三維裝配幾何約束組合的分類求解策略

黃學(xué)良， 李 娜， 陳立平

（1. 中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621900；2. 華中科技大學(xué)國家CAD支撐軟件工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430074）

三維裝配幾何約束組合的分類求解策略

黃學(xué)良1， 李 娜1， 陳立平2

（1. 中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621900；2. 華中科技大學(xué)國家CAD支撐軟件工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430074）

針對兩個(gè)剛體之間的三維幾何約束求解問題，依據(jù)幾何約束的參數(shù)結(jié)構(gòu)分析了角度約束和距離約束的解耦性，給出了角度約束和距離約束可解耦求解的條件；然后對兩個(gè)剛體之間的幾何約束進(jìn)行組合分析，總結(jié)出約束度不小于2的幾何約束構(gòu)成的組合只有幾十種，且均可采用幾何推理方法進(jìn)行求解；最后闡述了附加方向約束、冗余約束和矛盾約束對數(shù)值求解的不利影響，提出了三維幾何約束組合的分類求解策略，并用實(shí)例驗(yàn)證了該求解策略的有效性。

幾何約束；解耦性分析；冗余約束；幾何推理

幾何約束求解的基本思路是采用分而治之的方法將幾何約束系統(tǒng)分解為若干個(gè)規(guī)模較小的子系統(tǒng)，然后分別對各個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行求解，最后用各個(gè)子系統(tǒng)的解組裝成整個(gè)幾何約束系統(tǒng)的解[1]。針對三維裝配幾何約束系統(tǒng)，文獻(xiàn)[2]提出的等價(jià)性分析方法可以將其分解為大量獨(dú)立邊子圖對應(yīng)的兩個(gè)剛體之間的幾何約束系統(tǒng)和獨(dú)立閉環(huán)子圖、耦合閉環(huán)子圖對應(yīng)的多個(gè)剛體之間的幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[3]提出的遞歸分解方法進(jìn)一步將多個(gè)剛體之間的幾何約束閉環(huán)系統(tǒng)分解為一系列兩個(gè)剛體之間的幾何約束系統(tǒng)，這使得對兩個(gè)剛體之間幾何約束系統(tǒng)的高效穩(wěn)定求解成為三維幾何約束求解的關(guān)鍵內(nèi)容。目前，對于兩個(gè)剛體之間的幾何約束系統(tǒng)，除去穩(wěn)定性不夠的數(shù)值方法和求解效率不足的符號(hào)方法，幾種具有代表性的求解方法分別是基于自由度分析的幾何推理方法[4-6]、基于位姿解耦的分步增量求解方法[7-9]和面向特定構(gòu)型的解析求解方法[10]，但這些方法均是針對兩個(gè)剛體之間的特定幾何約束問題的求解方法，缺乏對兩個(gè)剛體之間幾何約束問題的系統(tǒng)性分析和分類。為此，本文針對兩個(gè)剛體之間的幾何約束問題，分析角度約束和距離約束可解耦求解的條件，研究幾何約束組合的分類，并據(jù)此提出基于約束組合分類的混合求解策略。

1 幾何約束的參數(shù)結(jié)構(gòu)分析

由三維幾何約束的基本約束分量表達(dá)可知，兩個(gè)剛體上幾何實(shí)體之間的距離、角度、平行、垂直、相切和重合等三維幾何約束均可表達(dá)為若干個(gè)基本幾何約束的組合，且能夠歸為11類[11]，分別是約束度為1的5種基本幾何約束（矢量角度約束、點(diǎn)點(diǎn)距離約束、點(diǎn)線距離約束、點(diǎn)面距離約束和線線距離約束），約束度為 2的矢量平行約束、線面距離約束和點(diǎn)線重合約束，約束度為3的點(diǎn)點(diǎn)重合約束和面面距離約束，約束度為4的線線重合約束。由于約束度大于1的幾何約束可用約束度等于 1的基本幾何約束的組合表示，而在這些基本幾何約束中，角度約束和距離約束在參數(shù)結(jié)構(gòu)上存在差異，角度約束只與表示剛體姿態(tài)的歐拉參數(shù)有關(guān)，而距離約束則與表達(dá)剛體姿態(tài)的歐拉參數(shù)以及表示剛體位置的點(diǎn)坐標(biāo)都有關(guān)，剛體姿態(tài)的變動(dòng)會(huì)同時(shí)影響角度約束和距離約束的滿足，而剛體位置的變動(dòng)則只會(huì)影響距離約束的滿足，即剛體的位置變量只由距離約束確定。如果可以首先單獨(dú)求解角度約束確定剛體的姿態(tài)，然后單獨(dú)求解距離約束確定剛體的位置，就能將剛體上幾何約束組合的整體求解轉(zhuǎn)換為角度約束和距離約束的先后單獨(dú)求解。

