變式教學的幾點反思

李勇軍

“變式”主要是指對例題進行變通推廣，重新認識，恰當合理的變式能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，開闊學生的視野，激發(fā)學生的情趣，有助于培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新意識，并能使學生舉一反三、事半功倍。本人在教學過程中發(fā)現(xiàn)，有些教師對變式的“度”把握不準確，不能因材施教，單純地為了變式而變式，給學生造成了過重的心理負擔，使學生產(chǎn)生了逆反心理，“高投入、低產(chǎn)出”，事倍功半。

1.變式要在原例題的基礎上進行，要主體思路不變，不能“拉郎配”，要有利于學生通過變式題目的解答，加深對所學知識的理解和掌握。在新授基本不等式“a，b∈R+， ≥ （當且僅當a=b時取‘=號）”的應用時，給出了如下的例題及變式：

例1：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式1：x∈R，函數(shù)y=x+ 有最小值嗎？為什么？

變式2：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式3：函數(shù)y=x+ 的最小值為2嗎？

由該例題及三個變式的解答，使學生加深了對基本不等式成立的三個條件“一正、二定、三相等”的理解與掌握，為基本不等式的正確使用打下了較堅實的基礎。

2.變式要限制在學生思維水平的“最近活動區(qū)”上，變式題目的解決要在學生已有的認知基礎之上，并且要結(jié)合教學的目的和要求，要有助于學生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握。在新授定理“a，bR+， ≥ （當且僅當a=b時取‘=號）”的應用時，把變式3改為：求函數(shù)y=x+ 的最小值，則顯得有些不妥。因為本節(jié)課的重點是讓學生熟悉不等式的應用，而解答變式3不但要指出函數(shù)的最小值不是2，而且還要借助于函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，這樣本堂課就要用不少時間去證明單調(diào)性，“干擾”了“不等式應用”這一“主干”知識的傳授；但若作為課后思考題讓學生去討論，則將是一種較好的設計。

3.變式要有梯度，循序漸進，切不可搞“一步到位”，否則會使學生產(chǎn)生畏難情緒，影響到問題的解決，降低學習的效率。在新授利用數(shù)學歸納法證明幾何問題時，（蘇教版）課本給出了例題：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明交點的個數(shù)f（n）= 。在證明的過程中，引導學生注意觀察f（k）與f（k+1）的關系有f（k+1）-f（k）=k，從而給出：

變式1：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求這n條直線共有幾個交點。

此變式自然恰當，變證明為探索，使學生在探索f（k）與f（k+1）的關系的過程中得了答案，而且鞏固加深了對數(shù)學歸納法證明幾何問題的一般方法的理解。類似地還可以給出：

變式2：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f（n）個區(qū)域，則f（n+1）=f（n）+ 。

變式3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f（n）個區(qū)域，求f（n）。

上述變式3在變式1與變式2的基礎上很容易掌握，但若沒有變式1與變式2而直接給出變式3，學生解決起來就非常困難，對樹立學生的學習信心是不利的，從而也降低了學習的效率。

4.提倡讓學生參與題目的變式。變式并不是教師的“專利”，教師必須轉(zhuǎn)變觀念，發(fā)揚教學民主，師生雙方密切配合，交流互動，只要是學生能夠提出問題的，教師絕不包辦代替，學生變式有困難的，可在教師的點撥與啟發(fā)下完成，這樣可以調(diào)動學生學習的積極性，提高學生參與創(chuàng)新的意識。

如在學習向量的加法與減法時，有這樣一個習題：設A，B，C是平面內(nèi)任意三點，求證： + + = （蘇教版必修4P72習題2.2）在引導學生給出解答后，教師提出如下思考：

