中繼信道相位響應(yīng)模型及其估計(jì)算法研究

黃春文

摘 要： 中繼能夠提高信息傳輸質(zhì)量及覆蓋區(qū)域，是一種近年來(lái)得到迅速發(fā)展且前景廣闊的無(wú)線通信技術(shù)。而性能優(yōu)良的中繼信道估計(jì)構(gòu)成了改善通信環(huán)境的其他技術(shù)的基礎(chǔ)前提。針對(duì)中繼信道估計(jì)中的相位響應(yīng)部分，首先建立了在任意信噪比條件下的相位噪聲模型?？紤]到估計(jì)過(guò)程快速的現(xiàn)實(shí)要求，通過(guò)將模型中原有復(fù)雜的表達(dá)噪聲形式用高斯的方法近似化，得到了較為簡(jiǎn)潔的結(jié)果，并根據(jù)不同的簡(jiǎn)化形式給出對(duì)應(yīng)的若干相位響應(yīng)估計(jì)算法。為了比較這些算法之間的性能，重點(diǎn)推導(dǎo)了估計(jì)算法所能達(dá)到的CRLB。最后結(jié)合計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

關(guān)鍵詞： 中繼信道； 相位響應(yīng)； 估計(jì)算法； 相位噪聲模型

中圖分類(lèi)號(hào)： TN911?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）04?0013?04

Model of relay channel phase response and its estimation algorithms

HUANG Chun?wen

（Jiangxi Yuchuang Network Technology Co.， Ltd， China Comservice， Nanchang 330096， China）

Abstract： Recently， Relay has become a booming and promising wireless communication technology， which can improve the information transmission quality and enlarge the service coverage area. Meanwhile， effective relay channel estimation makes up a foundation of other technologies for improving communication invironment， such as relay beamforming and relay selection. Focusing on the phase response in relay channel estimation， the model of phase noise in arbitrary SNR was build up. In order to decrease the amount of estimator calculation， the complicated formula of original noise model is approximated by the relatively simple Gaussian counterpart to get relatively succinct result. According on the different simplified form， several phase estimation algorithms are given. The CRLB （Cramer?Rao Lower Bound） is also derived with the purpose of comparing the performance of the algorithms. The conclusion correctness was verified by computer numerical simulation.

Keyword： relay channel； phase response； estimation algorithm； phase noise model

0 引 言

中繼通信作為一種有效對(duì)抗無(wú)線信道衰落特性的手段，具有廣闊的應(yīng)用前景[1]。但是，采用中繼波束成形和中繼選擇等主要技術(shù)的前提為完全獲知信道狀態(tài)信息，現(xiàn)實(shí)中通過(guò)發(fā)送各方已知的訓(xùn)練序列進(jìn)行估計(jì)。信道對(duì)發(fā)送信號(hào)的影響包括幅度改變和相位改變兩部分，目前文獻(xiàn)[2?6]討論較多集中在幅度改變影響方面，而相位改變方面考慮不足。然而，在信道相位響應(yīng)未知條件下，僅僅對(duì)幅度相應(yīng)進(jìn)行估計(jì)是沒(méi)有意義的。因此，研究性能較好的相位響應(yīng)估計(jì)方法對(duì)于降低整體信道估計(jì)誤差具有重要意義。

針對(duì)相位估計(jì)，文獻(xiàn)[7]提出將接收到的信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，找出頻域峰值所在位置對(duì)應(yīng)的頻率值作為估計(jì)結(jié)果，思路較為直觀，其不足之處在于運(yùn)算量巨大，難于在實(shí)時(shí)環(huán)境下采用。文獻(xiàn)[8]對(duì)上述方法有所改進(jìn)，應(yīng)用最大似然算法估計(jì)出頻譜中的峰值處，較為適合進(jìn)行頻率估計(jì)。同時(shí)，在運(yùn)算量和估計(jì)性能上進(jìn)行了折中，但并未完全改變?cè)谶\(yùn)算形式復(fù)雜的弊端。文獻(xiàn)[9]在高信噪比環(huán)境下，將噪聲線性疊加造成的影響近似為相位上擺動(dòng)，將非線性估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性估計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]受此啟發(fā)，給出了準(zhǔn)確的相位關(guān)系模型，并對(duì)比了幾種相位估計(jì)方法性能表現(xiàn)。然而，上面文獻(xiàn)討論時(shí)均需已知信道的幅度相應(yīng)，不能直接用于中繼信道幅度相應(yīng)未知情況。

