一種3自由度并聯(lián)擬人機械腿的動力學建模及伺服電機峰值力矩預(yù)估

李研彪，李景敏，計時鳴，鄭超，趙章風

(浙江工業(yè)大學 機械工程學院，浙江 杭州310014)

0 引言

目前，多數(shù)機械腿采用串聯(lián)機構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜、承載能力小、運動慣性大等不足之處［1］，如日本早稻田大學研制的WL 系列雙足擬人機器人，其雙腿均采用串聯(lián)機構(gòu)，各腿具有5 個自由度。另外，日本本田公司、美國Sarcos 研究公司、德國Karlsruhe大學和北京航空航天大學等國內(nèi)外機器人研究機構(gòu)也相繼研制出多種串聯(lián)結(jié)構(gòu)的仿生機械腿。相對串聯(lián)機構(gòu)，并聯(lián)機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力大等優(yōu)點［2］。本文對一種并聯(lián)擬人機械腿的動力學模型及伺服電機峰值力矩預(yù)估進行了研究，其機構(gòu)原型采用并聯(lián)機構(gòu)，如圖1(a)所示。這種擬人機械腿通過3 個電機驅(qū)動，實現(xiàn)膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)的運動，類似于人體膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)特點。其驅(qū)動裝置安放在固定件的位置上，該機構(gòu)的運動桿件不必承載驅(qū)動電機的重量，減少了電機數(shù)量，這種擬人機械腿具有結(jié)構(gòu)簡單、承載能力強、運動慣性小、運動靈活等優(yōu)點，避免了傳動系統(tǒng)復(fù)雜、動態(tài)特性差等缺點［1，3］。這種擬人機械腿與髖關(guān)節(jié)(髖關(guān)節(jié)機構(gòu)原型為具有2 轉(zhuǎn)動自由度的球面并聯(lián)機構(gòu))串聯(lián)在一起，構(gòu)成了擬人下肢機器人，如圖1(b)和圖1(c)所示。

動力學研究的是物體的運動和作用力之間的關(guān)系。機器人的動力學模型用于描繪機器人這種復(fù)雜動力系統(tǒng)，以處理其動力響應(yīng)、動力仿真和計算控制等［4］。目前研究機器人系統(tǒng)動力學的方法很多，有拉格朗日方法［5-11］、牛頓-歐拉方法、高斯方法、凱恩方法、旋量(對偶數(shù))方法［12］、羅伯遜-魏登堡方法和影響系數(shù)方法等，其中拉格朗日方法和牛頓-歐拉方法運用較多。拉格朗日方法不僅能以最簡單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動力學方程，而且具有顯式結(jié)構(gòu)。牛頓-歐拉方法則是基于運動坐標系和達朗貝爾原理建立起來的，沒有多余信息，計算速度快。從事這方面理論研究的學者比較具代表性的有Lee 等［13］、Cheroutre-Vialette 等［14］和Miller 等［15］。目前，對機構(gòu)的驅(qū)動端伺服電機峰值力預(yù)估的研究已經(jīng)取得一些研究成果，為本研究的實施奠定了基礎(chǔ)［16-19］。本文在運動學基礎(chǔ)上采用拉格朗日方法對該并聯(lián)機械腿進行動力學分析，并在動力學模型的基礎(chǔ)上對驅(qū)動端伺服電機模型進行預(yù)估，得到了該機械腿的動力學特性。機械腿的研究是步行機器人研究的核心內(nèi)容，其性能決定了整個機器人的性能。所以該機械腿的研究為這種并聯(lián)擬人機械腿的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。

圖1 擬人下肢機器人Fig.1 Mechanical legs

1 機構(gòu)簡述

這種擬人機械腿機構(gòu)以一種3 自由度并聯(lián)機構(gòu)為機構(gòu)原型，如圖1(a)所示。該機械腿機構(gòu)采用2PUU(移動副-胡克鉸-胡克鉸)/PRRRU(移動副-轉(zhuǎn)到副-轉(zhuǎn)到副-轉(zhuǎn)到副-胡克鉸)的結(jié)構(gòu)形式，動平臺通過2 條相同的支鏈PUU 和一條支鏈PRRRU 與靜平臺相連。其結(jié)構(gòu)布局特點如下:

