迭代去卷積算法

張麗娟，楊進(jìn)華，蘇偉，姜成昊，王曉坤，譚芳

(1.長春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，吉林 長春130022;2.長春工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，吉林 長春130012;3.長春理工大學(xué) 信息化中心，吉林 長春130022)

0 引言

在地對空觀測成像時，地基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡由于大氣湍流的動態(tài)干擾、觀測系統(tǒng)誤差及成像路徑的光子噪聲等因素的影響，尤其是極弱光條件下，例如星體目標(biāo)觀測，自適應(yīng)光學(xué)(AO)系統(tǒng)只能實(shí)現(xiàn)波前誤差的部分校正，目標(biāo)的高頻信息仍受到嚴(yán)重的抑制和衰減［1-2］。所以，經(jīng)AO 系統(tǒng)校正后的圖像還必須進(jìn)行圖像復(fù)原的后處理工作，才能獲得較清晰的圖像。目前，有很多克服大氣湍流影響的圖像復(fù)原算法，如迭代盲去卷積(IBD)算法，基于Richardson-Lucy 迭代的IBD(RL-IBD)算法，基于Wiener 的IBD(Wiener-IBD)算法，基于期望值最大化(EM)算法等［2-5］。

本文針對大氣湍流造成的AO 圖像模糊，提出了一種與正則化相結(jié)合的改進(jìn)期望值最大化(RTIEM)算法的多幀AO 圖像復(fù)原。具體內(nèi)容為，首先研究基于波前相位信息的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)重建方法，然后研究基于圖像功率譜密度(PSD)及約束圖像支持域的去噪方法，接著建立基于RT-IEM 算法的AO 圖像代價函數(shù)模型及參數(shù)估計(jì)方法，最后給出基于RT-IEM 算法的多幀AO 圖像高清復(fù)原算法的實(shí)現(xiàn)過程。在AO 圖像復(fù)原實(shí)驗(yàn)中，分別對模擬AO 圖像、實(shí)際觀測的雙星圖像和恒星圖像進(jìn)行去卷積，驗(yàn)證本文提出算法的有效性。

1 基于RT-IEM 算法的AO 圖像復(fù)原

AO 系統(tǒng)對光學(xué)波前誤差進(jìn)行實(shí)時測量-控制-校正，圖1給出了成像補(bǔ)償?shù)腁O 系統(tǒng)工作原理框圖。該系統(tǒng)包含3 個基本組成部分:波前探測器、波前校正器和波前控制器。其工作原理:首先用波前探測器實(shí)時探測光學(xué)系統(tǒng)中靜態(tài)和動態(tài)波前畸變;然后由波前控制器實(shí)時處理后計(jì)算波前校正器的電壓控制信號;最后在波前校正器上加載這些控制信號，使其產(chǎn)生與輸入波前畸變大小相等、符合相反的共軛波面，校正后的光束接近于平面波，使成像質(zhì)量接近衍射極限。

由于像差的存在和AO 系統(tǒng)孔徑的限制，AO 系統(tǒng)觀測到的目標(biāo)圖像嚴(yán)重降質(zhì)，為了提高目標(biāo)圖像的分辨率，本文將AO 系統(tǒng)波前補(bǔ)償或校正和圖像處理技術(shù)相結(jié)合。

圖1 成像補(bǔ)償?shù)腁O 系統(tǒng)工作原理Fig.1 Schematic diagram of AO system for imaging compensation

1.1 基于波前相位信息的PSF 重構(gòu)方法

本小節(jié)提出的PSF 重構(gòu)方法屬于模型估計(jì)法，該方法將圖像的退化因素考慮在內(nèi)，在應(yīng)用時基于大氣湍流的模型，并將AO 系統(tǒng)設(shè)備參數(shù)引入估計(jì)模型?；诓ㄇ跋辔恍畔⒌腜SF 重構(gòu)算法是將AO系統(tǒng)的望遠(yuǎn)鏡入瞳函數(shù)引入PSF 估計(jì)，以傅里葉光學(xué)作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

理論上，AO 系統(tǒng)閉環(huán)校正后的PSF 數(shù)學(xué)模型為

由于受光學(xué)系統(tǒng)本身存在的焦距誤差或光學(xué)偏離的影響，修改入瞳函數(shù)為

式中:θ(·)是波前相位誤差，是由光學(xué)偏離或焦距誤差引起的。

由(3)式可知，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)依賴于θ(·). 受大氣湍流的影響，相位誤差隨時間變化，所以隨時間變化的PSF 一般形式為

