電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流新模型及其內(nèi)點(diǎn)法實(shí)現(xiàn)

聶永輝，肖 白，劉鳳蘭

（1.東北電力大學(xué)教務(wù)處，吉林132012；2.東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林132012；3.吉林市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，吉林132010）

最優(yōu)潮流OPF（optimal power flow）問題是通過利用電力系統(tǒng)中可調(diào)節(jié)的控制手段，在滿足電力系統(tǒng)安全運(yùn)行和物理約束條件限制下，使某種預(yù)定目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。它是典型帶有連續(xù)變量和離散變量的大規(guī)模、非線性、非凸的規(guī)劃問題[1-2].從20 世紀(jì)60年代法國(guó)Carpentier提出最優(yōu)潮流這個(gè)概念后，很多方法如線性規(guī)劃法、二次規(guī)劃法、簡(jiǎn)約梯度法、牛頓法和智能方法等[3-4]，被用來解決復(fù)雜的優(yōu)化問題，這些方法在某些方面存在明顯的缺陷，或不等式約束的處理問題，或最優(yōu)解附近收斂性問題，或數(shù)值穩(wěn)定性問題，制約了OPF 的求解范圍。

近年來，預(yù)測(cè)-校正原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法PCPDIPM（predictor-correctorprimal-dualinteriorpointmethod）被成功地應(yīng)用于求解各種優(yōu)化問題，因其具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性和快速收斂的特性被認(rèn)為是解決大規(guī)模OPF 問題較有效的方法[5-11]。該算法主要是海森矩陣的形成和矩陣分解，約占了全部計(jì)算量的80%～90%，而現(xiàn)有的最優(yōu)潮流模型是優(yōu)化變量的高階函數(shù)，導(dǎo)致其海森矩陣不是定常矩陣，隨著迭代過程而變化，需要在迭代過程中不斷進(jìn)行更新計(jì)算，為此增加了計(jì)算機(jī)消耗總時(shí)間。文獻(xiàn)[3]利用多中心柱正內(nèi)點(diǎn)法的思想，通過關(guān)鍵參數(shù)的改進(jìn)得至更大迭代步長(zhǎng)，加速了算法整個(gè)收斂過程；文獻(xiàn)[5]利用最小度法MD（minimum degree）對(duì)修正方程系數(shù)矩陣進(jìn)行節(jié)點(diǎn)優(yōu)化排序，有效地減少了在三角分解過程中注入元產(chǎn)生的個(gè)數(shù)，以提高優(yōu)化速度；文獻(xiàn)[9]根據(jù)電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，通過重新排列原對(duì)偶變量在高度稀疏的修正方程系數(shù)矩陣中的順序，有效地減少了在三角分解過程中注入元產(chǎn)生的個(gè)數(shù)，從而降低計(jì)算機(jī)優(yōu)化時(shí)間。

本文在有載調(diào)壓變壓器支路模型中增加虛擬節(jié)點(diǎn)，有載調(diào)壓變壓器支路功率方程用該節(jié)點(diǎn)的電壓來表達(dá)，使其不含有變壓器變比這個(gè)變量，從而在直角坐標(biāo)系中建立了最優(yōu)潮流問題的二次新模型，使得該模型有恒常的海森矩陣，在優(yōu)化過程中也只需要一次計(jì)算，這樣縮短了內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算總時(shí)間。為了進(jìn)一步提高優(yōu)化速度，利用列近似最小度法對(duì)內(nèi)點(diǎn)法牛頓方程的系數(shù)矩陣進(jìn)行節(jié)點(diǎn)優(yōu)化排序，以進(jìn)一步減少三角分解時(shí)注入元的產(chǎn)生。但由于虛擬節(jié)點(diǎn)的引入，增加了等式約束和優(yōu)化變量的個(gè)數(shù)，從而增加了求解修正方程的時(shí)間，但增加的時(shí)間比形成修正方程時(shí)縮短的時(shí)間少，從而提高了計(jì)算速度。

1 最優(yōu)潮流新模型

經(jīng)典的有載調(diào)壓變壓器LTC（load tag changing tramsformer）支路模型，由理想變壓器和導(dǎo)納支路串聯(lián)組成，如圖1 所示。圖中：i 和j 分別為有載調(diào)壓變壓器的標(biāo)準(zhǔn)側(cè)節(jié)點(diǎn)和非標(biāo)準(zhǔn)側(cè)節(jié)點(diǎn)，t 為L(zhǎng)TC變比，yt=gt+jbt為L(zhǎng)TC 導(dǎo)納，=ei+jfi和=ej+jfj為L(zhǎng)TC 各側(cè)節(jié)點(diǎn)電壓=PTij+jQTij和PTji+jQTji為標(biāo)準(zhǔn)側(cè)和非標(biāo)準(zhǔn)側(cè)節(jié)點(diǎn)注入功率。

