雙層結(jié)構(gòu)月球的自由天平動(dòng)與受迫天平動(dòng)

李文瀟,Alexander GUSEV,平勁松,張同杰

(1.北京師范大學(xué)天文系,北京100875;2.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)月球與深空探測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100012; 3.俄羅斯喀山聯(lián)邦大學(xué),喀山420008)

雙層結(jié)構(gòu)月球的自由天平動(dòng)與受迫天平動(dòng)

李文瀟1,2,Alexander GUSEV2,3,平勁松1,2,張同杰1

(1.北京師范大學(xué)天文系,北京100875;2.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)月球與深空探測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100012; 3.俄羅斯喀山聯(lián)邦大學(xué),喀山420008)

根據(jù)JPL/NASA發(fā)布的月球行星歷表DE430/LE430提供的月球物理參數(shù),計(jì)算了月球主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;使用剛體月球轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程獲得的月球物理天平動(dòng)解析關(guān)系式,計(jì)算了不同分層模型的月球自由天平動(dòng)三個(gè)模式的頻率及周期,比較并討論了不同的解析結(jié)果;在此基礎(chǔ)上,評(píng)估了月球受迫天平動(dòng)一個(gè)模式的幅度。

月球天平動(dòng);解析方法;頻率及周期;幅值

0 引 言

月球天平動(dòng)是對(duì)月球運(yùn)動(dòng)在空間擺動(dòng)的描述。它是月球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)軌道以及周圍天體對(duì)月球的力的作用的綜合表現(xiàn)。根據(jù)月球激光測(cè)距和月震觀測(cè),目前推測(cè)月球有多層結(jié)構(gòu),包括殼、幔、外核、內(nèi)核等。本文涉及的層次結(jié)構(gòu)只包含核、幔兩層模型。依據(jù)卡西尼定則,月球自轉(zhuǎn)周期等于其公轉(zhuǎn)周期;月球赤道與黃道相交成1°32′角;月球自轉(zhuǎn)軸、月球軌道平面的法線以及黃道面的法線三者共面,且第三者處于前兩者之間。

物理天平動(dòng)的理論基礎(chǔ),主要是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,此處方程由卡西尼第一定律簡(jiǎn)化得到,并進(jìn)行小量線性近似。對(duì)剛體月球,轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為經(jīng)典的歐拉-劉維爾方程[1]

1 自由天平動(dòng)

1.1 自由天平動(dòng)解析理論

對(duì)剛體月球,不考慮液態(tài)核、潮汐變形以及潮汐耗散的影響,滿足自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)共振的一階線性轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程組為[1]

式中:p1,p2表示月球參考系中橢圓軌道面的法向極軸位置;f1,f2,f3為獨(dú)立于旋轉(zhuǎn)參量的表達(dá),與外部力矩有關(guān);n為月球平均角速度;α,β,γ為動(dòng)力學(xué)橢率,由月球(此處將月球看作慣性橢球)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(A＜B＜C)得來(lái),其表達(dá)形式為

其中,α,β,γ的取值選用JPL DE430歷表中給出的值,分別為[3]:β=6.310 213×10-4,γ=2.277 317× 10-4,α的值可由β和γ獲得,α=4.032 897×10-4。

1.2 自由天平動(dòng)特征頻率與周期解析式

Rambaux和Williams(2011)[1]給出了自由天平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程組的特征頻率的解析式。對(duì)經(jīng)度天平動(dòng)

對(duì)緯度天平動(dòng),其特征頻率不同,在月固坐標(biāo)系內(nèi)和空間坐標(biāo)系內(nèi)分別為

對(duì)極軸天平動(dòng)

對(duì)剛體月球整體,通過(guò)全月觀測(cè),可獲得全月動(dòng)力學(xué)橢率值,而其3個(gè)關(guān)系式?jīng)Q定的值只有兩個(gè)是獨(dú)立的,第3個(gè)可由其他兩個(gè)推得。同時(shí),若之后考慮月球內(nèi)部分層結(jié)構(gòu)的天平動(dòng)頻率、周期,則需要獲得月球內(nèi)部對(duì)應(yīng)層次的動(dòng)力學(xué)橢率,即通過(guò)全月與月核的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)系,得到月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,進(jìn)而獲得月核動(dòng)力學(xué)橢率,方便討論月核的天平動(dòng)狀態(tài)。

關(guān)于月球平均運(yùn)動(dòng)的情況,可在網(wǎng)址http:// hea.iki.rssi.ru/～nik/astro/links.htm獲得,Torbit= 27.321 661 d,e=0.054 9,恒星年天數(shù)1 a= 365.256 36 d,而月球公轉(zhuǎn)平均角速度有(單位:rad/s)