①你能用文字敘述該題嗎

通過討論，暢所欲言、補充完善，會有：

變式1：如果三個向量首尾連接可以構(gòu)成三角形，且這三個向量的方向順序一致（順時針或逆時針），則這三個向量的代數(shù)和為零。

②大家再討論一下，這個結(jié)論是否只對三角形適合。

通過討論學生首先想到對四邊形適合，從而有：

變式2： + + + =

③大家再想一想或動筆畫一畫滿足變式2的這四個向量是否一定可構(gòu)成四邊形。

在教師的啟發(fā)下不難得到結(jié)論：四個向量首尾相連不論是否可形成四邊形，只要它們的方向順序一致，則這四個向量的代數(shù)和為零。

④進一步啟發(fā)，學生自己就可得出n條封閉折線的一個性質(zhì)：

變式3： + +…… + 1=

最后再讓學生思考若把 + + = 改為任意的三個向量則這三個向量 + + = 是否還可以構(gòu)成三角形這就是P68習題2.2的第7小題，學生很容易得出答案。至此，學生大腦中原有的認知結(jié)構(gòu)被激活，學生的求知欲被喚起，形成了教師樂教、學生樂學的良好局面。

變式教學中習題的變式方式、形式及內(nèi)容，要根據(jù)教材的內(nèi)容和學生的情況來安排，因材施教是課堂教學永遠要堅持的原則，恰當合理的變式，可使學生一題多解和多題一解，有助于學生把知識學活，有助于學生舉一反三、觸類旁通，有助于學生產(chǎn)生學習的“最佳動機”和激發(fā)學生的靈感，它能升華學生的思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

（作者單位：江蘇淮安市新馬高級中學）endprint

“變式”主要是指對例題進行變通推廣，重新認識，恰當合理的變式能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，開闊學生的視野，激發(fā)學生的情趣，有助于培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新意識，并能使學生舉一反三、事半功倍。本人在教學過程中發(fā)現(xiàn)，有些教師對變式的“度”把握不準確，不能因材施教，單純地為了變式而變式，給學生造成了過重的心理負擔，使學生產(chǎn)生了逆反心理，“高投入、低產(chǎn)出”，事倍功半。

1.變式要在原例題的基礎上進行，要主體思路不變，不能“拉郎配”，要有利于學生通過變式題目的解答，加深對所學知識的理解和掌握。在新授基本不等式“a，b∈R+， ≥ （當且僅當a=b時取‘=號）”的應用時，給出了如下的例題及變式：

例1：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式1：x∈R，函數(shù)y=x+ 有最小值嗎？為什么？

變式2：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式3：函數(shù)y=x+ 的最小值為2嗎？

由該例題及三個變式的解答，使學生加深了對基本不等式成立的三個條件“一正、二定、三相等”的理解與掌握，為基本不等式的正確使用打下了較堅實的基礎。

2.變式要限制在學生思維水平的“最近活動區(qū)”上，變式題目的解決要在學生已有的認知基礎之上，并且要結(jié)合教學的目的和要求，要有助于學生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握。在新授定理“a，bR+， ≥ （當且僅當a=b時取‘=號）”的應用時，把變式3改為：求函數(shù)y=x+ 的最小值，則顯得有些不妥。因為本節(jié)課的重點是讓學生熟悉不等式的應用，而解答變式3不但要指出函數(shù)的最小值不是2，而且還要借助于函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，這樣本堂課就要用不少時間去證明單調(diào)性，“干擾”了“不等式應用”這一“主干”知識的傳授；但若作為課后思考題讓學生去討論，則將是一種較好的設計。

3.變式要有梯度，循序漸進，切不可搞“一步到位”，否則會使學生產(chǎn)生畏難情緒，影響到問題的解決，降低學習的效率。在新授利用數(shù)學歸納法證明幾何問題時，（蘇教版）課本給出了例題：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明交點的個數(shù)f（n）= 。在證明的過程中，引導學生注意觀察f（k）與f（k+1）的關系有f（k+1）-f（k）=k，從而給出：

變式1：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求這n條直線共有幾個交點。

此變式自然恰當，變證明為探索，使學生在探索f（k）與f（k+1）的關系的過程中得了答案，而且鞏固加深了對數(shù)學歸納法證明幾何問題的一般方法的理解。類似地還可以給出：