1)3 個直線移動副P1、P2和P3相互平行且均安裝在基座上。

2)當桿FJ 與桿IF 共線，面JMN 垂直于桿FJ時，各移動副輸入均為0，這種狀態(tài)為此機構(gòu)的初始位姿。此時，移動副P1、P2、和P3的初始長度為li，i=1，2，3，Δli為直線移動副P1、P2、和P3的輸入位移。根據(jù)這種機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點可知:該機械腿可繞點F 轉(zhuǎn)動以實現(xiàn)膝關(guān)節(jié)運動，可繞J 點的Xp軸和Yp軸轉(zhuǎn)動來實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的運動。建立2 個坐標系{B}:ObXbYbZb和{P}:OpXpYpZp，其中坐標系{B}為基坐標系，坐標系{P}為動坐標系。

2 運動反解

設(shè):v=(vxvyvz)T為動平臺上的參考點Op在基坐標系{B}(以下無特殊說明均表示在該坐標系下定義)中的速度矢量;ω=(ωxωyωz)T為動平臺的角速度矢量;vi分別為移動副Pi，i =1，2，3的輸入速度;vD表示鉸鏈點D 的速度矢量;vE表示鉸鏈點E 的速度矢量;vG表示鉸鏈點G 的速度矢量;vH表示鉸鏈H 點的速度矢量。則

式中:α、β 分別為動坐標系統(tǒng)固定坐標系的Yb軸、Xb軸轉(zhuǎn)過的角度。

設(shè)rDE為鉸鏈點D 到鉸鏈點E 的矢量，可得

已知

式中:Eb、Db分別為基坐標系下E 點、D 點的位置矢量。由(1)式、(2)式、(3)式可得

設(shè):rJM、rGM、rJN、rHN分別為鉸鏈點J 到鉸鏈點M的矢量，鉸鏈點G 到鉸鏈點M 的矢量，鉸鏈點J 到鉸鏈點N 的矢量，鉸鏈點H 到鉸鏈點M 的矢量，vM表示鉸鏈點M 的速度矢量，vN表示鉸鏈點N 的速度矢量，可得

已知

式中:Mb、Nb、Opb、Gb、Hb分別為基坐標系下各點的位置矢量。

由(1)式～(7)式可得

式中:

把(4)式、(8)式、(9)式寫成統(tǒng)一的形式為

3 動力學建模

在運動學的基礎(chǔ)上已求得各個點的位置矢量，動坐標系{P}在基坐標系{B}下的轉(zhuǎn)換矩陣T 以及線速度雅可比矩陣Jv和角速度雅克比矩陣Jω. 根據(jù)拉格朗日方程，有

式中:L=P -U 表示拉格朗日函數(shù)，P 是系統(tǒng)的動能，U 是系統(tǒng)的勢能;qj為廣義坐標，qj=(z1z2z3)T，z1、z2、z3分別為移動副P1、P2、P3在Zb方向的位置矢量;為廣義坐標的一階導(dǎo)數(shù)，即為對應(yīng)于廣義坐標的廣義力。

設(shè)3 個移動副Pi，i =1，2，3 的質(zhì)量分別為m1、m2、m3，速度分別為v1、v2、v3，則3 個移動副的總動能為

所以移動副總動能的廣義坐標表達為

式中:Da=diag(［m1m2m3］);va=設(shè)從動桿DE、EF、FOp、GM、HN 的質(zhì)量分別為mDE、mEF、mFOp、mGM、mHN，由機械腿結(jié)構(gòu)布局特點可知

則鉸鏈點Op的速度

式中:rFOp為鉸鏈點到鉸鏈點Op的矢量;ωF為桿EFJ繞鉸鏈F 點轉(zhuǎn)動的角速度，并用vF表示鉸鏈F 點的速度矢量。則

桿FOp的動能為

式中:IFOp為桿FOp的轉(zhuǎn)動慣量;

桿EF 與桿FOp的轉(zhuǎn)動速度相等，桿EF 的動能為

式中:IEF為桿EF 的轉(zhuǎn)動慣量;