1.3 剛體月球(全月)的自由天平動(dòng)

基于文獻(xiàn)[2]中的月球物理參數(shù),我們可以得到剛體月球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的3個(gè)分量。在對(duì)剛體月球轉(zhuǎn)動(dòng)耗散的討論中,Williams給出了如下關(guān)系[3]

將C/m R2歸一化,使m R2內(nèi)含在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的C部分。比較動(dòng)力學(xué)橢率的定義式可得

進(jìn)一步可得剛體月球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各分量的歸一化平均值,分別為

代入所需量,得到結(jié)果。將以上所得結(jié)果整理為表1,并且進(jìn)一步可得自由天平動(dòng)不同模式的特征頻率,及其對(duì)應(yīng)周期,所得結(jié)果整理入表2。

表1 基本參量計(jì)算結(jié)果Table 1 Values of basic parameters

表2包含了自由天平動(dòng)的頻率和周期。通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn),數(shù)值結(jié)果無(wú)法定位到不同參考系下的緯天平動(dòng);數(shù)值解和解析解的結(jié)果不同。數(shù)值解與解析解之間的差別,可能由幾種原因帶來(lái),一為使用數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差,二為微分轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程的近似,三為微分方程特征解的近似。具體原因,有待進(jìn)一步對(duì)模型進(jìn)行深入研究與討論,確定差別來(lái)源。解析分析的好處在于,其物理模型建立合理,對(duì)研究理解物理天平動(dòng)的物理機(jī)制,有重要意義。數(shù)值分析的好處在于,短周期天平動(dòng)結(jié)果,可由月球歷表提取獲得,其周期和幅值可靠度高,但長(zhǎng)周期的歷表數(shù)據(jù),為觀測(cè)歷表擬合延伸獲得,長(zhǎng)周期(低頻)項(xiàng)可能由擬合過(guò)程產(chǎn)生。

表2 剛體月球自由天平動(dòng)頻率及周期Table 2 Frequencies and periods of free librations for rigid Moon

1.4 月球流體核的自由天平動(dòng)

在對(duì)剛體月球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、動(dòng)力學(xué)橢率以及自由天平動(dòng)頻率周期討論的基礎(chǔ)上,依據(jù)月球整體與核的關(guān)系,可對(duì)月核的自由天平動(dòng)做簡(jiǎn)單討論。

月球從表面到核,根據(jù)不同判斷標(biāo)準(zhǔn)以及測(cè)量方式,可以分為多個(gè)層次,如殼、幔、核幔邊界、外核及內(nèi)核。動(dòng)力學(xué)研究中,我們沒(méi)法分辨這么多層次,尤其是最初的研究討論,只能從最簡(jiǎn)單的模型入手,故我們討論的為將月球分為幔、核的兩層結(jié)構(gòu),同時(shí)認(rèn)為月幔為剛體狀態(tài)(固態(tài)),月核為液態(tài)(或稱為流體態(tài))。

Williams等[2]根據(jù)GRAIL和LLR提供的月球重力場(chǎng)解,給出了核幔邊界扁率f,流體核與全月的Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比Cf/C,以及關(guān)系式[Cf-(Af+Bf)/2]/C的值。由于Cf/C與[Cf-(Af+Bf)/2]/C相關(guān),不獨(dú)立,且f為擬合得來(lái),其不確定度來(lái)自月球內(nèi)部,更難確定,所以月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論,使用這兩個(gè)關(guān)系式更合理[2]

但式(3)只有2個(gè)關(guān)于獨(dú)立月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系式,無(wú)法確定其3個(gè)部分的值,故還需進(jìn)一步假設(shè)月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的情況,以期得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的3個(gè)部分的值。月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的確定,有賴于月核轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的假設(shè)。簡(jiǎn)單假設(shè)月核繞其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量主軸Z分量方向轉(zhuǎn)動(dòng),故可分為主軸固定的旋轉(zhuǎn)與主軸繞某一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng),即月核關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸動(dòng)力學(xué)對(duì)稱與動(dòng)力學(xué)非對(duì)稱兩種的簡(jiǎn)單假設(shè)。

1)動(dòng)力學(xué)對(duì)稱流體核

假設(shè)月球流體核是關(guān)于轉(zhuǎn)軸Z動(dòng)力學(xué)對(duì)稱的,即月核為關(guān)于慣量主軸Z的旋轉(zhuǎn)橢球,如此便有Ac=Bc,于是