基于這一問(wèn)題，本文根據(jù)文獻(xiàn)的思想，提出了改進(jìn)的中繼信道相位響應(yīng)估計(jì)算法，與此同時(shí)推導(dǎo)了在高信噪比條件下的CRLB表達(dá)式，可以作為衡量幾種算法性能的標(biāo)準(zhǔn)，從理論推導(dǎo)和仿真驗(yàn)證兩個(gè)方面說(shuō)明了改進(jìn)算法的性能優(yōu)勢(shì)。

1 相位響應(yīng)模型

在進(jìn)行分析之前，首先對(duì)中繼通信進(jìn)行模型建立。令[U1]和[U2]分別代表進(jìn)行通信的兩個(gè)用戶，由于他們之間嚴(yán)重的無(wú)線衰落，不存在直接的通信線路，此時(shí)需要中繼[R]協(xié)助建立連接，如圖1所示。在[U1]和[U2]進(jìn)行數(shù)據(jù)交換之前要首先完成信道估計(jì)，而中繼[R]對(duì)于接收信號(hào)只是實(shí)現(xiàn)線性放大，并不加入任何其他信息。

圖1 中繼通信系統(tǒng)模型

在第一個(gè)時(shí)隙，發(fā)送端[U1]向中繼[R]發(fā)送訓(xùn)練序列[t11]。[R]將接收到的信號(hào)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的放大處理后在第二個(gè)時(shí)隙轉(zhuǎn)發(fā)向接收端[U2]。由于發(fā)送內(nèi)容[t11]均為雙方已知，故[U2]進(jìn)行信道估計(jì)后即可獲知與[U1]間的信道狀態(tài)信息，即CSI。與此相似，[U2]通過(guò)反向發(fā)送[t21]，使[U1]亦得到此時(shí)的CSI。在假定估計(jì)階段信道系數(shù)保持不變的前提下，通常為了提高信道估計(jì)的準(zhǔn)確性，將訓(xùn)練序列長(zhǎng)度設(shè)定為[N][N>1]，即[t1=t11，t12，…，t1NT]、[t2=t21，t22，…，t2NT]，因此，進(jìn)行完整的信道估計(jì)總共占用[4N]個(gè)時(shí)隙。將整個(gè)過(guò)程用向量形式表示，有：

[r=ht+n1] （1）

[y=αgr+n0=αght+αgn1+n0] （2）

式中：[α]為中繼放大系數(shù)，[α=Prσ2hP1+σ2n]，[Pr]和[P1]為中繼和用戶[U1]的發(fā)送功率；[r]和[y]分別為中繼和用戶[U1]的接收信號(hào)向量。以第[k]個(gè)時(shí)隙為例，對(duì)式（2）處理得到：

[yTk?tk=αghP1+αg+1?tk?n0k] （3）

[1αP1yTk?tk=gh+1αP1αg+1?tk?n0k] （4）

從用戶的角度看來(lái)，由于聯(lián)合信道等效于分段信道[h]和[g]的相乘疊加，沒(méi)有必要分別估計(jì)，只需對(duì)[gh]進(jìn)行整體研究即可。因此，為了表述簡(jiǎn)潔，可令[gh=A?expjθ]，其中[A]和[θ]分別為整體中繼信道的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)，而[nk=1αP1αg+1?tk?n0k]表示加性高斯白噪聲，[zk=1αP1yTk?tk]，式（4）化簡(jiǎn)為：

[zk=A?expjθ+nk] （5）

由于本文只關(guān)注相位響應(yīng)[θ]，將[A]看作未知的常數(shù)，進(jìn)一步有：

[∠zk=θ+εk， k=1，2，…，N] （6）

式中[εk]表示第[k]個(gè)時(shí)隙由加性白噪聲[nk]引入的相位偏差。

式（5）和式（6）中各分量可通過(guò)圖2所示的幾何關(guān)系直觀表示。圖中的[nIk]和[nQk]分別為相對(duì)于真實(shí)的信道系數(shù)[gh]的同向噪聲分量和正交噪聲分量，兩者相互獨(dú)立且同分布。本文的重點(diǎn)在于根據(jù)[εk]具有的統(tǒng)計(jì)特性，從式出發(fā)來(lái)討論能夠得到較好的相位響應(yīng)估計(jì)值[θ]的幾種算法。

