小天體著陸動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性影響分析

袁旭,朱圣英,喬棟,崔平遠(yuǎn)

(1.北京理工大學(xué)小天體探測與防御實(shí)驗(yàn)室,北京100081;2.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100081)

小天體著陸動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性影響分析

袁旭1,2,朱圣英1,2,喬棟1,2,崔平遠(yuǎn)1,2

(1.北京理工大學(xué)小天體探測與防御實(shí)驗(yàn)室,北京100081;2.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100081)

針對小天體不規(guī)則程度高、引力場復(fù)雜,且物理參數(shù)存在較高不確定性的問題,基于小天體著陸動(dòng)力學(xué)方程線性化近似解析解,對各動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性的影響進(jìn)行了分析?？紤]動(dòng)力學(xué)方程線性化帶來的誤差,引入線性化誤差補(bǔ)償校正方法,建立了探測器軌跡對動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性的敏感度方程。以小行星Eros 433為例,重點(diǎn)分析了目標(biāo)小天體質(zhì)量、自轉(zhuǎn)角速度、引力勢函數(shù)系數(shù),以及探測器初始狀態(tài)、推力加速度等動(dòng)力學(xué)參數(shù)不確定性對探測器著陸軌跡的影響。數(shù)學(xué)仿真分析表明,針對本文選取的目標(biāo)小天體,推力加速度擾動(dòng)為主要影響因素,探測器初始狀態(tài)的不確定性為次要影響因素,其他參數(shù)擾動(dòng)的影響較小。

小天體;著陸;參數(shù)不確定性;敏感性分析

0 引言

對小天體的探測研究,有利于人們認(rèn)識和研究太陽系的起源與演化。因此,小天體探測是21世紀(jì)深空探測活動(dòng)的重要內(nèi)容[12]。其中,著陸探測由于能夠進(jìn)行現(xiàn)場科學(xué)探測,因而引起學(xué)者的廣泛興趣[34]。迄今,各國的小天體探測任務(wù)中,有2次成功完成了著陸任務(wù),分別為美國航空航天局(NASA)發(fā)射的NEAR探測器于2001年2月著陸于Eros 433小行星[5],和日本宇宙航空研究開發(fā)機(jī)構(gòu)(JAXA)發(fā)射的Hayabusa探測器于2005年11月著陸于Itokawa小行星并采樣返回[6]。此外,歐洲太空局(ESA)發(fā)射的Rosetta探測器預(yù)計(jì)將于2014年11月對Churyumov-Gerasimenko彗星進(jìn)行著陸探測[7]。

形狀的不規(guī)則性是小天體顯著的物理特征。由于形狀極度不規(guī)則,小天體引力場環(huán)境較為復(fù)雜,小天體的各物理參數(shù)也存在較大的不確定性[89]。這種參數(shù)不確定性會(huì)對小天體著陸過程產(chǎn)生影響,給小天體著陸任務(wù)帶來挑戰(zhàn)。同時(shí),發(fā)動(dòng)機(jī)推力誤差等探測器自有誤差也對小天體著陸精度造成影響。因此,有必要對小天體著陸過程中參數(shù)不確定性的影響進(jìn)行分析與研究,通過分析各參數(shù)不確定性對探測器狀態(tài)的影響程度,可重點(diǎn)關(guān)注影響較大的參數(shù)并設(shè)法減小相應(yīng)的誤差。Broschart等對小天體固聯(lián)坐標(biāo)系下探測器的平移與下降運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)進(jìn)行了大量研究,并進(jìn)行了敏感性分析,取得了顯著的研究成果[10]。

本文針對小天體下降與著陸過程,首先給出動(dòng)力學(xué)方程并對其線性化,利用線性化方程對探測器狀態(tài)及其他變量求解。基于這些方程和敏感性分析方法,研究了探測器狀態(tài)對參數(shù)不確定性的敏感度,對相同條件下處于不同區(qū)域時(shí)探測器狀態(tài)對各參數(shù)的敏感度進(jìn)行了分析與比較,并以Eros 433小行星參數(shù)[9]為例給出了仿真分析結(jié)果。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系

本文采用小天體固聯(lián)坐標(biāo)系Σb:原點(diǎn)ob位于小天體質(zhì)心,zb軸與小天體最大慣量軸即自轉(zhuǎn)軸重合,xb與yb軸分別與最小和中間慣量軸重合,xb, yb,zb三軸滿足右手法則,如圖1所示。