其中各量下角標(biāo)core和c,表示月核,與式(15)、(16)中下角標(biāo)f含義一致。

由式(15)、(16)可得月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分量的值,結(jié)果見表3;將此3個(gè)值代入式(17)便可獲得月核動(dòng)力學(xué)橢率在假設(shè)一條件下的情況,所得結(jié)果整理在表3中;這樣便可使用式(4)、(5)、(6)和(7)獲得月核自由天平動(dòng)頻率及周期,所得結(jié)果整理在表4中。

2)非動(dòng)力學(xué)對(duì)稱的流體核

假設(shè)月球流體核是關(guān)于轉(zhuǎn)軸Z非動(dòng)力學(xué)對(duì)稱的,能得到的為Ac≠Bc。此為不等式,不滿足求解月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分量條件的需求,故需要進(jìn)一步合理假設(shè)月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量X、Y軸部分所滿足的條件。

Noyelles等在土衛(wèi)一的動(dòng)力學(xué)研究[4]中,也討論到非動(dòng)力學(xué)對(duì)稱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題,他假設(shè)土衛(wèi)一核的大小與土衛(wèi)一整體大小成比例,即有[5]

進(jìn)而得到土衛(wèi)一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各分量。

借鑒以上方法,直接假設(shè)月核的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量X、Y分量與月球整體情況成比例,即

由式(15)、(16)及(20)可得非動(dòng)力學(xué)對(duì)稱的月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分量值,同樣可通過(guò)定義式得到月核動(dòng)力學(xué)橢率值,結(jié)果見表3;最后獲得在此假設(shè)下的月核自由天平動(dòng)頻率及周期,結(jié)果見表4。

3)月球流體核與剛體月球的比較

由表3可知,月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)月球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量貢獻(xiàn)很小,月球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量主要部分為月幔,而不同的月核動(dòng)力學(xué)模型對(duì)月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量X、Y分量有小量區(qū)別。同時(shí),月球和月核的動(dòng)力學(xué)橢率處于同一數(shù)量級(jí)。

表3 不同月球結(jié)構(gòu)模型的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和動(dòng)力學(xué)橢率Table 3 Moment of inertia and dynamical ellipticity for different lunar layer models

表4 不同月球結(jié)構(gòu)模型的自由天平動(dòng)頻率及周期Table 4 Frequencies and periods of lunar librations for different lunar layer models

由表4可知,月核自由天平動(dòng)的緯天平動(dòng)和極軸天平動(dòng)的周期比月球整體部分的周期長(zhǎng),初步說(shuō)明月核在緯天平動(dòng)和極軸天平動(dòng)上的情況比月球整體復(fù)雜,同時(shí)耗散更小,阻尼時(shí)間更長(zhǎng),而月核的經(jīng)天平動(dòng)和月固緯天平動(dòng),在外力作用平面內(nèi),受外力影響大,耗散大,且基本與月球整體情況一致,所以此部分天平動(dòng)相對(duì)一致。

4)動(dòng)力學(xué)對(duì)稱核與非動(dòng)力學(xué)核的比較

月核的兩種假設(shè),從結(jié)果上,無(wú)法進(jìn)行直接比較其好壞,因?yàn)樵潞藙?dòng)力學(xué)情況沒(méi)有對(duì)應(yīng)觀測(cè)結(jié)果。但月核模型的假設(shè),對(duì)初步認(rèn)識(shí)月核層次結(jié)構(gòu)及其動(dòng)力學(xué)影響,有重要意義。

由表3和表4可知,兩種月核假設(shè),獲得的月核轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分量值有差異,此差異對(duì)月核自由天平動(dòng)頻率、周期有較大影響。從表4中經(jīng)天平動(dòng)、緯天平動(dòng)(MR)結(jié)果可認(rèn)為,復(fù)雜度高的月核模型,與剛體月球情況更貼近,越復(fù)雜的月核模型解析,獲得的月核動(dòng)力學(xué)情況,更可信。月球?qū)哟谓Y(jié)構(gòu)的增加,可提高月球動(dòng)力學(xué)的認(rèn)識(shí),以及月球內(nèi)部各結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)表現(xiàn)。但內(nèi)部結(jié)構(gòu)對(duì)整體月球軌道的影響,尤其是幅值,還有待進(jìn)一步研究。

2 受迫經(jīng)天平動(dòng)幅值

對(duì)月球自由天平動(dòng)的頻率和周期做了簡(jiǎn)單討論后,解析研究還能討論受迫天平動(dòng)的幅值問(wèn)題。

Noyelles等在土衛(wèi)一的動(dòng)力學(xué)研究[4]中,借用Murray和Dermott(1999)[5]專著中的解析關(guān)系式,簡(jiǎn)單討論了土衛(wèi)一的受迫經(jīng)天平動(dòng)幅值。其關(guān)系式為