式中:θt(·)是隨時間變化的相位誤差，由大氣湍流引發(fā)的。

就AO 系統(tǒng)而言，觀測圖像的曝光時間與湍流波動時間相比較短。假定曝光時間內(nèi)目標(biāo)強(qiáng)度不變，則序列圖像模型為

式中:x 表示象素點(diǎn)灰度值;函數(shù)f 表示理想的目標(biāo)原圖像;g 表示觀測到的退化圖像;θtm為第m 幀短曝光AO 圖像的湍流波前相位誤差。

1.2 基于圖像PSD 及約束圖像支持域的去噪方法

為了減少AO 圖像的噪聲干擾，國內(nèi)學(xué)者提出基于總變分的方法抑制噪聲［6-7］，文獻(xiàn)［8］分析了AO 圖像在對稱支持域內(nèi)減少噪聲的方法，該方法的結(jié)果分析基于真實(shí)圖像方差的比率。與上述去噪算法不同，本節(jié)提出的是基于圖像PSD 及約束圖像支持域的去噪方法，并用圖像的噪聲變化函數(shù)評價去噪的效果。

地基設(shè)備觀測的AO 圖像去噪過程實(shí)際上是一種傅里葉頻譜圖像的噪聲校正過程，即在圖像的對稱支持域內(nèi)，以CCD 讀入噪聲和AO 噪聲為主，因此要研究噪聲的PSD. 下面對觀測圖像g(x)進(jìn)行支持域約束來抑制噪聲，令gc(x)為支持域約束圖像，

式中:w(x)為在圖像支持域內(nèi)的權(quán)重函數(shù)。定義圖像的功率譜為

式中:G(u)= S(u)× N(u)，S(u)為信號函數(shù)，N(u)為噪聲函數(shù);帶寬函數(shù)W(u)=G(u)×δ，在有限支持域內(nèi)W(u)很窄，接近于G(u)寬度×δ，δ 為0 ～1 之間的常數(shù)。

根據(jù)J.M.Conan 提出的定義，一副圖像的PSD是它協(xié)方差的傅里葉變換，定義噪聲的功率譜PSD(u)nn和未失真圖像的功率譜PSD(u)ff［9］為

本文以圓形作為目標(biāo)圖像支持域，該支持域的直徑取值范圍是8 ～185 像素. 定義圖像的噪聲變化函數(shù)

1.3 改進(jìn)的EM 算法

文獻(xiàn)［10］基于極大似然準(zhǔn)則推導(dǎo)出了多幀湍流退化圖像的PSF 和目標(biāo)圖像的迭代求解公式，該方法復(fù)原圖像的解空間較大，本文結(jié)合正則化技術(shù)對極大似然估計(jì)算法進(jìn)行必要的修改，引入符合AO 圖像物理事實(shí)意義上的約束，采用RT-IEM 算法對多幀AO 圖像迭代求解較為理想的目標(biāo)圖像估計(jì)和PSF 的估計(jì){}.

1.3.1 RT-IEM 算法

EM 算法是由Dempster 等［11］提出的求參數(shù)極大似然估計(jì)的迭代算法，該算法交替地進(jìn)行兩個基本計(jì)算步驟:E 步(計(jì)算期望)和M 步(極大化計(jì)算)。本文將正則化方法與先驗(yàn)知識相結(jié)合并應(yīng)用到EM 算法中，從而實(shí)現(xiàn)多幀AO 圖像的高清復(fù)原。

基于目標(biāo)圖像的先驗(yàn)知識和PSF 的聯(lián)合概率分布函數(shù)，定義極大化函數(shù)將得到目標(biāo)圖像估計(jì)和PSF 估計(jì)，即

式中:z 為歸一化因子;J(f，h)為代價函數(shù)。因此該問題轉(zhuǎn)換為最小化代價函數(shù)J(f，h)，即

下面建立AO 圖像的代價函數(shù)及其參數(shù)估計(jì)的優(yōu)化模型。

(13)式中，第1 項(xiàng)表示噪聲代價函數(shù)，第2 項(xiàng)是PSF 的約束代價函數(shù)，第3 項(xiàng)是目標(biāo)邊緣保持約束代價函數(shù);a 為先驗(yàn)信息;α 是一常系數(shù);σ2n是混合噪聲的方差;θt是波前相位誤差;i、j 表示象素點(diǎn)坐標(biāo);γ(·)是正則化函數(shù)，與各點(diǎn)梯度有關(guān)的可變正則化系數(shù)。PSF 的功率譜密度PSDh(u)=，對(x)進(jìn)行傅里葉變換得到是PSF 均值的傅里葉變換，PSDh(u)的估計(jì)可以通過AO 系統(tǒng)閉環(huán)控制數(shù)據(jù)估計(jì)。采用Mugnier［12］同向性目標(biāo)邊緣約束理論，得到

式中:γ(x)是正則化調(diào)節(jié)參數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)［13］定義γ(Δx)如下:

式中:參數(shù)ξ 為可供選擇的平滑控制系數(shù)，ξ 取值大時平滑作用大，取值小時平滑作用小;Δx 為點(diǎn)x(i，j)(其中i，j 表示象素點(diǎn)坐標(biāo)，x 表示象素點(diǎn)灰度值)4 個方向的梯度幅值。顯然，有0 ＜γ(Δx)≤1.

