)程下閾值為幾何過(guò)程的沖擊模型

杜倩男，吳清太，黃 凱

(南京農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京210095)

早期的維修模型研究中，大部分考慮完美維修模型，即系統(tǒng)是“修復(fù)如新”的.然而，在實(shí)際情況中，系統(tǒng)的失效修理是“修復(fù)非新”的，系統(tǒng)修理后的壽命逐漸遞減，與此同時(shí)系統(tǒng)的修理時(shí)間會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)，并最終不能再工作，也不能再被修理，稱這樣的系統(tǒng)為退化系統(tǒng).文獻(xiàn)［1-2］中用一種單調(diào)的幾何過(guò)程來(lái)模擬這種隨機(jī)現(xiàn)象.文獻(xiàn)［3-5］利用幾何過(guò)程對(duì)單部件可修系統(tǒng)進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)［6］中將最優(yōu)更換策略引入可靠性研究中.文獻(xiàn)［7］中提出了一種全新的單調(diào)過(guò)程，即α-冪過(guò)程，并發(fā)現(xiàn)該過(guò)程與幾何過(guò)程具有相似的性質(zhì).文獻(xiàn)［8］中研究了退化系統(tǒng)的α-冪過(guò)程維修模型的最優(yōu)更換策略的單調(diào)性，根據(jù)最優(yōu)更換策略關(guān)于某一參數(shù)的單調(diào)過(guò)程，當(dāng)參數(shù)改變時(shí)，相應(yīng)地改變更換策略.文獻(xiàn)［9］中利用α-冪過(guò)程對(duì)一類退化系統(tǒng)進(jìn)行了研究，采用更換策略N，得到系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行下的平均費(fèi)用率表達(dá)式，找到了相應(yīng)的最優(yōu)更換策略N*，并驗(yàn)證了最優(yōu)更換策略的存在性和唯一性.

一些文獻(xiàn)只假設(shè)系統(tǒng)失效時(shí)由于內(nèi)部因素，如衰老和退化造成的，然而在實(shí)際過(guò)程中，外部沖擊也可能引起系統(tǒng)的失效，例如，一個(gè)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)就可能由于外部病毒的入侵而引起計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的失效．文中把病毒入侵看作是外部沖擊，沖擊模型是可靠性理論中的主要模型之一，它主要分成3類:累積沖擊模型、極值沖擊模型和δ-沖擊模型．而文中主要研究極值沖擊模型，即單次沖擊對(duì)系統(tǒng)的影響相互獨(dú)立，當(dāng)某次沖擊的沖擊量太大，超過(guò)了系統(tǒng)的閾值時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)失效［10］．

以上文獻(xiàn)大多研究系統(tǒng)失效僅由沖擊引起，但有時(shí)系統(tǒng)失效不僅由外部沖擊引起，也可能由內(nèi)部因素引起．文獻(xiàn)［11］中提出了由外部原因(如沖擊)和內(nèi)部原因引起的兩個(gè)不同部件的冷貯備可修系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題，在外部的沖擊流為泊松流，部件的內(nèi)部壽命和修理時(shí)間遵從擴(kuò)展的泊松過(guò)程的假定下，給出了該系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠度、首次故障前平均時(shí)間、穩(wěn)態(tài)可用度和穩(wěn)態(tài)故障頻度等可靠性指標(biāo)，并研究了基于部件1的系統(tǒng)最優(yōu)更換策略(T，N)*，其中T為部件的總使用時(shí)間，N為部件1的失效次數(shù)．

基于以上文獻(xiàn)，文中研究了泊松沖擊下的可修系統(tǒng)．沖擊到達(dá)服從泊松過(guò)程，采用極值沖擊模型．遞增的幾何過(guò)程是以對(duì)數(shù)方式緩慢增長(zhǎng)，而遞減的幾何過(guò)程卻會(huì)急劇減小，幾何過(guò)程整體變化趨勢(shì)比較平緩，α-冪過(guò)程則以冪級(jí)數(shù)或指數(shù)方式變化，變化趨勢(shì)顯著，并且α-冪過(guò)程滿足中心極限定理，而幾何過(guò)程不滿足．因此，假設(shè)部件失效后修理時(shí)間構(gòu)成遞增的α-冪過(guò)程，且部件受到的沖擊強(qiáng)度不變，其受到?jīng)_擊失效后的閾值服從幾何過(guò)程，通過(guò)更新報(bào)酬定理得出系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行下單位時(shí)間的平均成本率函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從分析方法和數(shù)值方法上證明最優(yōu)更換策略的存在和唯一性．最后，通過(guò)數(shù)值例子證明文中結(jié)論的正確性，并在所有參數(shù)都給定的條件下，求出系統(tǒng)相應(yīng)的最優(yōu)更換策略．

1 模型假設(shè)

