基于薄板理論的六維力傳感器E型膜橫向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析

謝黎峰，許德章

（安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

機(jī)器人六維力傳感器是最重要的傳感器之一，具備同時(shí)探測(cè)作用在末端執(zhí)行器的3個(gè)力分量（Fx、Fy、Fz）和3個(gè)力矩分量（Mx、My、Mz）［1］.由于現(xiàn)有的六維力傳感器6個(gè)通道之間存在干擾或噪聲耦合，導(dǎo)致動(dòng)態(tài)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)十分復(fù)雜和困難［2］.如劉正士和葛運(yùn)建等，將單維力傳感器彈性體簡(jiǎn)化成集中質(zhì)量的單自由度二階阻尼振動(dòng)模型，利用脈沖激勵(lì)法獲得其動(dòng)態(tài)特性［3］，但對(duì)于多維力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性提取尚無(wú)有效的實(shí)驗(yàn)手段.因此，通過(guò)理論分析尋找六維力傳感器動(dòng)態(tài)耦合特征具有十分重要的意義.對(duì)于電阻應(yīng)變片式六維力傳感器動(dòng)態(tài)耦合特征的辨識(shí)，應(yīng)著眼于其主要彈性體力學(xué)特征的研究［4］.雙E型六維力傳感器［5］是常見(jiàn)的應(yīng)變片式六維力傳感器之一，上、下E型膜是傳感器最主要的彈性體結(jié)構(gòu)，其動(dòng)態(tài)特征決定著動(dòng)態(tài)解耦矩陣C和傳感器的動(dòng)態(tài)輸出.對(duì)六維力傳感器彈性體動(dòng)態(tài)特征的求解方法主要有實(shí)驗(yàn)建模、數(shù)值建模及解析建模［6］.由于動(dòng)態(tài)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)過(guò)于復(fù)雜且現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)手段難以達(dá)到傳感器實(shí)際工作頻率的帶寬；而數(shù)值建模由于采用擬合逼近的方法，數(shù)值解本身與真實(shí)解之間存在一定誤差；所以本文將采用解析建模的方法，基于彈性力學(xué)薄板振動(dòng)理論，對(duì)圓環(huán)形薄板在動(dòng)態(tài)力偶矩作用下的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題提出一種新穎的解決方法，求解出測(cè)量主方向動(dòng)載荷的各應(yīng)變片的輸出，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，為六維力傳感器動(dòng)態(tài)解耦提供了理論和數(shù)據(jù)基礎(chǔ).

1 六維力傳感器結(jié)構(gòu)和受力分析

1.1 六維力傳感器的結(jié)構(gòu)

以中科院合肥智能研究所具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的超薄型雙E型膜片六維力傳感器為研究對(duì)象，其結(jié)構(gòu)如圖1所示.其中，矩形薄板1和上、下E型膜4、6分別為彈性體結(jié)構(gòu)，電阻應(yīng)變片粘貼在其表面，在受到動(dòng)載荷作用時(shí)，會(huì)隨之發(fā)生形變，經(jīng)過(guò)橋路產(chǎn)生輸出信號(hào).上傳力環(huán)2、中間傳力環(huán)3、中心支柱5及底座7可看作剛體，在動(dòng)載條件下不發(fā)生形變，用于傳遞外載荷.傳感器的材料及尺寸參數(shù)如表1所示.

表1 六維力傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)

1.2 六維力傳感器的受力分析

動(dòng)態(tài)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)中，給六維力傳感器施加My方向的動(dòng)載荷，即動(dòng)態(tài)力偶矩，通常是在加載帽上沿x軸左右各施加一個(gè)大小相等、方向相反的動(dòng)態(tài)激勵(lì)力，如圖2所示.這種受力狀態(tài)下，測(cè)量Mz方向動(dòng)載荷的矩形彈性體1，可以根據(jù)彈性力學(xué)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)分析求解.由于中心支柱5看做剛體，因而下E型膜也受到一個(gè)動(dòng)態(tài)力偶矩的作用，分析過(guò)程與上E型膜類似.所以本文以測(cè)量My主方向動(dòng)載荷的上E型膜為例，重點(diǎn)分析圓環(huán)形薄板在非對(duì)稱動(dòng)載荷作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題.

將My方向動(dòng)載荷作用下的上E型膜簡(jiǎn)化成一個(gè)內(nèi)邊界固定、外邊界自由的圓環(huán)薄板，如圖3所示.根據(jù)薄板的A、B兩點(diǎn)分別作用一對(duì)大小qt1＝Ksinωt，方向相反的動(dòng)態(tài)激勵(lì)力，將這對(duì)剪力的作用效果等效為沿薄板圓周方向線性變化均布剪力，其中，A、B點(diǎn)剪力最大，C、D點(diǎn)剪力為0.在xoy平面內(nèi)建立極坐標(biāo)，以x軸為r軸，逆時(shí)針取φ.