式中:rDE、rFE分別為鉸鏈點D 到鉸鏈點E 的矢量和鉸鏈點F 到鉸鏈點E 的矢量。

設(shè)鉸鏈點E 的速度矢量為vE，桿DE 繞點D 的轉(zhuǎn)動速度為ωD，則

把(17)式、(20)式代入(21)式整理得

設(shè)DE 桿質(zhì)心的速度矢量為vDE，則

式中:BDE=桿DE 的動能為

式中:DDE=BTDEMDEBDE，MDE為桿DE 的質(zhì)量矩陣，MDE=diag(［mDEmDEmDE］).

vM和vN表示鉸鏈M 和N 點的速度矢量，rJM和rJN分別為鉸鏈點J 到鉸鏈點M 和N 的矢量，以vG和vH表示鉸鏈G 和H 點的速度矢量，rGM和rHN分別為鉸鏈點G 到點M 和鉸鏈點H 到點N 的矢量，ωG、ωH、ω 分別為桿GM、HN 和動平臺的轉(zhuǎn)動速度，有

由(25)式得

式中:JM=

Ti，j為姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣T 的第i 行、第j 列，i、j=1，2，3.則GM 桿質(zhì)心點的速度為

桿GM 的動能為

式中:DGM=JTGMMGMJGM，MGM為桿GM 的質(zhì)量矩陣，MGM=diag(［mGMmGMmGM］).

由(29)式得

式中:JN=

則HN 桿質(zhì)心點的速度為

桿HN 的動能為

式中:DHN= JTHNMHNJHN，MHN為桿HN 的質(zhì)量矩陣，MHN=diag(［mHNmHNmHN］).

設(shè)動平臺的質(zhì)量為md，Id為運動平臺相對于固定坐標系{B}的慣量矩陣，質(zhì)心的速度矢量為

已知速度雅克比矩陣為

則動平臺質(zhì)心點的速度vd為

式中:rd為在動坐標系{P}下點Op到動平臺質(zhì)心點的矢量。

由(33)式、(34)式可得

式中:Jd=

則動平臺的動能為

由(12)式、(18)式、(19)式、(24)式、(28)式、(32)式和(36)式可得系統(tǒng)總的動能為

式中:D=Da+DFJ+DEF+DDE+DGM+DHN+Dd.

取ObXbYb面為零勢能面，則系統(tǒng)的勢能為0.

將系統(tǒng)總動能P 代入拉格朗日方程得

首先對廣義坐標z1進行運算，則

式中:d1=(1 0 0)，為對廣義坐標的偏導(dǎo)［20-21］。

令M1=d1D，同理可求M2=d2D，M3=d3D，其中d2=(0 1 0)，d3= (0 0 1)，分別為=對和的偏導(dǎo)數(shù)。則機械腿慣性矩陣為

將該機構(gòu)的動力學方程寫成如下一般形式:

4 伺服電機峰值預(yù)估模型

4.1 伺服電機轉(zhuǎn)速預(yù)估

驅(qū)動3 個移動副的3 個伺服電機分別通過聯(lián)軸器與絲杠連接，移動副與絲杠螺母固定聯(lián)接，如圖2所示。電機的轉(zhuǎn)動帶動絲杠的轉(zhuǎn)動，絲杠只轉(zhuǎn)動不移動，與絲杠配合的絲杠螺母產(chǎn)生直線位移，從而帶動移動副移動，最終實現(xiàn)膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)的運動形式。

圖2 伺服電機驅(qū)動結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Driving structure of servo motor

選用單線螺紋絲杠，材料為45 號鋼，螺距p =1.25 mm，公稱直徑d =8 mm，螺紋為梯形粗牙普通螺紋，牙形角λ=30°.

