一類(lèi)p-Laplacian方程周期解的存在唯一性

嚴(yán)樹(shù)林，李志艷，葛渭高

(1.常州工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇常州213164)(2.河海大學(xué)常州校區(qū)數(shù)理部，江蘇常州213022)(3.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，北京100081)

近年來(lái)，二階微分方程周期解的存在性得到了廣泛研究［1-10］。最近，有學(xué)者研究了帶 p-Laplacian算子的微分方程周期解的存在性及唯一性.例如，文獻(xiàn)［4］中研究了方程 (φp(x′))′+f(t，x′)+g(t，x)=e(t)，得到了一些好的結(jié)果.受文獻(xiàn)［4］的啟發(fā)，文中進(jìn)一步研究一類(lèi)更廣泛的二階p-Laplacian方程的周期解，其中φp(u)=|u|p-2u，p ＞ 1，f(t，·，·)關(guān)于t是周期為T(mén)的連續(xù)函數(shù)，e是周期為T(mén)的連續(xù)函數(shù)，顯然文獻(xiàn)［3］是本文的特例.文中推廣和改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的結(jié)果.

1 主要引理

對(duì)于周期邊值問(wèn)題

式中:f∈ C(R3，R).為方便起見(jiàn)，記.下面的引理1是文中的重要依據(jù).

引理1［7］假設(shè) Ω 是中的有界開(kāi)集且下列條件滿足

(A1)對(duì)于 ?λ ∈(0，1)，方程(φp(x′(t)))′=λ~f(t，x，x′)，x(0)=x(T)，x′(0)=x′(T)在?Ω上無(wú)解;

(A2)定義函數(shù)滿足F(r)F(-r)＜0，其中r＞0.

對(duì)于 t∈ (0，T0)，有 |y(t)|≤ D，其中

為行文方便，列出下列假設(shè)，在第2節(jié)中，它們將被用來(lái)研究方程(1)的T-周期解.

［H1］假設(shè)存在常數(shù) d ＞ 0，使得 f(t，x0，0)＞|e|0，?x0＞ d;

［H2］假設(shè)存在常數(shù) d ＞ 0，使得 f(t，x0，0)＜-|e|0，?x0＜-d;

［H3］f有分解式 f(t，x，x′)=g(t，x)+h(t，x，x′)，其中 g，h 分別滿足 x［g(t，x)+h(t，x，0)-e(t)］＞ 0，當(dāng)x ≥d時(shí);h(t，x0，x1)≤m1|x0|p-1+m2|x1|p-1+m3，m1，m2，m3為非負(fù)常數(shù);

［H4］f(t，x，x′)關(guān)于 x 單調(diào)遞減.

2 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)條件［H1］～［H3］滿足，則方程(1)至少有1個(gè)T-周期解;當(dāng)p≥2且條件［H4］成立時(shí)，方程(1)的解是唯一存在的.

證明:記~f(t，x，x′)=f(t，x，x′)-e(t)，設(shè)x是方程(φp(x′))′= λ~f(t，x，x′)，λ ∈ (0，1)的解，即

令φp(x′)=y，方程(3)等價(jià)變形為如下方程組

式中φq(s)為φp(s)的反函數(shù).設(shè)t是0x(t)的最大值點(diǎn)，即x(t0)=mtaRx x(t)，顯然x′(t0)

∈=0，又y(t0)= φp(x′(t0))=0，可證，y′(t0)≤0.假設(shè)y′(t0)＞0，則由極限保號(hào)性知，?σ ＞0，當(dāng)t∈［t0，t0+ σ］時(shí)，y′(t)＞ 0，即y(t)＞ y(t0)=0，t∈［t0，t0+σ］，又x′(t)= φq(y(t))＞ 0，得x(t)在［t0，t0+ σ］上單調(diào)遞增，故 x(t)＞ x(t0)=0，t∈［t0，t0+σ］，顯然這與x(t)在t0取最大值矛盾，所以假設(shè)不成立，即y′(t0)≤0成立.

由方程(4)的第2個(gè)方程y′(t)的表達(dá)式，可知

即 f(t0，x(t0)，0)≤ e(t0)≤|e|0，由假設(shè)［H1］可得

-d＜x(t1)≤x(t)≤x(t0)＜d

故(φp(x′))′= λf(t，x，x′)的解 x(t)有界，且

下證x′(t)也是有界的.，由方程(4)的第2個(gè)方程知

由引理2知，|y(t)|≤D2=D1em2T.

若0≤t≤t2，有0≤t2≤t+T≤2T，由y(t)的T-周期性及假設(shè)［H3］可得

由式(9)及0≤t≤t2，有|y(t)|=|y(t+T)|≤.即對(duì)于0 ≤t≤t2，有|y(t)|≤ D3=2D1em2T，由于 D2≤ D3，由式(8，9)可得，即‖x′‖∞≤，所以，即(φp(x′)′=的解 x(t)是有界的，i.e.，‖x‖ ＜ M，取 Ω ={x∈ Χ:‖x‖ = ‖x‖∞+‖x′‖∞＜ M}.

顯然方程(4)在?Ω上無(wú)解，即引理1的條件(A1)滿足.

對(duì)于x=±M∈R，x∈?Ω且M ＞d，由假設(shè)［H3］有

即引理1的條件(A2)滿足，由引理1的結(jié)論可知，方程(1)在Ω內(nèi)存在一個(gè)解.

下證p≥2且假設(shè)［H4］滿足時(shí)方程(1)的解還是唯一存在的.

設(shè)x1(t)，x2(t)為方程(1)的兩個(gè)周期解，且y1(t)= φp(x′1(t))，y2(t)= φp(x′2(t))，同時(shí)，

令u(t)=x1(t)-x2(t)，v(t)=y1(t)-y2(t)，由x′=φq(y)及方程(4)可得

下用反證法證明對(duì)于t∈［0，T］，u(t)≤0成立.

證明:假設(shè)?t0∈［0，T］使得u(t0)=max u(t)=x1(t0)-x2(t0)＞ 0，則

u′(t0)= φq(y1(t0))-φq(y2(t0))=0，即y1(t0)=y2(t0)，且u″(t0)≤0，由于p≥2，q≤2，且定義當(dāng)u=0，q=2時(shí)，|u|q-2=1;當(dāng)u=0，q ＜ 2時(shí)，|u|q-2=+∞.

由假設(shè)［H4］及y1(t0)=y2(t0)有

這與u″(t0)≤0矛盾，故u(t)≤0.

綜上所證，方程(1)在p≥2及［H4］成立時(shí)，有且僅有一個(gè)周期解.定理1得證.

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