本文將所有的先驗(yàn)信息都同時應(yīng)用到目標(biāo)估計(jì)和PSF 估計(jì)中，為了得到目標(biāo)和PSF 的最優(yōu)估計(jì)值，首先構(gòu)造多幀矢量化的一維成像方程:

結(jié)合(13)式和(18)式建立多幀AO 圖像聯(lián)合去卷積的代價函數(shù):

式中:m 為幀數(shù)。

1.3.2 復(fù)原算法實(shí)現(xiàn)

本文結(jié)合EM 算法的基本思想［9］，通過有限次循環(huán)運(yùn)算，找到最佳PSF 的估計(jì)，達(dá)到極大程度地恢復(fù)目標(biāo)圖像的目的。

設(shè)觀測圖像的第m 幀觀測結(jié)果gm(y)的完全數(shù)據(jù)集為{(y|x)}，gm(y)服從Poisson 分布的，它的期望為

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，完全數(shù)據(jù)與不完全數(shù)據(jù)對應(yīng)在統(tǒng)計(jì)意義上是對應(yīng)的［13］，因此，與完全數(shù)據(jù)對應(yīng)的代價函數(shù)的期望如下:

在迭代過程處理中，假設(shè)已知第n-1 次迭代數(shù)據(jù)，用En(Jmulti(f，h|g，a))表示當(dāng)前代價函數(shù)的期望值。為了極小化代價函數(shù)的期望值，可將(21)式分別對hnm(x)和fn(x)求導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)為0，即

具體推導(dǎo)過程省略，最后解方程并整理得

本文復(fù)原算法RT-IEM 具體實(shí)現(xiàn)的步驟如下:

步驟1:初始化操作。

1)根據(jù)1.2 節(jié)的方法，對觀測圖像進(jìn)行支持域約束、去噪等，并用一次維納濾波的結(jié)果作為目標(biāo)估計(jì)的初值

3)設(shè)定外循環(huán)最大次數(shù)Max_ iteration.

4)設(shè)定目標(biāo)估計(jì)和PSF 估計(jì)的內(nèi)循環(huán)最大次數(shù)Max_ count.

5)設(shè)定PSF 估計(jì)的內(nèi)循環(huán)計(jì)數(shù)變量h_ count，目標(biāo)的內(nèi)循環(huán)計(jì)數(shù)變量f_ count.

步驟2:參數(shù)值的計(jì)算。

1)根據(jù)1.2 節(jié)的公式，估計(jì)每幀降質(zhì)圖像的混合噪聲方差σ2n.

2)根據(jù)1.2 節(jié)的方法和公式，計(jì)算PSF 的功率譜密度PSDh(u)和估計(jì)波前相位誤差θt.

3)根據(jù)1.3.1 節(jié)的方案和公式，估計(jì)目標(biāo)邊緣正則化參數(shù)α 和γ(Δx).

步驟3:迭代計(jì)算:i =0，1，…，Max_ iteration.

1)PSF 的內(nèi)循環(huán)計(jì)數(shù)變量歸0，即h_ count=0.

2)PSF 估計(jì)循環(huán)過程，j=0，1，…，Max_count .

b)h_ count + +;j+ +.

c)判斷循環(huán)變量j 的值，若j ＜Max_count，則繼續(xù);否則，轉(zhuǎn)向本步驟3.

3)目標(biāo)估計(jì)的內(nèi)循環(huán)計(jì)數(shù)變量歸0，即:f_count =0.

4)目標(biāo)估計(jì)的循環(huán)過程，k = 0，1，…，Max_count.

b)f_ count + +;k+ +.

c)判斷循環(huán)變量k 值，若k ＜Max_count，則繼續(xù);否則，轉(zhuǎn)向本步驟5.

5)判斷外層循環(huán)是否結(jié)束，若i ＞max_iteration，則轉(zhuǎn)至步驟4.