通過分析角度約束和距離約束的參數(shù)結(jié)構(gòu)，可得到如下性質(zhì)：

性質(zhì)1：與動(dòng)剛體U匹配的獨(dú)立角度約束的數(shù)量小于或等于3。

性質(zhì)2：如果與動(dòng)剛體U匹配的獨(dú)立角度約束的數(shù)量等于3，則角度約束和距離約束可解耦求解，首先求解角度約束和歐拉參數(shù)歸一化約束確定表示剛體姿態(tài)的歐拉參數(shù)，然后求解距離約束確定剛體的位置參數(shù)。

性質(zhì)3：如果與動(dòng)剛體U匹配的距離約束的數(shù)量等于1，則角度約束和距離約束可解耦求解，姿態(tài)參數(shù)和位置參數(shù)可先后確定。

性質(zhì)4：假定與動(dòng)剛體U匹配的距離約束的數(shù)量為 m，如果滿足條件 3＜m≤6，則角度約束和距離約束一定不能解耦求解，姿態(tài)參數(shù)和位置參數(shù)必須同時(shí)進(jìn)行求解。

依據(jù)上述性質(zhì)，按剛體上角度約束和距離約束的數(shù)量進(jìn)行分類，可以得到不同有效約束數(shù)量的約束組合的解耦求解特性如表1所示。其中，mDnA表示該約束組合有m個(gè)有效距離約束和n個(gè)有效角度約束組成，“√”指可解耦求解，“×”指不可解耦求解，“?”指解耦求解性不確定。在表1中有21種約束組合，其中9種約束組合可解耦求解，6種約束組合不可解耦求解，另外 6種約束組合能否解耦求解無法由性質(zhì)1～4確定。對于這6種解耦性無法確定的約束組合，存在性質(zhì)5。

性質(zhì)5：如果基剛體B和動(dòng)剛體U之間只有一個(gè)幾何約束，則該幾何約束中的角度約束分量和距離約束分量是可解耦求解的。

上述性質(zhì)依據(jù)角度約束和距離約束的數(shù)量關(guān)系來判定幾何約束組合是否可解耦求解，其前提條件是幾何約束組合中不包含冗余約束，即依據(jù)角度約束和距離約束的數(shù)量關(guān)系來判斷之前必須先剔除冗余約束。

2 幾何約束組合的分類

性質(zhì)6：假定基剛體B和動(dòng)剛體U之間只有點(diǎn)點(diǎn)重合約束、面面距離約束和線線重合約束這三類約束度≥3的幾何約束，則基剛體B和動(dòng)剛體U之間幾何約束的數(shù)量≤3。

證明：如果剛體之間存在線線重合約束，由于線線重合的約束度為4，有4個(gè)基本約束分量，而剛體有6個(gè)自由度，由于每添加1個(gè)非冗余幾何約束都將至少增加1個(gè)有效的基本約束分量，此時(shí)至多還可添加2個(gè)幾何約束就能使剛體完全約束，那么基剛體B和動(dòng)剛體U之間的幾何約束數(shù)量≤3。如果剛體之間不存在線線重合約束，根據(jù)組合理論，剛體之間必然存在2個(gè)面面距離約束或是2個(gè)點(diǎn)點(diǎn)重合約束；如果是2個(gè)面面距離約束，則此時(shí)動(dòng)剛體U只有1個(gè)移動(dòng)自由度；如果是2個(gè)點(diǎn)點(diǎn)重合約束，則此時(shí)動(dòng)剛體U只有1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；顯然，再添加1個(gè)幾何約束必然使剛體完全約束，那么基剛體B和動(dòng)剛體U之間的幾何約束的數(shù)量≤3。得證。