變式2：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f（n）個區(qū)域，則f（n+1）=f（n）+ 。

變式3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f（n）個區(qū)域，求f（n）。

上述變式3在變式1與變式2的基礎上很容易掌握，但若沒有變式1與變式2而直接給出變式3，學生解決起來就非常困難，對樹立學生的學習信心是不利的，從而也降低了學習的效率。

4.提倡讓學生參與題目的變式。變式并不是教師的“專利”，教師必須轉(zhuǎn)變觀念，發(fā)揚教學民主，師生雙方密切配合，交流互動，只要是學生能夠提出問題的，教師絕不包辦代替，學生變式有困難的，可在教師的點撥與啟發(fā)下完成，這樣可以調(diào)動學生學習的積極性，提高學生參與創(chuàng)新的意識。

如在學習向量的加法與減法時，有這樣一個習題：設A，B，C是平面內(nèi)任意三點，求證： + + = （蘇教版必修4P72習題2.2）在引導學生給出解答后，教師提出如下思考：

①你能用文字敘述該題嗎

通過討論，暢所欲言、補充完善，會有：

變式1：如果三個向量首尾連接可以構(gòu)成三角形，且這三個向量的方向順序一致（順時針或逆時針），則這三個向量的代數(shù)和為零。

②大家再討論一下，這個結(jié)論是否只對三角形適合。

通過討論學生首先想到對四邊形適合，從而有：

變式2： + + + =

③大家再想一想或動筆畫一畫滿足變式2的這四個向量是否一定可構(gòu)成四邊形。

在教師的啟發(fā)下不難得到結(jié)論：四個向量首尾相連不論是否可形成四邊形，只要它們的方向順序一致，則這四個向量的代數(shù)和為零。

④進一步啟發(fā)，學生自己就可得出n條封閉折線的一個性質(zhì)：

變式3： + +…… + 1=

最后再讓學生思考若把 + + = 改為任意的三個向量則這三個向量 + + = 是否還可以構(gòu)成三角形這就是P68習題2.2的第7小題，學生很容易得出答案。至此，學生大腦中原有的認知結(jié)構(gòu)被激活，學生的求知欲被喚起，形成了教師樂教、學生樂學的良好局面。

變式教學中習題的變式方式、形式及內(nèi)容，要根據(jù)教材的內(nèi)容和學生的情況來安排，因材施教是課堂教學永遠要堅持的原則，恰當合理的變式，可使學生一題多解和多題一解，有助于學生把知識學活，有助于學生舉一反三、觸類旁通，有助于學生產(chǎn)生學習的“最佳動機”和激發(fā)學生的靈感，它能升華學生的思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

（作者單位：江蘇淮安市新馬高級中學）endprint

“變式”主要是指對例題進行變通推廣，重新認識，恰當合理的變式能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，開闊學生的視野，激發(fā)學生的情趣，有助于培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新意識，并能使學生舉一反三、事半功倍。本人在教學過程中發(fā)現(xiàn)，有些教師對變式的“度”把握不準確，不能因材施教，單純地為了變式而變式，給學生造成了過重的心理負擔，使學生產(chǎn)生了逆反心理，“高投入、低產(chǎn)出”，事倍功半。

1.變式要在原例題的基礎上進行，要主體思路不變，不能“拉郎配”，要有利于學生通過變式題目的解答，加深對所學知識的理解和掌握。在新授基本不等式“a，b∈R+， ≥ （當且僅當a=b時取‘=號）”的應用時，給出了如下的例題及變式：

例1：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式1：x∈R，函數(shù)y=x+ 有最小值嗎？為什么？