圖1 六維力傳感器結(jié)構(gòu)

圖2 六維力傳感器俯視圖

圖3 上E型膜力學(xué)模型

2 六維力傳感器橫向扭轉(zhuǎn)分析

2.1 圓環(huán)薄板非對(duì)稱動(dòng)載下扭轉(zhuǎn)分析

根據(jù)極坐標(biāo)系，將彈性力學(xué)薄板受迫振動(dòng)微分方程改寫(xiě)為極坐標(biāo)下圓形薄板受迫振動(dòng)微分方程：

由于已經(jīng)求解出圓環(huán)薄板自由振動(dòng)的固有頻率和振型函數(shù)［7］，將公式（1）中薄板所受的動(dòng)力外載荷qt展開(kāi)為振型函數(shù)的級(jí)數(shù)形式：

其中，m表示振型函數(shù)的階數(shù)，n表示振型函數(shù)中Bessel函數(shù)的階數(shù).

把圓環(huán)薄板受迫振動(dòng)微分方程（1）的解答也展開(kāi)為振型函數(shù)級(jí)數(shù)的形式：

把（2）（3）兩式代入式（1），比較兩邊系數(shù)，并化簡(jiǎn)得一常微分方程：

該常微分方程的解答可表示為：

其中τmn（t）是任意特解，系數(shù)Amn、Bmn由初始條件決定.將（5）式代入（3）式，得薄板在任意瞬時(shí)的撓度：

2.2 圓環(huán)薄板非對(duì)稱動(dòng)載下扭轉(zhuǎn)振動(dòng)算例

根據(jù)題設(shè)，在A、B兩點(diǎn)分別作用一對(duì)大小qt1＝Ksinωt，按照受力分析，等效剪力沿圓周線性變化，求解出圓周上任意一點(diǎn)剪力的表達(dá)式：

圖4 f（φ）分段函數(shù)關(guān)系圖

參照重三角級(jí)數(shù)展開(kāi)公式，（2）式改寫(xiě)為廣義力Fmn（t）的求解公式［7］：

按照式（8），代入剪力qt（r，φ，t）和振型函數(shù)Wmn（r，φ）.根據(jù)工程實(shí)際需要以及對(duì)計(jì)算量的控制，本文取前3階振型函數(shù)，前2階Bessel函數(shù).求解出廣義力如表2所示.

表2 各階廣義力值

結(jié)合零初始條件，即：

求解出系數(shù)Amn、Bmn.將系數(shù)及特解代入圓形薄板受迫振動(dòng)微分方程的解（6）得：

由于本文研究的E型膜滿足薄板小撓度彎曲理論的3個(gè)基本假設(shè)，根據(jù)彈性力學(xué)空間幾何方程，推導(dǎo)出極坐標(biāo)下得圓形薄板動(dòng)態(tài)應(yīng)變求解公式：

（1）由于應(yīng)變片是貼在薄板的外表面，如圖3所示，所以（11）式中z應(yīng)取應(yīng)變片貼附的薄板表面至中心面的距離：z＝h/2，薄板表面徑向線應(yīng)變：

（2）同理，根據(jù)（11）中的第2式，求解出薄板表面周向線應(yīng)變：

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)變?chǔ)舝、εφ進(jìn)行仿真.由求解出的εr、εφ可知，薄板表面動(dòng)態(tài)應(yīng)變?chǔ)舝、εφ的位置由r、φ決定.將表示激勵(lì)力幅值大小的變量K取1，根據(jù)工程中機(jī)械手動(dòng)態(tài)力帶寬實(shí)際范圍，選取激勵(lì)頻率2 KHz、8 KHz、10 KHz，仿真出上E型膜受迫振動(dòng)沿r、φ兩個(gè)方向線應(yīng)變的四維空間切片圖（圖中方格內(nèi)顏色的深淺代表此點(diǎn)應(yīng)變的大小）如圖5、圖6所示.由圖5、6可知，上E型膜徑向線應(yīng)變主要集中在粘貼應(yīng)變片的軸線（即π、2π處）上，且在圓環(huán)板的內(nèi)邊界附近值較大，沿坐標(biāo)軸r向外邊界方向逐漸減小.周向應(yīng)變?cè)谡麄€(gè)圓環(huán)板面都有分布，且分布較均勻.對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)變?chǔ)舝、εφ進(jìn)行矢量合成得合應(yīng)變?chǔ)?ε中應(yīng)變片的位置同樣只由變量r、φ決定，代入各位置參數(shù)（各電阻應(yīng)變片取中心點(diǎn)位置）得4應(yīng)變片的應(yīng)變（見(jiàn)表3）.