定義1 假設(shè) ξ，η為兩個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù) α，有

則稱ξ隨機(jī)地大于η，或者稱η隨機(jī)地小于ξ．

定義2 設(shè){Xn，n=1，2，3，…}為非負(fù)獨(dú)立隨機(jī)變量序列，如果存在實(shí)數(shù)α，使得Xn的分布函數(shù)為Fn(t)=F(nαt)，n=1，2，…，則{Xn，n=1，2，3，…}稱為α－冪過(guò)程，若EX1=λ，則

從定義2可知:

1)若 α＜0，則{Xn，n=1，2，…}是隨機(jī)遞增的α－冪過(guò)程;

2)若 α＞0，則{Xn，n=1，2，…}是隨機(jī)遞減的α－冪過(guò)程;

3)若α=0，則{Xn，n=1，2，…}為更新過(guò)程．

假設(shè)1 系統(tǒng)為一個(gè)部件組成的簡(jiǎn)單可修系統(tǒng)．開始時(shí)系統(tǒng)是新的，當(dāng)系統(tǒng)失效時(shí)修理工立即修理系統(tǒng)．

假設(shè)2 系統(tǒng)從第n－1次失效維修完成到第n次失效維修完成的時(shí)間間隔為系統(tǒng)的第n個(gè)周期．在沒受到?jīng)_擊的情況下，系統(tǒng)從開始工作到失效的時(shí)間叫做系統(tǒng)的內(nèi)部壽命．系統(tǒng)失效可能由外部沖擊和內(nèi)部因素兩方面構(gòu)成．系統(tǒng)不斷受到?jīng)_擊流的影響，沖擊流為泊松流 {N(t)，t≥0}，其強(qiáng)度為λ＞0．系統(tǒng)在第n個(gè)周期內(nèi)受到第j次的沖擊量的大小為，j，{，j，n=1，2，…;j=1，2，…}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，分布函數(shù)為K(x)．系統(tǒng)受到?jīng)_擊量為

n，j的沖擊時(shí)，系統(tǒng)的閾值為 τn，j，當(dāng)沖擊量，j大于閾值 τn，j時(shí)，系統(tǒng)失效．對(duì)于一個(gè)固定的n，{τn，j，j=1，2，…}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量且閾值形成一個(gè)幾何過(guò)程．即記τn，j的分布函數(shù)為:

則有 Φn，j(x)=Φ(dn－1x)，n=1，2，…;j=1，2，…假設(shè)各次沖擊對(duì)系統(tǒng)的影響是相互獨(dú)立的，與沖擊的歷史無(wú)關(guān)．

假設(shè)3 記在第n個(gè)周期內(nèi)，系統(tǒng)的內(nèi)部壽命、工作時(shí)間、修理時(shí)間分別為Xn，Un，Yn，并且它們的分布函數(shù)分別為L(zhǎng)n(x)，F(xiàn)n(x)，Gn(x)．

假設(shè)4 系統(tǒng)的失效修理是“修復(fù)非新”的，假設(shè)系統(tǒng)的內(nèi)部壽命和修理時(shí)間均服從α－冪過(guò)程．在第n個(gè)周期內(nèi)，內(nèi)部壽命和修理時(shí)間均服從一般分布，即有:

這里{Xn，n=1，2，…}是隨機(jī)遞減的α－冪過(guò)程，{Yn，n=1，2，…}是隨機(jī)遞增的 α－冪過(guò)程．記EX1=γ，EY1=μ

假設(shè)5 系統(tǒng)更換使用全新的同型部件，且更換時(shí)間忽略不計(jì)．

假設(shè)6 設(shè)單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的維修費(fèi)用為Cr，工作報(bào)酬為Cw，系統(tǒng)更換一次的費(fèi)用為R0.

假設(shè)7 所有的隨機(jī)變量、隨機(jī)變量與沖擊過(guò)程都是相互獨(dú)立的.

2 最優(yōu)更換策略N*

文中考慮基于系統(tǒng)的失效次數(shù)的更換策略N，文中的目的是找到最優(yōu)更換策略N*，使得系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行的期望損失達(dá)到最小.令T1為第1次更換的周期，Tn為系統(tǒng)的第n－1次更換結(jié)束到第n次更換結(jié)束的時(shí)間間隔，n=2，3，….則{Tn，n=1，2，3，…}形成了一個(gè)更新過(guò)程，而相鄰兩次的更換時(shí)間間隔就形成一個(gè)更新周期.

基于以上假設(shè)，可以得到，在第n個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)經(jīng)受一次沖擊引起失效的概率為:

因此，每經(jīng)受一次沖擊不引起系統(tǒng)失效的概率為1－rn.