圖1 小天體固聯(lián)坐標(biāo)系Fig.1 Small celestial body fixed frame

1.2 動(dòng)力學(xué)方程

假設(shè)小天體密度均勻并繞其最大慣量主軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),忽略其他干擾力,在小天體固聯(lián)坐標(biāo)系下,選取探測器位置、速度為狀態(tài)變量,即

則探測器的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

其中,ω為小天體自轉(zhuǎn)角速度;Tx,Ty,Tz為探測器控制力形成的三軸加速度分量;V為小天體引力勢函數(shù);為三軸的小天體引力加速度分量。

小天體引力勢函數(shù)采用球諧函數(shù)形式,即

其中,Pnm為締結(jié)勒讓德多項(xiàng)式;Cnm和Snm為小天體引力場對應(yīng)的球諧函數(shù)各階系數(shù);a為小天體名義半徑;θ,φ,r分別為探測器所處的經(jīng)度、緯度和半徑,滿足

1.3 動(dòng)力學(xué)方程線性化

由于探測器受到的小天體引力加速度與探測器位置有關(guān),因此式(1)所示的動(dòng)力學(xué)方程為非線性方程,且無法求出精確解析解。在一些情況下,需要解析形式的近似解。此時(shí)可將式(1)進(jìn)行線性化處理,得到近似的線性化方程

其中

則可求出此線性方程的解析解

雖然探測器的運(yùn)動(dòng)存在很大的非線性,但線性化假設(shè)可在一定精度下簡化分析過程,并能獲得解析形式的近似解,便于進(jìn)一步的分析,在初期的理論推導(dǎo)和任務(wù)設(shè)計(jì)階段是非常方便和重要的分析手段。

由于矩陣A+δ可逆,若在研究的時(shí)間范圍內(nèi),推力加速度T為常矢量,則此解可進(jìn)一步化簡為

式(5)即為常推力加速度下動(dòng)力學(xué)方程式(3)的線性近似解析解。

2 線性化誤差校正

2.1 利用線性化方程求解未知變量

式(5)中含有6個(gè)方程,包括始末狀態(tài)、推力加速度、作用時(shí)間共計(jì)16個(gè)變量。若已知其中10個(gè)變量,則可求解出6個(gè)未知變量。

例如,若已知初始狀態(tài)X(0),欲在常推力加速度T作用下經(jīng)時(shí)間tf到達(dá)末端位置rf,則可求得T和到達(dá)末端位置時(shí)的速度vf分別為:

2.2 線性化誤差及誤差校正

線性化方程求解出的探測器狀態(tài)為近似解,與真實(shí)狀態(tài)存在誤差。探測器的真實(shí)狀態(tài)X*(t)可表示為

則線性化誤差可表示為

假設(shè)在適當(dāng)時(shí)間范圍內(nèi),線性化解(5)的軌跡接近真實(shí)軌跡,且此區(qū)域內(nèi)也很接近,則可認(rèn)為在此區(qū)域內(nèi)進(jìn)行線性化帶來的誤差總是近似相等的。這樣,可對式(6)所求得的推力加速度T進(jìn)行校正[10]:按照非線性方程式(1)進(jìn)行數(shù)值求解后,可求出末時(shí)刻的線性化誤差E(tf)?；赬*(tf)附近不同軌跡對應(yīng)的E(tf)近似相等的假設(shè),可設(shè)一個(gè)用于校正的,滿足

圖2 線性化誤差修正示意圖Fig.2 Scheme of linearization error calibration

圖3 線性化誤差修正局部放大圖Fig.3 Calibration scheme partially amplified

3 探測器狀態(tài)對參數(shù)不確定性的敏感度

從動(dòng)力學(xué)方程的解式(5)及引力勢函數(shù)式(2)可以看出,探測器t時(shí)刻的狀態(tài)變量X(t)與其初始狀態(tài)、發(fā)動(dòng)機(jī)推力加速度、小天體自轉(zhuǎn)角速度、質(zhì)量和球諧函數(shù)各階系數(shù)有關(guān),即