依據(jù)組合理論，從點(diǎn)點(diǎn)重合約束、面面距離約束和線線重合約束這3類約束中任選2個(gè)構(gòu)成的欠約束組合的數(shù)量最多有6種，任選3個(gè)構(gòu)成的完整約束組合的數(shù)量最多有10種。圖1所示為約束度≥3的幾何約束的組合分類，圖中RDOF(Residual Degree of Freedom)為受約束剛體的剩余自由度，RTDOF(Residual Translational Degree of Freedom)為受約束剛體的剩余移動(dòng)自由度，RRDOF(Residual Rotational Degree of Freedom)為受約束剛體的剩余轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，nDmA表示剛體上約束組合中有n個(gè)有效的距離約束分量和m個(gè)有效的角度約束分量。用 ΦCLL、分別表示線線重合約束、面面距離約束和點(diǎn)點(diǎn)重合約束，根據(jù)約束的幾何分析，這16種約束組合中角度約束分量和距離約束分量可以解耦求解的約束組合實(shí)例有和角度約束和距離約束不能解耦求解的約束組合實(shí)例有和顯然，對于那些依據(jù)數(shù)量分析無法確定解耦性的約束組合，通過幾何分析可以確定其中的角度約束和距離約束是否可以解耦求解，比如約束組合）中的角度約束和距離約束可解耦求解。對于約束類型和約束數(shù)量均相同的幾何約束組合，約束關(guān)聯(lián)幾何實(shí)體的特征參數(shù)差異也會(huì)導(dǎo)致其有效幾何約束分量不盡相同，比如 2個(gè)線線重合約束構(gòu)成的約束組合如果則剛體U只有沿直線的移動(dòng)自由度，為實(shí)例否則，剛體 U 沒有剩余自由度，為實(shí)例

圖1 約束度≥3的幾何約束的組合分類

下面具體分析約束關(guān)聯(lián)幾何實(shí)體的特征參數(shù)的差異對幾何約束組合中有效幾何約束分量的影響。對于約束組合）的兩個(gè)線線重合約束如果，則剛體U只有沿直線的移動(dòng)自由度，為實(shí)例；否則，剛體U沒有剩余自由度，為實(shí)例對于約束組合）的線線重合約束 CoiLL和面面距離約束 DisFF如果則剛體U只有繞直線的旋轉(zhuǎn)自由度，為實(shí)例如果則剛體 U只有沿直線的移動(dòng)自由度，為實(shí)例否則，剛體U沒有剩余自由度，為實(shí)例對于約束組合）的線線重合約束 CoiLL和點(diǎn)點(diǎn)重合約束 CoiPP，如果點(diǎn)在直線上，則剛體U只有繞直線的旋轉(zhuǎn)自由度，為實(shí)例否則，剛體U沒有剩余自由度，為實(shí)例對于約束組合）的線線重合約束面面距離約束和CoiPP，如果則為實(shí)例如果則為實(shí)例由上述分析可知，任選兩個(gè)約束度≥3的幾何約束構(gòu)成的約束組合，其有效約束度≥5；因此，有性質(zhì)7。

性質(zhì)7：如果基剛體B和動(dòng)剛體U之間有兩個(gè)幾何約束屬于線線重合約束、面面距離約束和點(diǎn)點(diǎn)重合約束這三類，則基剛體B和動(dòng)剛體U之間幾何約束的數(shù)量≤3。

根據(jù)性質(zhì)7可知，如果剛體之間存在3個(gè)幾何約束，且其中只有2個(gè)幾何約束的約束度≥3，則另外1個(gè)幾何約束可能是約束度等于2或約束度等于1的幾何約束。約束度為2的幾何約束有3種，則由2個(gè)約束度≥3的幾何約束和1個(gè)約束度等于 2的幾何約束構(gòu)成的約束組合至多有6×3=18種；約束度等于1的幾何約束有5種，則由2個(gè)約束度≥3的幾何約束和1個(gè)約束度等于 1的幾何約束構(gòu)成的約束組合至多有 6×5=30種。由于角度約束分量只能與剛體的姿態(tài)變量匹配，剛體之間角度約束分量的數(shù)量必須滿足性質(zhì)1，故這兩類約束組合的最大數(shù)量分別為 16和28。另外，受2個(gè)約束度≥3的幾何約束的動(dòng)剛體U至多有1個(gè)剩余移動(dòng)自由度或1個(gè)剩余旋轉(zhuǎn)自由度，如果將2個(gè)約束度≥3的幾何約束構(gòu)成的約束組合分為剩余移動(dòng)自由度的約束組合和剩余旋轉(zhuǎn)自由度的約束組合，則由2個(gè)約束度≥3的幾何約束和1個(gè)約束度任意的幾何約束構(gòu)成的約束組合的數(shù)量為12+10=22；在這22種組合中，只有部分組合的角度約束和距離約束可解耦求解，但全部可以采用幾何推理方法進(jìn)行求解。