圖2 中繼信道相位響應(yīng)幾何關(guān)系示意

2 相位響應(yīng)估計(jì)算法

在信噪比較大的情況下，有如下數(shù)學(xué)近似成立：

[εk≈tanεk=nQkrk] （7）

由于[nQk]的統(tǒng)計(jì)特性和[rk]均已知，故而式轉(zhuǎn)化為高斯白噪聲方差已知條件下的未知常數(shù)估計(jì)問(wèn)題。需要說(shuō)明的是，當(dāng)[x→0]時(shí)，雖然近似[x≈sinx]相對(duì)[x≈tanx]具有更高的準(zhǔn)確度，然而，式（7）變?yōu)椋?/p>

[εk≈sinεk≈nQkA+nIk≈nQkA] （8）

與文獻(xiàn)[10]的應(yīng)用環(huán)境不同，此時(shí)的信道幅度響應(yīng)[A]未知，因此不能采用式（8）的估計(jì)方法。

根據(jù)概率論知識(shí)，在[A]保持不變的條件下，式（5）中的[zk]服從Rice分布[11]，可以得到幅度[zk]和相位偏差[εk]的聯(lián)合分布，有：

[pzk=-ππpzk，εkdεk =zkσ22exp-zk2+A2σ2I0zkAσ22] （9）

對(duì)相應(yīng)的變量進(jìn)行積分，可以分別得到[zk]和[εk]的分布表達(dá)式，有：[pzk=-ππpzk，εkdεk =zkσ22exp-zk2+A2σ2I0zkAσ22] （10）

[pεk=0∞pzk，εkdzk=Acosεkπσ2exp-A2sin2εkσ2?1-QAcosεkσ22+ 12πexp-A2σ2] （11）

式中[Qx=12πx∞exp-y22dy]，表示高斯[Q]函數(shù)。由文獻(xiàn)[12]可知，在高信噪比環(huán)境，即[A2σ2→∞]且[σ2→0]時(shí)，式（11）表示的[εk]可以近似為T(mén)ikhonov分布，有：

[pεk≈expA2σ22cosεk2πI0A2σ22， -πεk<π] （12）

式中[I0?]表示第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)。

另外，從式（10）和式（11）可以得到相位偏差[εk]的條件概率分布，有：

[pεkzk=pzk，εkpzk=expzkAσ22cosεk2πI0zkAσ22， -πεk<π] （13）

可見(jiàn)，式（13）亦具有Tikhonov分布的形式。

從式（12）和式（13）可直觀看出Tikhonov分布表達(dá)關(guān)系式復(fù)雜而難以處理，文獻(xiàn)[11]提出可采用標(biāo)準(zhǔn)高斯分布進(jìn)行很好的近似。此時(shí)，式（12）和式（13）可以簡(jiǎn)化為：

[pεk=Aπσ2exp-A2ε2kσ2] （14）

[pεkzk=1πσ2zkAexp-ε2kσ2zkA] （15）

隨著信噪比[A2σ2]的增大，式（11）、式（12）和式（14）之間的差異迅速減小，即采用高斯近似是簡(jiǎn)化運(yùn)算的合理選擇方式。為了表達(dá)上的簡(jiǎn)潔，進(jìn)一步將式（16）擴(kuò)展為向量形式，令：

[∠z=∠z1，…，∠zNT，θ=θ?1，1，…，1︸NT、]

[ε=ε1，…，εNT]

此時(shí)有：

[∠z=θ+ε] （16）

根據(jù)最小二乘算法，結(jié)合式（8）、式（14）和式（15），可以得出如下幾種相位響應(yīng)[θ]估計(jì)算法：

[θ1=1Nk=1N∠zk] （17）

[θ2=k=1Nzk2∠zkk=1Nzk2] （18）

[θ3=k=1Nzk∠zkk=1Nzk] （19）

3 相位響應(yīng)估計(jì)的[CRLB]

眾所周知，[CRLB]（Cramer?Rao Lower Bound）表示無(wú)偏的未知參數(shù)估計(jì)算法所能達(dá)到的最低誤差限，對(duì)于衡量估計(jì)算法性能具有重要意義。下面從式（13）開(kāi)始推導(dǎo)[CRLB]。

[p∠zA，θ=k=1NexpzkAσ22cos∠zk-θ2πI0zkAσ22] （20）

[lnp∠zA，θ= k=1NzkAσ22cos∠zk-θ-ln2πI0zkAσ22] （21）

[?lnp∠zA，θ?A=k=1Nzkσ22cos∠zk-θ-zkσ22?I1zkAσ22I0zkAσ22]（22） [?2lnp∠zA，θ?A2= k=1N1-I21zkAσ22I20zkAσ22-σ22zkA?I1zkAσ22I0zkAσ22?zkσ222] （23）

