雙層Lengyel-Epstein模型不同耦合形式下的圖靈斑圖

白占國，景宏華，李新政，李 燕，李新娟

（1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北師范大學(xué)河北省職業(yè)技術(shù)教育研究所，河北石家莊 050080）

雙層Lengyel-Epstein模型不同耦合形式下的圖靈斑圖

白占國1，景宏華2，李新政1，李 燕1，李新娟1

（1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北師范大學(xué)河北省職業(yè)技術(shù)教育研究所，河北石家莊 050080）

采用雙層Lengyel-Epstein模型研究了2個子系統(tǒng)在不同耦合形式下斑圖的形成機制。研究3種不同波數(shù)比的條件下，耦合形式和耦合強度對斑圖的形成的重要作用。當(dāng)波數(shù)比為1時，2個子系統(tǒng)會出現(xiàn)相同的簡單斑圖（如簡單六邊形、四邊形和條紋斑圖），耦合形式和耦合系數(shù)的改變未對斑圖的形成產(chǎn)生影響；當(dāng)波數(shù)比大于1時，短波系統(tǒng)出現(xiàn)種類豐富的復(fù)雜斑圖。由于圖靈模間發(fā)生共振耦合：線性耦合系統(tǒng)出現(xiàn)白眼超六邊和類蜂窩斑圖，非線性耦合系統(tǒng)選擇環(huán)狀超六邊和白眼等復(fù)雜超點陣斑圖。另外，2種耦合形式圖靈模產(chǎn)生共振所需的耦合強度不同。

Lengyel-Epstein模型；圖靈模；耦合；斑圖

白占國，景宏華，李新政，等.雙層Lengyel-Epstein模型不同耦合形式下的圖靈斑圖［J］.河北科技大學(xué)學(xué)報，2014，35（2）：134-138.

BAI Zhanguo，JING Honghua，LI Xinzheng，et al.Analysis of Turing pattern in two-layer coupled Lengyel-Epstein model［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2014，35（2）：134-138.

斑圖是自然界廣泛存在的一種在時空上具有某種規(guī)律性的非均勻結(jié)構(gòu)，是均勻恒定狀態(tài)的線性失穩(wěn)導(dǎo)致了系統(tǒng)某種時空對稱性破缺的結(jié)果［1－5］。人們按斑圖包含空間波矢的多少，將斑圖粗略地分為3類：1）具有單個波矢的簡單斑圖，2）包含2個或2個以上空間波矢的復(fù)雜斑圖，3）具有無限個波矢的混沌態(tài)，經(jīng)空間分析發(fā)現(xiàn)復(fù)雜斑圖是由簡單子斑圖結(jié)構(gòu)按照一定的波長關(guān)系組合而成。由于復(fù)雜斑圖的組成單元是一個介觀結(jié)構(gòu)，既具有“準(zhǔn)粒子”的微觀特性，又具有整體相關(guān)的宏觀特征，所以超點陣復(fù)雜斑圖已成為研究的熱點。

近年來，人們利用多種形式在實驗和理論上獲得了種類豐富的超點陣斑圖［6－9］，其中以介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)最為顯著，在該系統(tǒng)中已獲得了蜂窩、白眼、超四邊、超六邊、點線斑圖和螺旋波等復(fù)雜斑圖［10－12］。人們根據(jù)BARRIO等提出超點陣斑圖的形成是由于2個模相互作用的觀點［13］，開始利用雙層耦合模型對實驗中觀察到的超點陣斑圖進行理論模擬，并獲得了許多有意義的研究成果［14－16］。已有文獻主要利用模與模的線性耦合作用獲得超點陣斑圖，對非線性相互作用研究較少。在本研究中，采用雙層Lengyel-Epstein數(shù)值模型，通過改變2個圖靈模的波數(shù)比和耦合強度，從模與模的線性和非線性耦合2個方面，獲得了種類豐富的斑圖，分析了圖靈模對不同斑圖形成的影響，并從理論上分析了復(fù)雜圖形的形成機理及其動力學(xué)行為。

1 模 型

圖靈在1952年首先利用化學(xué)反應(yīng)擴散方程組對斑圖的形成進行了理論解釋［17］，目前用于研究圖靈分岔斑圖的主要有Schnackenberg、Brusselator和 Lengyel-Epstein 等模型［18－20］。本研究所采用的模型是CIMA化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)雙層耦合的Lengyel-Epstein方程，每層包括一個活化子和一個禁阻子，在無量綱的情況下該模型形式如下：