前面已求出3 個直線移動副的移動速度與膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度的關(guān)系，移動副的運動是由電機轉(zhuǎn)動通過絲杠傳動傳遞過來的，因為移動副的運動方式是直線運動，所以要求電機的轉(zhuǎn)動速度需要根據(jù)絲杠傳遞運動的特點把線速度轉(zhuǎn)換成角速度。

設(shè)3 個電機的轉(zhuǎn)動角速度分別為ω1、ω2和ω3，分別對應(yīng)于移動副P1、P2、P3. 易得電機的轉(zhuǎn)動速度等于絲杠的轉(zhuǎn)動速度，由絲杠傳遞運動的特點可得

所以

(45)式即為電機轉(zhuǎn)動速度與膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度之間的關(guān)系式。

4.2 伺服電機轉(zhuǎn)矩預(yù)估

由(43)式，伺服電機驅(qū)動力的表達式為

由運動反解可得

考慮到伺服電機快速啟動的情況，可以忽略(43)式中的哥氏力和離心力項，伺服電機的峰值力為

則

由于M(q)都隨姿態(tài)變化，因此取它們的全域最大值來抵抗哥氏力和離心力項引起的負載力矩。因此，伺服電機峰值力預(yù)估模型為

計算可得3 個電機的最大驅(qū)動力

在(48)式中，左邊的f 為廣義力，廣義坐標選取不同，則廣義力所代表的含義不同。如果選取動平臺的轉(zhuǎn)動角度作為廣義坐標，那么根據(jù)動力學模型所求得的廣義力不是驅(qū)動力，還要乘以一個關(guān)節(jié)空間與操作空間的力雅克比矩陣。對于該機械腿機構(gòu)，選取3 個移動副的輸入位移作為廣義坐標，那么廣義力f 的大小就是電機驅(qū)動力的大小，不用再求解力雅克比矩陣。在(48)式中，已知的是α、β、θ 的運動規(guī)律，在運動反解中已求得α、β、θ 與廣義坐標的關(guān)系，所以可很容易地求出廣義力f 的大小。

因為電機是通過絲杠把電機的轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)換成移動副的驅(qū)動力，所以要把移動副所受的驅(qū)動力f 轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)矩，力與力矩之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式為

式中:Q 表示轉(zhuǎn)矩;ρ 為絲杠螺紋表面的摩擦角。

本文選取的絲杠螺紋為梯形螺紋，所以牙形角λ=30°，與螺紋的升角相等。絲杠的材質(zhì)選擇45 號鋼調(diào)質(zhì)處理，絲杠傳動選擇動摩擦，有潤滑劑，摩擦系數(shù)取值范圍為0.05 ～0.10，這里取0.08，所以摩擦角為

由(52)式、(53)式得

由(51)式、(54)式可得電機峰值預(yù)估最大驅(qū)動力矩

5 實例分析與仿真

機械腿所采用參數(shù)如下:a =150 mm，b =300 mm，c=150 mm，d=440 mm，e =440 mm，f =300 mm，h =300 mm，k = 320 mm，m = 440 mm，n = 180 mm，l1=200 mm，l2=440 mm，l3=440 mm，φ=120°.

機械腿的3 個轉(zhuǎn)動角θ、α 和β 的運動規(guī)律為

這里取絲杠螺紋為單線，借助于MATLAB 進行仿真，伺服電機的轉(zhuǎn)速變化規(guī)律和轉(zhuǎn)矩變化規(guī)律分別如圖3和圖4所示。

圖3 3 個伺服電機轉(zhuǎn)速變化曲線Fig.3 Speed change curves of 3 servo motors

從仿真結(jié)果可看出，3 個伺服電機的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩均為周期性變化，并且電機最大力矩小于電機峰值預(yù)估最大力矩。伺服電機轉(zhuǎn)速的變化與膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度有關(guān)，也與絲杠的線數(shù)有關(guān);驅(qū)動力矩的大小與絲杠的選取有關(guān)，比如絲杠螺紋的線數(shù)，絲杠的材質(zhì)，有無潤滑等等，它還與給定的膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動角度有關(guān)。

6 結(jié)論

1)對一種并聯(lián)擬人機械腿機構(gòu)進行運動反解分析，給出了輸入速度與輸出速度之間的映射關(guān)系。

2)利用拉格朗日方法建立了該機構(gòu)的動力學模型，并基于該模型建立伺服電機的預(yù)估模型。

3)對伺服電機預(yù)估模型進行仿真分析，仿真結(jié)果表明電機速度和轉(zhuǎn)矩均為周期性變化，為電機選型奠定理論基礎(chǔ)。

圖4 3 個伺服電機轉(zhuǎn)矩變化曲線Fig.4 Torque change curves of 3 servo motors

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