6)i=i+1，返回本步驟1 繼續(xù)循環(huán)。

2 AO 圖像復(fù)原實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1 仿真圖像復(fù)原實(shí)驗(yàn)

利用本文提出的算法，進(jìn)行了降質(zhì)斑點(diǎn)圖像模擬實(shí)驗(yàn)，圖像復(fù)原的質(zhì)量采用均方根誤差RMSE 和改進(jìn)的ΔSNR 進(jìn)行定量評價。

式中:N1和N2分別表示圖像在x 軸和y 軸的像素總數(shù);(x，y)表示二維空域坐標(biāo);f(x，y)表示理想圖像在點(diǎn)(x，y)處的灰度值。

評價估計(jì)的精度，定義為

式中:h(x，y)是由(1)式計(jì)算得到的PSF 真正值;(x，y)是由RT-IEM 算法計(jì)算得到的PSF 估計(jì)值;Sh表示PSF 的支持域，其取值范圍是以5 ～16 像素為直徑的圓形區(qū)域。

在本文的仿真實(shí)驗(yàn)中，原圖像為多目標(biāo)遠(yuǎn)距離的斑點(diǎn)狀的紅外模擬成像，采用中國科學(xué)院光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室的圖像退化軟件模擬生成10 幀序列退化圖像，然后添加高斯白噪聲，使圖像的信噪比SNR為20 dB.設(shè)定參數(shù)與云南天文臺1.2 m 自適應(yīng)光學(xué)望遠(yuǎn)鏡相同，望遠(yuǎn)鏡成像系統(tǒng)的主要參數(shù):大氣相干長度r0=13 cm，望遠(yuǎn)鏡直徑D =1.08 m，光學(xué)系統(tǒng)的綜合焦距l(xiāng) =22.42 m，中心波長λ =700 nm，CCD像素 大 小7.4 μm. 實(shí) 驗(yàn) 將 對RL-IBD 算 法［14］、Wiener-IBD算法［15］以及本文提出的RT-IEM 算法進(jìn)行比較。

圖2是原圖像、模擬生成多幀退化圖像及3 種算法的復(fù)原結(jié)果對比，圖像大小為217×218 像素，其中圖2(a)為原目標(biāo)圖像。采用圖像退化仿真軟件生成10 幀序列湍流退化圖像，如圖2(b)、圖2(c)、圖2(d)(為了節(jié)省篇幅，只顯示3 幀，其余省略). 圖2(e)是Wiener-IBD 復(fù)原圖像，迭代次數(shù)為800 次，RMSE=16.35. 圖2(f)是RL-IBD 復(fù)原圖像，迭代次數(shù)為800 次，RMSE=10.31. 圖2(g)是本文提出的RT-IEM 算法復(fù)原圖像，波前相位誤差θt(·)的方差為6.14×10-3，所以=8.26×10-3，σ2n=1.1×10-5，本次實(shí)驗(yàn)中正則化參數(shù)α =1.25，正則化函數(shù)的參數(shù)ξ =1.34，外循環(huán)次數(shù)為100 次，PSF 內(nèi)循環(huán)次數(shù)為4，圖像內(nèi)循環(huán)次數(shù)為2，即總循環(huán)次數(shù)為600 次，RMSE = 10.05. 比較圖2(e)、圖2(f)、圖2(g)的ΔSNR 和精度εe，見表1所示。比較可知，本文提出的RT-IEM 算法復(fù)原效果優(yōu)于Wiener-IBD 算法和RL-IBD 算法，而且需要的迭代次數(shù)更少。

表1 3 種算法的ΔSNR 和εe 比較Tab.1 ΔSNRs and εe values calculated by three algorithms

圖2 實(shí)驗(yàn)?zāi)M降質(zhì)圖像及3 種算法的復(fù)原效果對比Fig.2 Degraded images and the comparison of the restored images of three algorithms

2.2 雙星圖像復(fù)原實(shí)驗(yàn)

在沒有理想圖像參照的情況下，采用無參照圖像質(zhì)量客觀評價，本文采用半高全寬(FWHM)［16］作為圖像復(fù)原效果的客觀評價指標(biāo)，F(xiàn)WHM 是指成像峰值與半峰值之間像素距離的2 倍，包括x 方向和y 方向的FWHM，是天文觀測領(lǐng)域較好的評價指標(biāo)。

利用本文算法對無參照圖像的雙星圖像進(jìn)行了復(fù)原實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中的雙星圖像由中國科學(xué)院云南天文臺1.2 m AO 望遠(yuǎn)鏡于2006年12月3日采集的。成像CCD 大小為320×240 像素陣列，成像系統(tǒng)的主要參數(shù)如下:大氣相干長度r0=13 cm，望遠(yuǎn)鏡全孔徑D=1.03 m，成像觀測波段為0.7 ～0.9 μm，中心波長λ=0.72 μm，CCD 像素大小為6.7 μm，光學(xué)成像焦距l(xiāng) =20 m. 復(fù)原實(shí)驗(yàn)將對RL-IBD 算法、Wiener-IBD 算法以及本文提出的RT-IEM 算法進(jìn)行比較，本文采用幀選擇技術(shù)［4］，從100 幀降質(zhì)圖像中遴選出40 幀作為盲解卷積的待處理圖像。