則有載調(diào)壓變壓器支路功率方程為

圖1 有載調(diào)壓變壓器等效模型Fig.1 LTC equivalent model

由于LTC 變比的存在，導(dǎo)致有載調(diào)壓變壓器支路功率方程均是電壓和變比的高次函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的海森矩陣不是常數(shù)，因此在基于預(yù)測(cè)-校正原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)的優(yōu)化計(jì)算中，每次迭代都需要計(jì)算，增加了整個(gè)優(yōu)化時(shí)間。為使式（1）～式（4）變成二次函數(shù)，本文在理想變壓器和串聯(lián)導(dǎo)納之間增加一個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)，其電壓為em+jfm，見圖1，S˙Tmj=PTmj+jQTmj是虛擬節(jié)點(diǎn)m 流向標(biāo)準(zhǔn)側(cè)節(jié)點(diǎn)j 的功率，S˙Tjm=PTjm+ jQTjm是低壓側(cè)節(jié)點(diǎn)j 流向虛擬節(jié)點(diǎn)m 的功率，則有載調(diào)壓變壓器支路功率方程變?yōu)?/p>

理想變壓器是無(wú)損的，其兩側(cè)電壓應(yīng)滿足的關(guān)系為

引入以上變壓器模型，以各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓實(shí)部與虛部、LTC 變比、發(fā)電機(jī)有功發(fā)電出力、無(wú)功發(fā)電出力及無(wú)功補(bǔ)償點(diǎn)無(wú)功出力為優(yōu)化變量，在直角坐標(biāo)下建立了二階最優(yōu)潮流優(yōu)化模型。

1）目標(biāo)函數(shù)

以系統(tǒng)運(yùn)行成本最小為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為

式中：PGi為第i 臺(tái)發(fā)電機(jī)的有功發(fā)電出力；c0i、c1i、c2i為其耗量特性曲線參數(shù)。

2）等式約束

等式約束包括節(jié)點(diǎn)功率平衡方程和電壓轉(zhuǎn)換方程，節(jié)點(diǎn)功率平衡方程為

式中：PLij和QLij分別為常規(guī)線路及無(wú)載調(diào)壓變壓器支路的有功和無(wú)功；Pi和Qi分別為節(jié)點(diǎn)的有功注入和無(wú)功注入；PTij和QTij分別為有載調(diào)壓變壓器支路的有功功率和無(wú)功功率，如果節(jié)點(diǎn)i 為非標(biāo)準(zhǔn)側(cè)，則按式（5）和式（6）計(jì)算；如果節(jié)點(diǎn)i 為標(biāo)準(zhǔn)側(cè)，則按式（7）和式（8）計(jì)算；NB為系統(tǒng)原有的節(jié)點(diǎn)數(shù)，不包括虛擬節(jié)點(diǎn)；SLi為與節(jié)點(diǎn)i 相連的常規(guī)支路集合；STi為與節(jié)點(diǎn)i 相連的有載調(diào)壓變壓器支路集合。

（3）不等式約束

不等式約束包括節(jié)點(diǎn)電壓幅值、發(fā)電機(jī)有功發(fā)電出力和無(wú)功發(fā)電出力、并聯(lián)無(wú)功補(bǔ)償出力、LTC 變比的上下限約束和支路傳輸功率約束，即

式中，[]min、[]max為相應(yīng)變量的下限和上限。

由于虛擬節(jié)點(diǎn)的引入，該最優(yōu)潮流模型的目標(biāo)函數(shù)、等式約束限制、不等式約束限制均是優(yōu)化變量的二次函數(shù)。因此，各個(gè)函數(shù)的海森矩陣都是常數(shù)矩陣，在內(nèi)點(diǎn)法的整個(gè)優(yōu)化過程中只計(jì)算一次，不需要每次迭代都進(jìn)行計(jì)算，優(yōu)化計(jì)算的總時(shí)間大大降低[1-6]。

2 算例仿真

本文是在奔騰雙核（2G 內(nèi)存）和操作系統(tǒng)為WINDOWS XP 的環(huán)境下，利用Matlab7 對(duì)IEEEl4、IEEE30、IEEE57、IEEE118、IEEE300 等節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)建立新模型（Mod1）和常規(guī)模型（Mod2）進(jìn)行仿真驗(yàn)證，采用標(biāo)幺值進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。表1 介紹了測(cè)試系統(tǒng)的基本情況，表中：n 代表系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量，l 為系統(tǒng)支路數(shù)量，k 為系統(tǒng)變壓器支路數(shù)量，g 為系統(tǒng)發(fā)電機(jī)數(shù)量，r 為系統(tǒng)補(bǔ)償裝置數(shù)量，m1為等式約束個(gè)數(shù)，r1為不等式約束的個(gè)數(shù)，n1為修正方程的階數(shù)。由表1 可以看出，針對(duì)同一節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，有相同個(gè)數(shù)的不等式約束限制，但在等式約束限制的個(gè)數(shù)和修正方程的階數(shù)方面，所提模型比常規(guī)模型高。

表1 測(cè)試系統(tǒng)介紹Tab.1 Introduction of test systems p.u.