性質(zhì)8：如果基剛體B和動(dòng)剛體U之間存在1個(gè)線線重合約束，則基剛體B和動(dòng)剛體U之間幾何約束的數(shù)量≤3。如果基剛體B和動(dòng)剛體U之間存在1個(gè)點(diǎn)點(diǎn)重合約束或面面距離約束，則基體B和動(dòng)剛體U之間幾何約束的數(shù)量≤4。

根據(jù)性質(zhì)8給出的數(shù)量上界分析1個(gè)線線重合約束和2個(gè)約束度等于2的幾何約束的組合分類、1個(gè)點(diǎn)點(diǎn)重合約束和3個(gè)約束度等于2的幾何約束的組合分類以及1個(gè)面面距離約束和3個(gè)約束度等于2的幾何約束的組合分類，發(fā)現(xiàn)三者總共有 33種約束組合，其中有大約一半的約束組合不可解耦求解，但可以采用幾何推理方法進(jìn)行求解。

3 幾何約束組合的求解

3.1 附加方向約束對數(shù)值求解的影響

如圖2(a)所示兩個(gè)剛體B1和B2，平面F1和圓柱面F2在剛體B1上，平面F3和圓柱面F4在剛體B2上。欲獲得如圖2(c)所示的裝配結(jié)果，可在剛體 B1和 B2之間添加反向共面約束CoiFF(F1,F3,-1 )和反向共軸約束 CoiLL(F2,F4,-1)，這2個(gè)幾何約束的基本約束表達(dá)分別為：

圖2 在兩個(gè)剛體之間添加1個(gè)共軸約束和1個(gè)共面約束

3.2 冗余約束和矛盾約束對數(shù)值求解的影響

如圖3(a)所示，在剛體B1和B2之間依次添加3個(gè)共點(diǎn)約束CoiPP(p1, p4)、CoiPP(p2, p5)和CoiPP(p3, p6)，這3個(gè)共點(diǎn)約束的基本約束表達(dá)分別為：

假定首先添加CoiPP(p1, p4)，約束滿足后剛體B2的位姿如圖3(b)所示。然后添加CoiPP(p2, p5)，此時(shí)剛體 B2的位姿滿足和( p.z, p.z)= 0，而冗余性分析必然認(rèn)定2 5 CoiPP(p2, p5)的3個(gè)基本約束方程中存在1個(gè)冗余約束方程；如果將( p.y,p .y)= 0視為冗

2 5果如圖3(c)所示，最后添加CoiPP(p3, p6)，此時(shí)剛體 B2的位姿滿足基本約束方程( p.x,p .x) = 0和 ΦEY(p .y,p .y)= 0，而

3 632 3 6冗余性分析必然認(rèn)定CoiPP(p3, p6)的3個(gè)基本約束方程中有 2 個(gè)是冗余的，如果將( p.z, p.z)= 0視為冗余的，則求解結(jié)果依

3 6然如圖3(c)所示，而滿足CoiPP(p3, p6)的正確結(jié)果應(yīng)該是如圖3(d)所示?？梢?，約束方程數(shù)值求解的正確性有賴于冗余約束判定的正確性。此外，如果將共點(diǎn)約束CoiPP(p3, p6)改為CoiPP(p6, p7)，由于共點(diǎn)約束CoiPP(p6, p7)與CoiPP(p1, p4)、CoiPP(p2, p5)是相互矛盾的，數(shù)值求解必然失敗。但是，與冗余約束不同，數(shù)值求解失敗并不能斷定共點(diǎn)約束CoiPP(p6, p7)是矛盾約束，因?yàn)閿?shù)值求解失敗也可能源于數(shù)值算法的內(nèi)在缺陷。可見，冗余約束和矛盾約束的存在增加了數(shù)值方法求解幾何約束問題的復(fù)雜性。