當(dāng)信噪比[A2σ2]較大時(shí)，采用相應(yīng)的數(shù)學(xué)近似可以化簡(jiǎn)式（23），由此得到：

[?2lnp∠zA，θ?A2=-k=1Nzkσ22?1A] （24）

另一方面，有如下關(guān)系式成立：

[?2lnp∠zA，θ?θ2=-k=1NzkAσ22cos∠zk-θ]（25）

[?2lnp∠zA，θ?A?θ=?2lnp∠zA，θ?θ?A =k=1Nzkσ22sin∠zk-θ] （26）

結(jié)合式（24）、式（25）和式（26），得到費(fèi)舍信息矩陣（FIM）：

[J=-E?2lnp∠zA，θ?A2-E?2lnp∠zA，θ?A?θ-E?2lnp∠zA，θ?θ?A-E?2lnp∠zA，θ?θ2] （27）

其中相位響應(yīng)[∠zk]的CRLB大小為矩陣[J-1]對(duì)角線右下角相應(yīng)元素值，有：

[CRLBθ=σ22NA2=12N?SNR] （28）

4 數(shù)值仿真及結(jié)果分析

本節(jié)通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真的方式來(lái)比較上述提出的幾種算法在進(jìn)行相位響應(yīng)估計(jì)時(shí)所能達(dá)到的性能。分別將式（17）～式（19）中的估計(jì)算法。定義信噪比[SNR]為中繼信道幅度響應(yīng)值的平方[A]同加性高斯白噪聲方差[σ2]的比值。訓(xùn)練序列[t]為單位幅度、相位于[0，2π]內(nèi)均勻分布的復(fù)數(shù)形式信號(hào)組成。在仿真的過(guò)程中，隨機(jī)選取5個(gè)相位值保持不變。采用蒙特卡羅的方式進(jìn)行，針對(duì)每個(gè)相位值進(jìn)行了5 000次仿真運(yùn)算，通過(guò)求取各個(gè)估計(jì)算法所得結(jié)果和真實(shí)值之間的平均均方誤差和的方式獲得了相應(yīng)的性能曲線。為了做出對(duì)比，同樣繪制得出了[CRLB]曲線，最后的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 幾種相位響應(yīng)估計(jì)算法性能對(duì)比

分別將訓(xùn)練序列[t]的長(zhǎng)度設(shè)定為6位和12位。由圖4可以直觀看出，隨著訓(xùn)練序列長(zhǎng)度的增加，各個(gè)算法所能達(dá)到的性能限均有所改善。在高信噪比的情況下（圖中10 dB以上部分）幾乎同相應(yīng)條件下的[CRLB]曲線重合。在信噪比較低（圖中5 dB以下部分）的條件下，算法2和算法3所達(dá)到的性能均明顯優(yōu)于算法1，這是因?yàn)檫@兩種算法在考慮了接收到的訓(xùn)練序列信號(hào)相位信息的同時(shí)，也參考了幅度信息。即對(duì)于不同的相位，根據(jù)其幅度的大小進(jìn)行加權(quán)，認(rèn)為當(dāng)接收到的信號(hào)幅度較大時(shí)，造成的原因?yàn)榇丝袒烊氲募有愿咚拱自肼曒^小，其相位值相對(duì)來(lái)說(shuō)更加逼近于真實(shí)值。在對(duì)這兩種算法對(duì)比時(shí)可以看出算法2同算法3相比，僅有極小的性能優(yōu)勢(shì)，幾乎可以忽略不計(jì)。但是從數(shù)值運(yùn)算的角度出發(fā)來(lái)分析，由于算法3直接利用信號(hào)的幅度信息，相對(duì)算法2的模值平方運(yùn)算來(lái)說(shuō)，更加適用于需要快速獲得中繼信道相位響應(yīng)的實(shí)用環(huán)境。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)中繼信道估計(jì)中的相位響應(yīng)估計(jì)問(wèn)題，首先將服從表達(dá)形式復(fù)雜的Tikhonov分布的相位噪聲干擾在不同情況下近似為高斯形式，并由此得出了若干漸進(jìn)無(wú)偏的相位估計(jì)算法。為了比較幾種估計(jì)算法所能達(dá)到的性能，推導(dǎo)了在較高信噪比環(huán)境下相位響應(yīng)估計(jì)誤差的[CRLB]表達(dá)式，最后通過(guò)數(shù)值仿真的方式驗(yàn)證了理論的正確性。

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