對(duì)于PCPDIPM 算法，其主要計(jì)算量是系數(shù)矩陣的形成和修正方程的求解，約占全部計(jì)算量的80%～90%。由于新模型的海森矩陣是常量，這極大地減少了形成系數(shù)矩陣所需要的時(shí)間。對(duì)于第2個(gè)問題，本文利用列近似最小度COLAMD（column approximateminimumdegree）算法和近似最小度AMD（approximate minimum degree）算法對(duì)內(nèi)點(diǎn)法修正方程的系數(shù)矩陣進(jìn)行節(jié)點(diǎn)優(yōu)化編號(hào)，如表2 所示。不管采用哪種排序方法，LU 分解后矩陣的稀疏度都比分解前的要低。對(duì)于新模型，除了IEEE14 和IEEE30 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)外，COLAMD 算法比AMD 算法有更高的稀疏度；對(duì)于常規(guī)模型，除了IEEE118 和IEEE300 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)外，AMD 算法比COLAMD 算法有更高的稀疏度；由此，COLAMD 算法更適合高階修正方程的系統(tǒng)，更有效地減少了其LU 分解所產(chǎn)生的注入元，從而減少了求解修正方程所需要的時(shí)間。

表2 LU 分解前后的稀疏度Tab.2 Degree of sparsity before and after LU %

新模型與常規(guī)模型在1 次迭代時(shí)形成系數(shù)矩陣所需要的時(shí)間如表3 所示?？梢钥闯觯履Ｐ驮? 次迭代時(shí)形成系數(shù)矩陣所需要的時(shí)間比常規(guī)模型少，這是因?yàn)椋河捎谒崮Ｐ褪嵌文Ｐ停淠繕?biāo)函數(shù)、等式約束和不等式約束相對(duì)應(yīng)的各個(gè)海森矩陣是恒常矩陣，在整個(gè)迭代過程中只進(jìn)行1次計(jì)算，導(dǎo)致較少的時(shí)間形成修正方程系數(shù)矩陣；但對(duì)傳統(tǒng)模型而言，由于交流LTC 支路的影響，其模型是高階函數(shù)，在每一次迭代過程中都需要求解對(duì)應(yīng)的各個(gè)海森矩陣，因此需要更多的時(shí)間形成修正方程系數(shù)矩陣。

表3 第1 次迭代系數(shù)矩陣形成時(shí)間Tab.3 Time of forming coefficient matrix in first iteration s

新模型與常規(guī)模型在1 次迭代時(shí)求解修正方程所需要的時(shí)間如表4 所示。兩種模型的系數(shù)矩陣經(jīng)COLAMD 算法優(yōu)化后（用Ordering 表示）比優(yōu)化前（用N-Ordering 表示）大大減少了求解修正方程所需要的時(shí)間；經(jīng)COLAMD 算法優(yōu)化后，新模型求解修正方程所需要的時(shí)間比常規(guī)模型有所增加，這是由于虛擬節(jié)點(diǎn)的引進(jìn)增加了牛頓方程的階數(shù)，但COLAMD 算法對(duì)新模型更有效。從表3 和表4 可以看出，求解牛頓方程所增加的計(jì)算量小于計(jì)算系數(shù)矩陣所節(jié)省的形成時(shí)間，從而導(dǎo)致新模型優(yōu)化的總時(shí)間比常規(guī)模型大大減少。

表4 第1 次迭代修正方程求解時(shí)間Tab.4 Time of solving correction equation in first iteration

用兩種模型求解最優(yōu)潮流問題所需要的總時(shí)間、迭代次數(shù)和運(yùn)行成本如表5 所示，總時(shí)間包括形成海森矩陣、雅可比矩陣、系數(shù)矩陣的時(shí)間和求解牛頓方程所需要的時(shí)間。通過對(duì)5 個(gè)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)仿真，新模型所需要的總時(shí)間比常規(guī)模型少，系統(tǒng)規(guī)模愈大，節(jié)省的時(shí)間愈多；兩種模型都有相同的迭代次數(shù)和優(yōu)化結(jié)果。

為了更好地揭示新模型的收斂特性，表6 列出了IEEE30、IEEE57 和IEEE118 3 個(gè)系統(tǒng)在迭代過程中運(yùn)行成本的變化，仿真結(jié)果顯示兩種模型有相同的收斂特性，對(duì)一特定系統(tǒng)，迭代過程的前幾次有些不同，但都收斂到相同的結(jié)果。

表5 優(yōu)化總時(shí)間、迭代次數(shù)和優(yōu)化結(jié)果Tab.5 Time，iterations and optimal results

表6 迭代過程中的燃料費(fèi)用Tab.6 Fuel cost during the iterative process$/h

3 結(jié)語(yǔ)

本文在有載可調(diào)變壓器支路中引進(jìn)虛擬節(jié)點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中建立了包含有載可調(diào)變壓器變比的二階最優(yōu)潮流新模型。該模型的海森矩陣在優(yōu)化過程中是恒常矩陣，只需要計(jì)算1 次，這樣縮短了內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算機(jī)消耗總時(shí)間。利用列近似最小度法對(duì)修正方程系數(shù)矩陣進(jìn)行節(jié)點(diǎn)優(yōu)化排序，進(jìn)一步減少三角分解過程中注入元的產(chǎn)生。算例結(jié)果表明：新模型的迭代特性與傳統(tǒng)模型的基本相同，但優(yōu)化速度卻有較大的提升。

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