變式2：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式3：函數(shù)y=x+ 的最小值為2嗎？

由該例題及三個變式的解答，使學生加深了對基本不等式成立的三個條件“一正、二定、三相等”的理解與掌握，為基本不等式的正確使用打下了較堅實的基礎。

2.變式要限制在學生思維水平的“最近活動區(qū)”上，變式題目的解決要在學生已有的認知基礎之上，并且要結(jié)合教學的目的和要求，要有助于學生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握。在新授定理“a，bR+， ≥ （當且僅當a=b時取‘=號）”的應用時，把變式3改為：求函數(shù)y=x+ 的最小值，則顯得有些不妥。因為本節(jié)課的重點是讓學生熟悉不等式的應用，而解答變式3不但要指出函數(shù)的最小值不是2，而且還要借助于函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，這樣本堂課就要用不少時間去證明單調(diào)性，“干擾”了“不等式應用”這一“主干”知識的傳授；但若作為課后思考題讓學生去討論，則將是一種較好的設計。

3.變式要有梯度，循序漸進，切不可搞“一步到位”，否則會使學生產(chǎn)生畏難情緒，影響到問題的解決，降低學習的效率。在新授利用數(shù)學歸納法證明幾何問題時，（蘇教版）課本給出了例題：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明交點的個數(shù)f（n）= 。在證明的過程中，引導學生注意觀察f（k）與f（k+1）的關系有f（k+1）-f（k）=k，從而給出：

變式1：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求這n條直線共有幾個交點。

此變式自然恰當，變證明為探索，使學生在探索f（k）與f（k+1）的關系的過程中得了答案，而且鞏固加深了對數(shù)學歸納法證明幾何問題的一般方法的理解。類似地還可以給出：

變式2：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f（n）個區(qū)域，則f（n+1）=f（n）+ 。

變式3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f（n）個區(qū)域，求f（n）。

上述變式3在變式1與變式2的基礎上很容易掌握，但若沒有變式1與變式2而直接給出變式3，學生解決起來就非常困難，對樹立學生的學習信心是不利的，從而也降低了學習的效率。

4.提倡讓學生參與題目的變式。變式并不是教師的“專利”，教師必須轉(zhuǎn)變觀念，發(fā)揚教學民主，師生雙方密切配合，交流互動，只要是學生能夠提出問題的，教師絕不包辦代替，學生變式有困難的，可在教師的點撥與啟發(fā)下完成，這樣可以調(diào)動學生學習的積極性，提高學生參與創(chuàng)新的意識。

如在學習向量的加法與減法時，有這樣一個習題：設A，B，C是平面內(nèi)任意三點，求證： + + = （蘇教版必修4P72習題2.2）在引導學生給出解答后，教師提出如下思考：

①你能用文字敘述該題嗎

通過討論，暢所欲言、補充完善，會有：

變式1：如果三個向量首尾連接可以構(gòu)成三角形，且這三個向量的方向順序一致（順時針或逆時針），則這三個向量的代數(shù)和為零。

②大家再討論一下，這個結(jié)論是否只對三角形適合。

通過討論學生首先想到對四邊形適合，從而有：

變式2： + + + =

③大家再想一想或動筆畫一畫滿足變式2的這四個向量是否一定可構(gòu)成四邊形。

在教師的啟發(fā)下不難得到結(jié)論：四個向量首尾相連不論是否可形成四邊形，只要它們的方向順序一致，則這四個向量的代數(shù)和為零。

④進一步啟發(fā)，學生自己就可得出n條封閉折線的一個性質(zhì)：

變式3： + +…… + 1=

最后再讓學生思考若把 + + = 改為任意的三個向量則這三個向量 + + = 是否還可以構(gòu)成三角形這就是P68習題2.2的第7小題，學生很容易得出答案。至此，學生大腦中原有的認知結(jié)構(gòu)被激活，學生的求知欲被喚起，形成了教師樂教、學生樂學的良好局面。

變式教學中習題的變式方式、形式及內(nèi)容，要根據(jù)教材的內(nèi)容和學生的情況來安排，因材施教是課堂教學永遠要堅持的原則，恰當合理的變式，可使學生一題多解和多題一解，有助于學生把知識學活，有助于學生舉一反三、觸類旁通，有助于學生產(chǎn)生學習的“最佳動機”和激發(fā)學生的靈感，它能升華學生的思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

（作者單位：江蘇淮安市新馬高級中學）endprint