記ξn為在第n周期系統(tǒng)受到?jīng)_擊的工作時(shí)間，則有以下引理［11－12］:

引理1 若ξn的分布函數(shù)為Vn(x)，則C(N)表示更換策略N下的系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)的平均損失.因此，由文獻(xiàn)［13］中的更新報(bào)酬理論可得:

由假設(shè)3，系統(tǒng)的工作時(shí)間為Un=min{Xn，ξn}，由于在同一周期n內(nèi)，系統(tǒng)的內(nèi)部壽命Xn與系統(tǒng)受到?jīng)_擊的工作時(shí)間ξn是互不干擾的，所以Xn與ξn是相互獨(dú)立的.因此Un的分布函數(shù)為:

其中，

將式(6，7)代入式(5)，可得

式中:

文中目的是找到最優(yōu)更換策略N*，使得系統(tǒng)的平均費(fèi)用率C(N)或A(N)最小.因此，需要研究A(N+1)與A(N)的單調(diào)性.

這里作一個(gè)輔助函數(shù)g(N):

由于A(N+1)－A(N)的分母符號(hào)總大于0，則A(N+1)－A(N)的符號(hào)就取決于分子的符號(hào)，因此有以下引理2.

引理2A(N+1)＞(=，＜)A(N)?g(N)＞(=，＜)1.

引理2表示A(N)的單調(diào)取決于g(N)的值.下面來(lái)證明最優(yōu)更換策略的存在性和唯一性.

3 最優(yōu)更換策略的存在性和唯一性

為了找到最優(yōu)更換策略，先研究g(N+1)－g(N)的值.令，則有

則g(N+1)－g(N)的值為:

從而得到以下定理和引理.

引理3 根據(jù)假設(shè)4，g(N)是隨N單調(diào)遞增的.

定理1 最優(yōu)更換策略N*為:

這就證明了最優(yōu)更換策略的存在性.進(jìn)一步，若g(N*)＞1，則最優(yōu)更換策略也是唯一的.

為了根據(jù)定理1找到最優(yōu)更換策略，有以下3種情況:

1)若g(1)＞1，那么最優(yōu)更換策略是當(dāng)部件第1次失效時(shí)立即更換新部件.

3)由定理2，可以找到最優(yōu)更換策略，從N=1開始計(jì)算g(N)的值，因?yàn)橐?證明了g(N)是遞增的，那么存在一個(gè)N*，并且N＜N*?g(N)＜1，所以由定理2和引理3可知N*是最優(yōu)更換策略.

4 數(shù)值模擬

將給出一個(gè)數(shù)值例子來(lái)證明模型的理論結(jié)果.假設(shè)沖擊X^1和閾值τ1，1的分布函數(shù)如下:

由前面假設(shè)2可知Φn，j(x)=Φ(dn－1x)，于是可得出

假設(shè)Xn和Yn的分布函數(shù)分別為:

代入式(4)，則系統(tǒng)的工作時(shí)間為:

則系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行，平均費(fèi)用率C(N)和g(N)表達(dá)式為:模型參數(shù)分別設(shè)為:

a=0.2，b=－0.98，d=1.15，μ=0.2，

λ=0.5，Cr=4，Cw=34，R=100將參數(shù)值代入式(15，16)，通過(guò)Matlab計(jì)算，結(jié)果如圖1，2和表1所示.

圖1 更換策略N和平均損失的關(guān)系Fig.1 Relation between replacement policy Nand the average cost

圖2 更換策略N和g(N)的關(guān)系Fig.2 Relation between g(N)and replacement policy N

表1 更換策略N與g(N)，C(N)之間的關(guān)系數(shù)值Table 1 Values of C(N)and g(N)against replacement times N

由圖1和表1可知，當(dāng)N≤8，系統(tǒng)失效由受外部沖擊和內(nèi)部因素引起時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行，單位時(shí)間內(nèi)的平均損失C(N)隨N單調(diào)遞減，當(dāng)N＞8時(shí)，C(N)隨N單調(diào)遞增.則使得系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行的平均費(fèi)用率最小的最優(yōu)更換策略為N*=8，此時(shí)C(N)=－3.7845為系統(tǒng)最小平均費(fèi)用率.由圖2可得，g(N)隨N單調(diào)遞增，這就暗示了最優(yōu)更換策略的存在性和唯一性，驗(yàn)證了文中第3節(jié)的理論.并且也可以由g(N*)=g(8)=1.0705找到最優(yōu)更換策略N*=8，與之前相一致.這表示系統(tǒng)在第8次失效時(shí)就應(yīng)該更換系統(tǒng)了.

5 結(jié)論

文中研究了泊松沖擊下的單部件可修系統(tǒng).系統(tǒng)失效可能由外部沖擊和內(nèi)部原因引起，沖擊到達(dá)服從泊松過(guò)程.在假定系統(tǒng)閾值呈現(xiàn)幾何過(guò)程和修理過(guò)程為α-冪過(guò)程的基礎(chǔ)上，通過(guò)更新報(bào)酬定理求出系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行下單位時(shí)間的平均成本率函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從分析方法和數(shù)值方法上證明最優(yōu)更換策略的存在和唯一性;最后，通過(guò)數(shù)值例子證明文中導(dǎo)出的結(jié)論的正確性，并在所有參數(shù)都給定的條件下找出系統(tǒng)的最優(yōu)更換策略，驗(yàn)證了文中的結(jié)論.

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