不定積分解法研究

李明

（蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 蘇州 215104）

不定積分解法研究

李明

（蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 蘇州 215104）

不定積分形式千變?nèi)f化，這種形式上的多變和易變給高職學(xué)生解題帶來非常大的困難，面對(duì)高職學(xué)生現(xiàn)狀和特點(diǎn)，立足基礎(chǔ)，歸納基本方法，通過對(duì)比增強(qiáng)解法間的區(qū)分度，幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確地選擇積分方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，在此基礎(chǔ)上，展開有意的思維拓展才是有效的.

不定積分；積分方法；解法研究

極限、導(dǎo)數(shù)和積分是微積分的三大概念，極限是導(dǎo)數(shù)和積分的基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)與積分是互逆運(yùn)算.積分中不定積分的概念不抽象也不難理解，但公式多且形式千變?nèi)f化，而高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，缺乏分析問題和解決問題的能力，不會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行有效遷移，造成了學(xué)生學(xué)完不定積分的各種解法后仍不知所措.經(jīng)多年教學(xué)總結(jié)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生并非未掌握各種解法，而是面對(duì)積分的眾多解法及解題思路時(shí)，混淆了解法之間的區(qū)別所致，針對(duì)這樣的情況，總結(jié)積分類型，羅列對(duì)應(yīng)解法，通過對(duì)比加強(qiáng)解法間的區(qū)分度，幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確地選擇積分方法，是解決這一困境的有效辦法[1].

目前，高職院校高等數(shù)學(xué)課程中所傳授的不定積分解法有四種，分別是直接法、湊微分法、變量代換法和分部積分法.每一種解法都是為了解決一個(gè)難點(diǎn)而產(chǎn)生的.

1 直接法

分析錯(cuò)解的原因：（1）積分只有加減法法則，沒有乘除法法則；（2）被積函數(shù)是冪函數(shù)，屬于基本初等函數(shù)，只要被積函數(shù)屬于基本初等函數(shù)都可以通過16個(gè)公式直接得到結(jié)果.因此，會(huì)背公式，但不分析16個(gè)基本公式被積函數(shù)的特點(diǎn)，也很難做到應(yīng)用自如.

2 湊微分法

湊微分法需要使用化簡、變形，然后才能使用公式，知識(shí)難度大，解題需要較高的技巧和積累，學(xué)生往往感覺無從下手，不知所措，教師需要做到以下幾個(gè)方面：

（1）對(duì)比法.所謂對(duì)比法是與錯(cuò)例展開對(duì)比，加強(qiáng)區(qū)分度，總結(jié)出常用湊微分式子.表1所列內(nèi)容是搜集了學(xué)生平時(shí)易錯(cuò)易混淆的知識(shí)點(diǎn)，通過對(duì)比法教學(xué)，能較大程度減少學(xué)生學(xué)習(xí)湊微分的困難，提高教學(xué)效果.導(dǎo)數(shù)與積分互逆，這樣的對(duì)比可以從導(dǎo)數(shù)與積分的16個(gè)基本公式中列舉出更多.

表1 湊微分正誤對(duì)照表

（2）逐次湊微分法.所謂逐次湊微分法是針對(duì)需要兩次及兩次以上使用湊微分公式的，具有較大難度湊微分問題的解決辦法.如

(3）整體代換法.所謂整體代換法是一種整體意識(shí)的表現(xiàn)形式，是將被積函數(shù)（或被積函數(shù)中的某因子）看成一個(gè)整體，使得湊微分后，微分因子也具有相同的式子，可達(dá)到整體代換的目的.如

解析：以基本公式∫cos xdx=si n x+C為參考，較容易得出將cos2x中的2x看成一個(gè)整體，湊微分后，微分符號(hào)d后也要湊成2x這個(gè)整體，自然有湊微分式子dx=d（ 2x ），然后做整體代換u=2x即可得出正確的結(jié)果.再如，

（4）類型辨別法.所謂類型辨別法是將被積函數(shù)按函數(shù)類型分類進(jìn)行解法歸納的一種方法.

類型Ⅰ被積函數(shù)為有理分式，歸納為以下四種解法：

第一種解法：直接湊微分，此時(shí)被積函數(shù)中含有明顯的可湊微分因子，如

cosxdx=d(sinx),secxtanxdx=d(secx),sec2xdx=d (tanx)等等.

第二種解法：利用三角恒等式關(guān)系，如

以上例子的被積函數(shù)具有較大的相似度，但是方法確相差較大，這些例子的講解過程，也較好地實(shí)施了對(duì)比和反差，為后期學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3 變量代換法

此解法是需要學(xué)生對(duì)積分知識(shí)的積累，更需要學(xué)生的思維拓展，以及對(duì)積分各種解法的熟練掌握.

4 分部積分法

分部積分法是教師實(shí)施錯(cuò)誤體驗(yàn)教學(xué)的絕佳環(huán)節(jié).其基本原理是∫udv=uv-∫vdu，主要解決被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)相乘的形式，解法與u的選取有關(guān)，u選擇對(duì)了，分部積分也就成功了.而u的選取過程教師應(yīng)該讓學(xué)生體驗(yàn)錯(cuò)誤，經(jīng)歷了錯(cuò)誤，才知道選擇正確的方法是什么，從而才能得到u應(yīng)遵循以下規(guī)律，見表2[2]

表2 分部積分法中u的選取規(guī)律

5 結(jié)束語

雖然不定積分定理少，但公式多形式復(fù)雜，千變?nèi)f化，這種形式上的多變和易變給高職學(xué)生學(xué)習(xí)帶來非常大的困難，面對(duì)高職學(xué)生現(xiàn)狀和特點(diǎn)，立足基礎(chǔ)，歸納基本方法才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，在此基礎(chǔ)上，展開有意的拓展才是有效的[3].

[1]吳鳳珍.不定積分教學(xué)研究[J].蘭州教育學(xué)院學(xué)報(bào),2013, 29(4):71-73.

[2]許艾珍,黃莉萍,李明.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用教程[M].北京:航空工業(yè)出版社,2010.

[3]段馨娜.不定積分的題型歸納[J].呂梁教育學(xué)院學(xué)報(bào),2013,30(1):96-98.

Indefinite Integral Method Research

LI Ming
(Suzhou Institute of Industrial Technology,Suzhou Jiangsu 215104)

Indefinite integral forms are changeable and mutable which brings great difficulties to higher vocational students.Facing the present situation and characteristics of the higher vocational students basing on the foundation, this paper summarized the basic method, comparied the degree of differentiation between solution, helped students to quickly and accurately choose integral method, in order to stimulate students' interest in learning, enhance students' self-confidence.

Indefinite Integral; Integral Method; Method Research

O172

A

1672-2094(2014)05-0150-04

責(zé)任編輯：張隆輝

2014-06-18

李 明（1975-），女，蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院文化與藝術(shù)系副教授，碩士.研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.