圖5 上E型膜徑向動(dòng)態(tài)應(yīng)變仿真

圖6 上E型膜周向動(dòng)態(tài)應(yīng)變仿真

如圖2所示，測(cè)量My方向動(dòng)載荷的是粘貼在上E型膜的R9、R10、R11、R124片電阻應(yīng)變片，構(gòu)成了惠斯通電橋，R9與R11，R10與R12分別置于相對(duì)應(yīng)橋臂上.根據(jù)My方向動(dòng)載荷作用時(shí)，膜片變形、應(yīng)變與受力關(guān)系［8］，推導(dǎo)出My方向動(dòng)載荷作用下傳感器的應(yīng)變輸出為：

將表3中的各參數(shù)帶入式（12），得My方向動(dòng)載荷作用下傳感器的應(yīng)變輸出的具體表達(dá)式：

SMyMy就是My方向動(dòng)載荷作用時(shí)，主方向通道動(dòng)態(tài)輸出的解析解.根據(jù)六維力傳感器的動(dòng)態(tài)標(biāo)定公式可得所以上式求解出了SMyMy就等同于求解出動(dòng)態(tài)耦合矩陣中的元素KMyMy.

表3 My方向動(dòng)載下My方向電阻應(yīng)變片輸出

3 結(jié)論

基于彈性力學(xué)薄板強(qiáng)迫振動(dòng)理論，對(duì)雙E型六維力傳感器的主要彈性體上E型膜進(jìn)行分析，建立圓環(huán)薄板的力學(xué)模型，將外加非對(duì)稱動(dòng)載荷等效成薄板邊界處線性變化的剪力，求解出圓環(huán)薄板表面任意位置橫向強(qiáng)迫振動(dòng)的應(yīng)變.并仿真了動(dòng)態(tài)應(yīng)變的四維空間切片圖，直觀地揭示了彈性體在非對(duì)稱動(dòng)載下表面響應(yīng)的分布.同時(shí)，基于電阻應(yīng)變片的位置，對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)變進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.動(dòng)態(tài)輸出的解析解為六維力傳感器動(dòng)態(tài)解耦算法研究在My主方向上提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)；從力學(xué)角度揭示了六維力傳感器E型膜的動(dòng)態(tài)特性，為其他方向動(dòng)載荷作用時(shí)，E型膜的耦合輸出研究提供了理論依據(jù).

［1］ Wang Z J，Yao J T，Xu Y D，et al.Hyperstatic analysis of a fully pre－stressed six－axis force/torque sensor［J］.Mechanism and Machine Theory，2012（57）：84－94.

［2］ Song A G，Wu J，Li J Q，et al.A novel four degree－of－freedom wrist force/torque sensor with low coupled interference［C］//Proc.IEEE/RSJ Int.Conf.on Intelligent Robots and Systems，Beijing，China：Intelligent Robot and Systems，2006，4 423－4 428.

［3］ Liu Z S，Wang Y，Chen E W，et al.A method for measuring dynamic performance index of robots multi－axis wrist force sensor［C］//Proc.IEEE Int.Conf.on Information Acquisition，Hong Kong and Macau，China：Information Acquisition，2005：170－176.

［4］ Liang Q K，Zhang D，Song Q J，et al.Design and fabrication of a six－dimensional wrist force/torque sensor based on E－type membranes compared to cross beams［J］.Measurement，2010（43）：1 702－1 719.

［5］ 梁橋康，宋全軍，葛運(yùn)建.一種新型結(jié)構(gòu)機(jī)器人的四維指力傳感器設(shè)計(jì)［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，40（1）：115－120.

［6］ 干方建，劉正士，任傳勝，等.一種應(yīng)變式六維力傳感器的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2007，18（8）：967－970.

［7］ 汪志紅.電阻應(yīng)變片式六維力傳感器彈性體力學(xué)特性的研究［D］.蕪湖：安徽工程大學(xué)，2013.

［8］ 楊衛(wèi)超，余永，鄧小紅，等.一種基于雙E型膜片的微小六維力傳感器的設(shè)計(jì)［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2008，21（7）：1 137－1 142.

［9］ 徐芝綸.彈性力學(xué)（下冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2006.