其中i和j表示2個子系統(tǒng)1（u1，v1）和2（u2，v2），u和v分別為活化子和禁阻子的濃度；Du和Dv分別為u和v變量的擴散系數(shù)，α，β為2個子系統(tǒng)耦合強度，動力學(xué)行為由控制參數(shù)a和b所決定。在本文中固定a＝15和b＝9。該系統(tǒng)具有唯一的均勻定態(tài)解，對該均勻定態(tài)解作線性穩(wěn)定性分析可得到斑圖動力學(xué)中最常見的2類初級分岔現(xiàn)象：當(dāng)控制參數(shù)b滿足時，系統(tǒng)經(jīng)歷霍普夫分岔；當(dāng)b滿足時，系統(tǒng)經(jīng)歷圖靈分岔，并產(chǎn)生一組特征波數(shù)均為的圖靈模，從式中可以看出圖靈模的波數(shù)kc反比于2個變量擴散系數(shù)Du和Dv的乘積。圖1是2個系統(tǒng)的色散關(guān)系：具有較大擴散系數(shù)的失穩(wěn)模q（長波模）具有較小的波數(shù)，而具有較小擴散系數(shù)的穩(wěn)定模kc（短波模）具有較大的波數(shù)。

數(shù)值模擬采用歐拉向前差分的方法進行積分，在一個含有N×N（128×128）個格子的二維平面上進行，時間積分步長為Δt＝0.01個時間單位，初始條件為均勻定態(tài)上加一個很小的隨機擾動，邊界條件選用周期性邊界條件。

圖1 2個耦合系統(tǒng)色散關(guān)系Fig.1 Dispersion relation of two coupled mode

2 結(jié)果與分析

由于雙層模擬系統(tǒng)中斑圖的選擇完全取決于2個圖靈模之間的地位與相互作用，因此通過合理選擇參數(shù)使2個子系統(tǒng)分別具有長波模和短波模，保持長波模為失穩(wěn)形式、短波模為線性穩(wěn)定形式，進而討論兩模作用引起的復(fù)雜斑圖。

圖2中是波數(shù)比為1時，不同情況下2個子系統(tǒng)出現(xiàn)的簡單六邊形斑圖。從圖2中可以看出：無論耦合系數(shù)和形式如何改變，兩子系統(tǒng)形成斑圖都與子系統(tǒng)無耦合時生成的簡單六邊形相同，均具有相同的空間點陣形式，說明兩子系統(tǒng)波數(shù)相等時斑圖不受耦合項的影響，僅與擴散系數(shù)有關(guān)，且隨擴散系數(shù)的增大圖形單元間的距離增大。由于波數(shù)相等時兩子系統(tǒng)的圖靈模波數(shù)相同且地位相等，兩波模無共振耦合發(fā)生，不會有新的失穩(wěn)模產(chǎn)生，因此系統(tǒng)僅有單一空間尺度的簡單斑圖形成，二維傅里葉頻譜顯示具有一套矢量結(jié)構(gòu)，呈六邊形分布，且波形空間分布圖中僅有一種強度波形。

圖2 波數(shù)比為1時的簡單六邊形斑圖Fig.2 Simple hexagon pattern when the wave number ratio is 1

波數(shù)比大于1時，兩子系統(tǒng)圖靈模地位不同，長波模處于主導(dǎo)地位，短波模受長波模調(diào)制（系統(tǒng)處于初級圖靈分岔點附近，兩模雖能發(fā)生耦合但不滿足共振條件，圖靈斑圖受空間共振規(guī)律的約束，系統(tǒng)對失穩(wěn)模的波長選擇是單一的或一條較窄的波段，因此2個子系統(tǒng)呈現(xiàn)出相同單一空間尺度的簡單斑圖）；在高級圖靈分岔點附近，在一定條件下2個子系統(tǒng)圖靈模會發(fā)生空間共振耦合，有新的失穩(wěn)模產(chǎn)生，新生模與基模間形成三波共振或多波共振，從而在短波模所處的子系統(tǒng)中會形成復(fù)雜的圖靈斑圖。

圖3是波數(shù)比為2時，短波模系統(tǒng)形成的超六邊形斑圖。從圖3中可以看出不同模擬參數(shù)下兩模線性耦合作用時可形成白眼超六邊形，在非線性耦合作用下可形成環(huán)狀超六邊斑圖，構(gòu)成六邊形的子單元不再是簡單的一個點或線，而是由復(fù)雜結(jié)構(gòu)的子單元構(gòu)成，白眼超六邊形斑圖子單元中心為一白眼斑圖周圍有6個暗點，環(huán)狀超六邊斑圖子單元從里到外由3層不同顏色圓環(huán)構(gòu)成；二維傅里葉頻譜分布圖顯示超六邊斑圖是由幾套子結(jié)構(gòu)構(gòu)成，且不同層次波矢的波數(shù)不同；波形空間分布顯示是由2種不同強度的波耦合而成。