圖3 在兩個(gè)剛體之間添加3個(gè)共點(diǎn)約束

3.3 幾何約束組合的分類求解策略

對于包含線線重合約束、面面距離約束和點(diǎn)點(diǎn)重合約束的幾何約束組合，直接采用幾何推理方法進(jìn)行解析求解。對于不包含線線重合約束、面面距離約束和點(diǎn)點(diǎn)重合約束的幾何約束組合，首先剔除約束組合中的冗余約束，然后分析角度約束分量和距離約束分量的數(shù)量；若能解耦求解，則先求解角度約束，后求解距離約束；若不能解耦求解，則采用數(shù)值方法進(jìn)行求解；如果不能確定是否能解耦求解，則先假設(shè)角度約束和距離約束可解耦求解，先求解角度約束，后求解距離約束，若求解距離約束失敗，則可確定該約束組合不能解耦求解，重新采用數(shù)值方法進(jìn)行求解，數(shù)值求解時(shí)考慮冗余約束和附加方向約束。

4 實(shí)例分析

如圖4(a)所示的變速箱三維裝配幾何模型，其裝配幾何約束圖經(jīng)等價(jià)性分析處理后如圖4(b)所示。由性質(zhì) 6～8及其分析可知，在所有的 36個(gè)剛體之間，只有 3種類型的約束組合，其中類型的約束組合有 28個(gè)，類型的約束組合有 5個(gè)，類型的約束組合有1個(gè)，若是考慮裝配設(shè)計(jì)過程中增量添加幾何約束的方式，則除上述3種類型的約束組合外，還有4種類型的約束組合，分別為和

圖4 變速箱三維裝配模型及其幾何約束圖

5 結(jié) 論

本文通過分析角度約束和距離約束的結(jié)構(gòu)參數(shù)特點(diǎn)，給出了兩個(gè)剛體之間的幾何約束系統(tǒng)中角度約束和距離約束的可解耦求解條件，揭示了大量常見幾何約束組合是不可解耦求解的?；诩s束度不小于2的三維幾何約束只有6種的事實(shí)，對兩個(gè)剛體之間的幾何約束組合進(jìn)行分析，總結(jié)出約束度不小于2的幾何約束構(gòu)成的組合只有幾十種，且可采用幾何推理方法進(jìn)行求解。通過闡明附加方向約束、冗余約束和矛盾約束對數(shù)值求解的不利影響，指出采用幾何推理方法解析求解兩個(gè)剛體之間的幾何約束系統(tǒng)具有突出的優(yōu)勢，并據(jù)此給出了基于約束組合分類的混合求解策略。由于對幾何約束組合進(jìn)行了系統(tǒng)性的分類，針對不同的問題采用特定的求解方法，該求解策略可以獲得更高的求解效率和穩(wěn)定性。

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Classification and Solution of 3D Assembly Geometric Constraint System Between Two Rigid Bodies

Huang Xueliang1, Li Na1, Chen Liping2
(1. Institute of Systems Engineering, CAEP, Mianyang Sichuan 621900, China; 2. National CAD Support Software Engineering Research Center, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan Hubei 430074, China)

It is a key problem to solve the geometric constraint system between two rigid bodies(GCSBTRD) efficiently and stably when 3D geometric constraint system has been decomposed into a series of GCSBTRDs using equivalent constraint substitution method. In this paper, the decoupling conditions to separately solve angle constraints and distance constraints of GCSBTRDs are presented after analyzing the parametric structure of angle constraints and distance constraints. Then, with the geometric analysis of GCSBTRDs, it is found that the GCSBTRDs consisting of the geometric constraints with more than one constraint degrees can be divided into dozens of patterns, which can all be solved analytically by geometric reasoning method. Subsequently, the adverse impact on numerical solution of GCSBTRDs from additional direction constraint, redundant constraint and contradictory constraint is addressed to demonstrate the advantage of geometric reasoning method. Finally, a hybrid solving strategy based on the classification of constraint combinations is proposed to solve GCSBTRDs, whose effectiveness has been validated by a practical example.

geometric constraint; decoupling analysis; redundant constraint; geometric reasoning

TP 391

A

2095-302X (2014)02-0236-07

2013-06-13；定稿日期：2013-09-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51375185）；中國工程物理研究院總體工程研究所創(chuàng)新與發(fā)展基金資助項(xiàng)目（13cxj19）

黃學(xué)良（1983-），男，江西崇仁人，工程師，博士。主要研究方向?yàn)閹缀渭s束求解、變量化直接建模、虛擬樣機(jī)和 CAD/CAE集成。E-mail：xueliang.huang@qq.com

陳立平（1964-），男，湖北武漢人，教授，博士，博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)閹缀渭s束求解、參數(shù)化設(shè)計(jì)、多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、多領(lǐng)域建模與仿真。E-mail：chenlp@hustcad.com