于是,式(10)中各參數(shù)的誤差或不確定性都會(huì)對探測器的狀態(tài)與著陸軌跡產(chǎn)生影響。

在tf時(shí)刻,以αi,i=1,2,...,k表示參數(shù)ω, M,Cnm,Snm,X(0),T,則X(tf)的協(xié)方差矩陣可表示為:

由式(11)可以看出,X(tf)的不確定度與各參數(shù)的不確定度和X(tf)對該參數(shù)的敏感度矩陣有關(guān),即由系統(tǒng)狀態(tài)方程和各參數(shù)不確定度共同決定。探測器狀態(tài)對某參數(shù)的敏感度矩陣可由以下過程求得[11]

結(jié)合動(dòng)力學(xué)方程

對某一參數(shù)αi,其敏感度矩陣滿足

通過解上式中的微分方程即可求出對某參數(shù)的敏感度矩陣,再結(jié)合該參數(shù)的不確定度,即可得到某時(shí)刻探測器狀態(tài)X(tf)的不確定度。

由式(11)可見,已知各參數(shù)不確定的情況下,探測器狀態(tài)對各參數(shù)的敏感度矩陣隨時(shí)間變化,因此由某一參數(shù)擾動(dòng)引起的探測器狀態(tài)不確定度也隨時(shí)間變化。可研究相同條件下,同一時(shí)刻各參數(shù)不確定性對探測器狀態(tài)的影響,來比較某一任務(wù)中不同參數(shù)擾動(dòng)的作用大小;對某一參數(shù),可研究探測器處于不同區(qū)域(初始狀態(tài))時(shí),其狀態(tài)受該參數(shù)擾動(dòng)影響的差異。這里,取探測器位置向量協(xié)方差陣最大特征值的平方根作為探測器位置不確定度的度量指標(biāo)

4 仿真與分析

4.1 線性化誤差校正的仿真分析

以Eros 433小行星為例進(jìn)行仿真分析。假設(shè)探測器在常推力作用下沿徑向向小行星表面下降(即保持經(jīng)緯度不變)。仿真中選取探測器初始位置半徑為20 km,經(jīng)緯度選取多組數(shù)據(jù)以比較,初始速度大小為3.0 m/s,方向指向小天體質(zhì)心即坐標(biāo)系原點(diǎn),末端位置半徑為17.8 km,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1 000 s。在某一初始位置,可由式(6)計(jì)算所需推力加速度并通過式(9)校正。仿真末端位置與目標(biāo)末端位置的偏差(距離)隨初始位置的經(jīng)緯度不同而變化,可繪制等高線圖表示。仿真所用參數(shù)參照NEAR任務(wù)獲得的數(shù)據(jù),如表1所示,未經(jīng)誤差校正和校正后末端位置偏差的區(qū)域分布如圖4和圖5所示。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

圖4 未校正時(shí)末端位置與目標(biāo)位置偏差等高線圖(單位:m)Fig.4 Contour map of terminal position offset from target without calibration(unit:m)

由圖4和圖5可見,在此仿真條件下:

1)校正前的末端位置偏差一般處于米級,校正后減小至厘米級,精度提高了2個(gè)數(shù)量級,表明此校正方法非常有效。

圖5 校正后末端位置與目標(biāo)位置偏差等高線圖(單位:cm)Fig.5 Contour map of terminal position offset from target after calibration(unit:cm)

2)緯度愈靠近0°,經(jīng)度愈靠近0°或±180°,即愈靠近xb軸,則偏差愈大。這表明愈靠近長軸,小天體形狀的不規(guī)則度愈大,引力加速度的非線性愈強(qiáng),線性化引入的誤差愈大。

4.2 探測器狀態(tài)對參數(shù)敏感度的仿真分析

仿真參數(shù)仍如表1所示,各參數(shù)的1—σ不確定度參照NEAR任務(wù)中獲得的數(shù)據(jù)以及文獻(xiàn)[10],如表2所示。

表2 仿真參數(shù)的1-σ不確定度Table 2 1-σuncertainty of the simulation parameters

其中,對球諧函數(shù)系數(shù)的不確定度考察到3階, Tmag,?T,θT分別代表推力加速度大小和推力方向角。

探測器末端位置不確定度以式(14)中σ表達(dá),得到圖6所示的等高線圖。由各參數(shù)擾動(dòng)引起的不確定度數(shù)量級如表3所示,其中推力加速度擾動(dòng)引起的末端位置不確定度分布如圖7所示。