圖3是多幀退化圖像及3 種算法的復(fù)原結(jié)果對比，其中圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)和圖3(d)為觀測的雙星圖像(為了節(jié)省篇幅，只顯示4 幀，其余省略)，圖3(e)是本文算法估計(jì)的PSF，圖3(f)是本文算法復(fù)原圖像，波前相位誤差θt(·)的方差為6.04× 10-3，所以= 9.03× 10-3，σ2n= 1.32×10-5.本次實(shí)驗(yàn)中參數(shù)選擇為:正則化參數(shù)α =1.15，正則化函數(shù)的參數(shù)ξ =1.34，外循環(huán)次數(shù)為50 次，PSF 內(nèi)循環(huán)次數(shù)為4 次，圖像內(nèi)循環(huán)次數(shù)為2 次，即總循環(huán)次數(shù)為300 次，F(xiàn)WHM =6.17 像素，復(fù)原結(jié)果已經(jīng)非常接近1.2 m AO 望遠(yuǎn)鏡的衍射極限。圖3(g)是RL-IBD 算法的復(fù)原效果，F(xiàn)WHM =5.62 像素. 圖3(h)是Wiener-IBD 算法的復(fù)原效果，F(xiàn)WHM=4.76 像素. 圖4為觀測圖像和3 種復(fù)原算法復(fù)原圖像的能量示意圖。比較可知，本文提出的算法復(fù)原效果優(yōu)于Wiener-IBD 算法和RL-IBD算法，而且需要的迭代次數(shù)更少。

2.3 恒星觀測實(shí)驗(yàn)

采用本文算法還進(jìn)行了恒星圖像復(fù)原實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中的恒星圖像由中國科學(xué)院云南天文臺1.2 m AO 望遠(yuǎn)鏡于2006年12月1日采集的。與雙星圖像的光學(xué)成像系統(tǒng)參數(shù)相同，本文算法實(shí)驗(yàn)過程中的參數(shù)選擇類似。圖5為多幀恒星觀測圖像及3 種算法的復(fù)原結(jié)果對比。圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)和圖5(d)是觀測的某恒星圖像(為了節(jié)省篇幅只顯示4 幀)。圖5(e)為 Wiener-IBD 復(fù)原圖像。圖5(f)為RL-IBD 復(fù)原圖像。圖5(g)為本文算法估計(jì)的PSF，迭代初值= 9.56× 10-3，PSF 迭代6 次。圖5(h)為本文算法復(fù)原圖像。圖5(i)為恒星觀測圖像的能量圖。圖5(j)為本文算法復(fù)原圖像的能量圖。圖5(k)表示3 種算法復(fù)原圖像對比度和分辨率的對比曲線。

圖3 多幀觀測圖像及3 種算法的復(fù)原結(jié)果對比Fig.3 Multi-frame original images and restoration comparison of three algorithms

圖4 觀測圖像和3 種復(fù)原算法復(fù)原圖像的能量示意圖Fig.4 Energy spectra of observed images and the comparison of restored images of three algorithms

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文算法去卷積后降質(zhì)AO 圖像的恢復(fù)質(zhì)量得到明顯提升，能量更為集中且分辨率更高。當(dāng)然，在有限幀數(shù)及迭代次數(shù)情況下，是不可能將目標(biāo)圖像完全地恢復(fù)出來的，當(dāng)AO圖像幀數(shù)增加時，復(fù)原效果將越來越好，但計(jì)算的時間和計(jì)算量也隨之增加。

圖5 多幀恒星觀測圖像及3 種算法的復(fù)原結(jié)果對比Fig.5 The multi-frames observed stellar images and restoration comparison of three algorithms

3 結(jié)論

針對AO 圖像的特點(diǎn)，在EM 算法的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的期望值最大化RT-IEM 算法用于AO 圖像高清晰復(fù)原。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，RT-IEM 算法能準(zhǔn)確辨識出AO 圖像的PSF，PSF 的估算精度優(yōu)于Wiener-IBD、RL-IBD 算法，且本文算法的迭代次數(shù)減少14.3%. 因此，本文的研究結(jié)果對實(shí)際AO 圖像復(fù)原有一定的應(yīng)用價值。

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