式中:ψ是潮汐天平動(dòng)主項(xiàng)的幅值;γ′是受迫天平動(dòng)物理部分的幅值;ωu是月球目標(biāo)結(jié)構(gòu)的自由經(jīng)天平動(dòng)頻率,若討論剛體月球,則此處為剛體月球自由經(jīng)天平動(dòng)頻率,若討論月核,則此處為月核自由經(jīng)天平動(dòng)頻率;e是月球軌道橢率;n是月球公轉(zhuǎn)平均角速度。而部分還需要進(jìn)行修正,其修正式為

將表3中非動(dòng)力學(xué)對(duì)稱的月核模型結(jié)果代入式(22),并代入月球公轉(zhuǎn)軌道橢率值,可得非動(dòng)力學(xué)對(duì)稱月核受迫經(jīng)天平動(dòng)估值結(jié)果為ψ=-6.291°, γ′=-15.254″。

將該結(jié)果與文獻(xiàn)[1]中月球歷表數(shù)值解析得到的受迫經(jīng)天平動(dòng)幅值比較,同時(shí)比較式(22)及表3中不同結(jié)構(gòu)模型的動(dòng)力學(xué)橢率情況,可知月核受迫經(jīng)天平動(dòng)幅值與剛體月球受迫天平動(dòng)幅值在同一數(shù)量級(jí)。若有觀測(cè)可直接獲得月核受迫經(jīng)天平動(dòng)幅值情況,可初步判斷月核動(dòng)力學(xué)情況,進(jìn)而嘗試獲得月核其他參數(shù)。

3 結(jié)束語(yǔ)

目前,我們利用月球物理參數(shù)及月球動(dòng)力學(xué)基本知識(shí),完成了對(duì)月球整體及月核自由天平動(dòng)的初步討論,比較了不同結(jié)構(gòu)的周期頻率情況,并評(píng)估了月核受迫天平動(dòng)幅值大小。下一步研究,將著眼于解析理論與數(shù)值方法間的差異來(lái)源確定,并進(jìn)一步進(jìn)行月球受迫天平動(dòng)幅值討論。

[1]Rambaux N,Williams J G.The Moon's physical librations and determination of their free modes[J].Celest Mech Dyn Astr,2011(109):85-100.

[2]Williams J G,Boggs D H,Folkner W M.DE430 lunar orbit, physical librations,and surface coordinate[P].JPL IOM 335-JW,DB,WF-20130722-016,2013.

[3]Williams J G,Boggs D H,Yoder C F.Lunar rotational dissipation in solid body and molten core[J].Journal of Geophysical Research,2001(106):27933-27968.

[4]Noyelles B,Karatekin?,Rambaux N.The rotation of Mimas[J].A&A,2011(536):A61.

[5]Murray C D,Dermott S F.Solar system dynamics[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1999.

通信地址:北京師范大學(xué)天文系(100875)

電話:18811478825

E-mail:liwenxiao3443@mail.bnu.edu.cn

[責(zé)任編輯:宋宏]

Free and Forced Librations of Two-Layer Structure of the Moon

LI Wenxiao1,2,Alexander GUSEV2,3,PING Jinsong1,2,ZHANG Tongjie1
(1.Department of Astronomy,Beijing Normal University,Beijing 100875,China;2.Key Laboratory of Lunar& Deep Space Exploration Research,National Astronomical Observatories,CAS,Beijing 100012,China; 3.Russian Kazan Federal University,Kazan 420008,Russia)

Based on the lunar physical parameters in ephemeris DE430/LE430 of JPL/NASA,we estimated the moments of inertia of the Moon.Using these values of moment of inertia,the frequencies and periods of lunar free librations in different modes have been calculated by solving the rotational differential equations of rigid Moon.We compared the results and discussed the analytic results of lunar librations.Meanwhile,we also estimated the forced librations by means of the amplitude of longitudinal part.For the further research,more analytic methods should be mixed into numerical results,and the interactions between two layers would be next objective.

lunar librations;analytic methods;frequencies and periods;amplitude

P691

:A

:2095-7777(2014)03-0205-05

10.15982/j.issn.2095-7777.03.007

李文瀟(1990—),男,碩士研究生,主要研究方向:月球無(wú)線電相位測(cè)距,月球物理天平動(dòng)。

2014-07-27

2014-08-11

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(2015CB857101);中科院外籍專家項(xiàng)目(2013T2J0016);中科院俄烏白國(guó)際合作項(xiàng)目(2013-2014)