在此仿真條件下:

1)將圖6與圖7進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn),二者等高線圖非常相似,數(shù)值也非常接近,表明末端位置的不確定度主要源于推力加速度的不確定性,即末端位置不確定度受發(fā)動(dòng)機(jī)推力不確定性影響最大,發(fā)動(dòng)機(jī)推力偏差是影響探測器著陸軌跡不確定度的主要因素。

表3 各參數(shù)擾動(dòng)引起的末端位置不確定度的數(shù)量級Table 3 Order of magnitude of terminal position uncertainty due to uncertainty of each parameter alone

圖6 末端位置不確定度等高線圖(單位:m)Fig.6 Contour map of terminal position uncertainty(unit:m)

圖7 參數(shù)T擾動(dòng)引起的末端位置不確定度等高線圖(單位:m)Fig.7 Contour map of terminal position uncertainty due to uncertainty of T(unit:m)

2)末端位置的不確定度為10 m級,主要分布于30～50 m范圍。推力加速度偏差引起的末端位置不確定度為10 m級,主要分布于25～45 m范圍,為主要影響因素;初始狀態(tài)偏差引起的末端位置不確定度為米級,主要分布于5～6 m范圍,為次要影響因素;小天體質(zhì)量、引力勢函數(shù)系數(shù)、自轉(zhuǎn)角速度不確定性引起的末端位置不確定度均小于米級?？梢娫诖朔抡鏃l件下,探測器軌跡的不確定度主要受推力偏差影響,其次受初始狀態(tài)誤差影響,受其他參數(shù)擾動(dòng)的影響較小。

5 結(jié)論

本文對小天體著陸過程中探測器狀態(tài)對小天體及探測器參數(shù)的敏感性進(jìn)行了簡要的分析。首先,建立非線性動(dòng)力學(xué)方程并進(jìn)行了線性化,得出線性化方程的近似解析解?；诰€性化方程,得出常推力下求解未知變量的方法,并引入一種線性化誤差校正方法。探測器狀態(tài)的不確定度由各參數(shù)不確定度和探測器狀態(tài)對各參數(shù)的敏感度共同決定。通過敏感性分析,比較了探測器著陸軌跡在相同條件下受各參數(shù)擾動(dòng)影響的區(qū)別和處于不同區(qū)域時(shí)受某一參數(shù)擾動(dòng)影響的差異。在本文的仿真條件下,推力加速度的擾動(dòng)為主要影響因素,初始狀態(tài)的不確定性為次要影響因素,其他參數(shù)擾動(dòng)的影響較小。

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電話:(010)68918910

E-mail:yuanxu1020@126.com

[責(zé)任編輯:宋宏]

Impact Analysis of Dynamic Parameters Uncertainty on Small Celestial Body Landing

YUAN Xu1,2,ZHU Shengying1,2,QIAO Dong1,2,CUI Pingyuan1,2
(1.Laboratory of Asteroid Exploration and Defense,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China;2.Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle,Ministry of Education,Beijing 100081,China)

To the challenge of high degree irregularity,complex gravity field and relatively high degree of physical parameters uncertainty of small celestial bodies,the impact of dynamic parameters uncertainty is analyzed, based on the approximate linearized analytical solution of the small celestial body landing dynamic equations.A calibrating method is used to compensate the errors brought in by linearization.And the sensitivity equations of spacecraft trajectories to dynamic parameters are established.Taking the asteroid Eros 433 as an example,the impact of the uncertainty of the mass,rotation rate and gravitational potential coefficients of the target body on the spacecraft landing trajectory,the initial state of the spacecraft and the thrust acceleration are analyzed elaborately. Mathematical simulation shows that for this selected target body,the thrust acceleration disturbance is the primary factor of such impact,and the initial state of the spacecraft the secondary one.And the impact of other parameters are relatively small.

small celestial body;landing;parameters uncertainty;sensitivity analysis

V448.21

:A

:2095-7777(2014)02-0134-06

袁旭(1986—),男,博士研究生,主要研究方向:深空探測器自主導(dǎo)航與控制

2013-11-01

2013-12-30

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)(2012CB720000);國家自然科學(xué)基金(61304248);基礎(chǔ)科研計(jì)劃(B2220110012);民用航天預(yù)先研究計(jì)劃