圖3 波數(shù)比為2時的超六邊形斑圖Fig.3 Super hexagon pattern when the wave number ratio is 2

圖4是波數(shù)比為3時，短波模系統(tǒng)形成的類蜂窩（圖4 a1））和白眼斑圖（圖4 b1））。

圖4 波數(shù)比為3時的類峰窩和白眼斑圖Fig.4 Honeycomb-like and white-eye pattern when the wave number ratio is 3

在相同的模擬參數(shù)下兩模在線性耦合作用時形成類蜂窩斑圖，非線性耦合作用時形成白眼斑圖，類蜂窩斑圖的中心斑圖與普通超六邊形的子單元結(jié)構(gòu)相同，邊緣為短線相連形成的六邊形邊框，白眼斑圖的每一個六邊形晶胞中心為白色斑點，向外依次是一個暗環(huán)和亮環(huán)，形成類似于眼睛的結(jié)構(gòu)，同樣類蜂窩和白眼斑圖的傅里葉頻譜圖是由幾套子結(jié)構(gòu)構(gòu)成、波形空間顯示出2種不同強度的波。從圖4中分析可以看出復(fù)雜斑圖不但受波數(shù)比的影響，還與兩模耦合形式及強度有關(guān)，且通過對比模擬參數(shù)發(fā)現(xiàn)在非線性耦合作用時兩模產(chǎn)生共振所需耦合強度一般小于線性耦合。

3 結(jié) 語

綜上所述，利用雙層四變量Lengyel-Epstein數(shù)值模型，通過兩模在線性和非線性耦合的相互作用下獲得了多種復(fù)雜斑圖。模擬結(jié)果表明：只有兩子系統(tǒng)圖靈模的波數(shù)比大于1、兩模發(fā)生共振耦合時，系統(tǒng)才有新的不穩(wěn)定波矢產(chǎn)生，此時系統(tǒng)處在圖靈高級分岔點附近，由于不穩(wěn)定模具有2個或2個以上不同的波長，且不同波矢間滿足三波共振關(guān)系，在短波模子系統(tǒng)中才能產(chǎn)生超點陣斑圖。對于相同系統(tǒng)參數(shù)，線性耦合與非線性耦合方式系統(tǒng)出現(xiàn)的斑圖式樣不同，而且在非線性耦合作用時兩模產(chǎn)生共振所需耦合強度一般小于線性耦合。本文模擬結(jié)果為深入研究各種復(fù)雜斑圖具有一定的參考價值。

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Analysis of Turing pattern in two-layer coupled Lengyel-Epstein model

BAI Zhanguo1，JING Honghua2，LI Xinzheng1，LI Yan1，LI Xinjuan1
（1.School of Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China；2.Institute for Vocational ＆Technical，Hebei Normal University，Shijiazhuang Hebei 050080，China）

The formation mechanism of Turing pattern is investigated by the two-layer coupled Lengyel-Epstein model.It is found that the coupling form and strength take an important role in the pattern formation under three wave number ratios between two Turing modes.When the wave number ratio is 1，the same simple pattern can be formed in the two subsystems（such as simple hexagon，quadrilateral and stripe pattern），and coupling coefficient and form have no effect on the pattern formation.When the wave number ratio is more than 1，the short wave mode subsystem can form a variety of superlattice patterns due to the resonance interaction between the two Turing modes：Two complex structures of super hexagon of white-eye and honeycomb-like appear in linear-coupling system，while superlattice patterns of super hexagon of circle and white-eye yield in nonlinear-coupling system.In addition，different coupling strength is required for resonance of Turing-mode in two-kind coupling forms.

Lengyel-Epstein model；Turing mode；couple；pattern

O415.3

A

1008-1542（2014）02-0134-05

10.7535／hbkd.2014yx02004

2013-10-28；

2013-12-12；責(zé)任編輯：張 軍

國家自然科學(xué)基金（11247242）；河北省自然科學(xué)基金（A2014208171）；河北科技大學(xué)科研基金（QD201225，QD201226，SW09）

白占國（1971-），女，河北景縣人，副教授，博士，主要從事等離子體物理及斑圖動力學(xué)方面的研究。

E-mail：baizhanguo2011＠163.com