初中數(shù)形結合綜合題型的“三部曲”

王一靈

所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關系與空間形式和諧地結合起來。數(shù)學家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休?！睌?shù)形結合的思想方法把代數(shù)的精確刻畫與幾何的形象直觀相統(tǒng)一，將抽象思維與形象思維相結合。

初中數(shù)學中數(shù)形結合的綜合題是中學數(shù)學的重要題型，也是中考考查的重點。這種題型的特點是集知識點于一體，新穎且富于變化，學生往往會感到難度大，不易下手。

的確，作為一種大型綜合性的考查題型，不管是其考查的知識層面上講，或是考查要求的水平上說，對于學生們在解答與操作上而言，都是一種難度極高的挑戰(zhàn)。如何才能有效性做好這種題型的解題操作呢？其實，在解答此種題型時，若能時刻遵循與養(yǎng)成“三個定位”的解題操作：定位題意、定位圖形、定位方法，就會為解題帶來極大的幫助與提高。

一、定位題意

題意是整個綜合題的主航線，主導線。每一個問題都包含有已知條件與未知結論，而許多學生總是抓著某些條件，特別是已知條件不放，把這些條件通過正向、側向、逆向等挖掘得很豐富、很透徹，以為條件多，自然會為解答帶來諸多的方便或突破?？蓻]想到，條件多了，反而有時會為解答帶來不必要的干擾，無形當中增加了自己的思維壓力，使解題的定性思路被復雜化，更不易于解題突破口的尋求。

如何定位題意呢？定位題意就是即要抓住提供的已知條件，審出延伸出來的結論，更要抓住本綜合題中最為要害的關鍵句來尋思，從中去索求題意著重研究的問題，及問題的出路與去向，再從中借助圖形來轉化與分析。

二、定位圖形

圖形是整個綜合題中主航線的方向標或者說航線地圖。都知道，船若離了地圖，哪怕你是再高超的舵手，在茫茫的大海中，即使主航向再清晰也都會迷失的。

定位圖形，就是根據(jù)上述定位出來的題意信息，通過圖形來再作反饋與深究，把綜合題提供過來的待定或不清題意與圖形，把定位分析反饋出來的信息更準確化地體現(xiàn)與刻畫出來，為解題尋求方法打開方便之門。簡明地說，就是對圖形要么適當通過輔助線的引入進行加工處理；要么是對圖形中的干擾因素去除，進行簡化的軟加工處理。

三、定位方法

方法是解決問題的主軸，方法準確到位，就會避免少走彎路，或走進“死路”。熟練的操作能力，則更是為方法的準確展現(xiàn)、解題的到位提供精簡完美的解答。事實上，初中數(shù)學數(shù)形結合思想的主要內容體現(xiàn)在以下幾個方面：1.建立適當?shù)拇鷶?shù)模型（主要是方程、不等式或函數(shù)模型）解決有關幾何問題；2.建立幾何模型（或函數(shù)圖像）解決有關方程和函數(shù)；3.與函數(shù)有關的代數(shù)、幾何綜合性問題；4.以圖像形式呈現(xiàn)信息的應用性問題。那這些都是為我們解答方法提供有力的思考依據(jù)。

下面就以兩道中考為例點撥一下：

例1：（2011泉州）如圖，在第一象限內，直線y=mx與過點B（0，1）且平行于x軸的直線l相交于點A，半徑為r的⊙Q與直線y=mx、x軸分別相切于點T、E，且與直線l分別交于不同的M、N兩點。

（1）當點A的坐標為（ ，p）時，

①填空：p= ，m= ，∠AOE= ；

②如圖2，連結QT、QE，QE交MN于點F，當r=2時，試說明：以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形。

（2）在圖1中，連接EQ并延長交⊙Q于點D，試探索：對m、r的不同取值，經(jīng)過M、D、N三點的拋物線y=ax2+bx+c，a的值會變化嗎？若不變，求出a的值；若變化，請說明理由。

解題操作分析：問題（1）①、②略。

問題（2）①定位題意：關鍵問題的分析流程：

②定位圖形：通過上述的分析，就可以把圖形進行更深入精確化，放棄一些不必要的干擾因素，使圖形更有針對性輔助于方法的思考引入。

③定位方法：有了圖形的定位，加上題意定位主要關鍵是求點的坐標，通過圖形分析，就是想到利用三角形相似來解決問題。

略解：在平移中，拋物線的形狀及特征均不變，故所求的拋物線可通過y=ax2+k的圖像平移得到可以將問題轉化為：點D在y軸上，點M、N在x軸上進行探索，而圖形的對稱性可得點D為拋物線的頂點，依題意，設D（0，k）（k=2r-1>0），M（x1，0），N（x2，0）（x1

且當y=0時，解得x1、2=± 。

∴MF=NF=

又因易證得△MDF∽△EMF，可得MF2=FD·FE，

即（ ）2=k·1∴a=-1故a的值不變。

例2：（2013·威海）如圖，在平面直角坐標系中，直線y= x+ 與直線y=x交于點A，點B在直線y= x+ 上，∠BOA=90°。拋物線y=ax2+bx+c過點A，O，B，頂點為點E。

（1）求點A，B的坐標；

（2）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點E的坐標；

（3）設直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，直線BC交拋物線于點D，過點E作FE∥x軸，交直線AB于點F，連接OD，CF，CF交x軸于點M。試判斷OD與CF是否平行，并說明理由。

解題操作分析：問題（1）（2）略。

分析：

問題（3）我們再次用“三個定位”來分析

①定位題意：關鍵問題的分析流程

②定位圖形：通過上述分析，排除一些不必要的干擾因素，使圖形更簡單，問題更清楚，如下圖：

③定位方法：有了圖形的定位，加上題意定位主要關鍵是求點的坐標，通過圖形分析，就可通過平行線的性質和平行線的判定來解決問題。

解答：

具體解答如下：

解：（1）由直線y= x+ 與直線y=x交于點A，得

y=xy= x+ ，

解得，x=3y=3，

∴點A的坐標是（3，3）.

∵∠BOA=90°，

∴OB⊥OA，

∴直線OB的解析式為y=﹣x.

又∵點B在直線 x+ 上，

∴y=-xy= x+ ，

解得，x=-1y=1，

∴點B的坐標是（﹣1，1）.

綜上所述，點A、B的坐標分別為（3，3），（﹣1，1）.

（2）由（1）知，點A、B的坐標分別為（3，3），（﹣1，1）.

∵拋物線y=ax2+bx+c過點A，O，B，

∴9a+3b+c=3c=0a-b+c=1，

解得，a= b=- c=0，

∴該拋物線的解析式為y= x2- x，或y= （x- ）2- .

∴頂點E的坐標是（ ，- ）；

（3）OD與CF平行.理由如下：

由（2）知，拋物線的對稱軸是x= .

∵直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，

∴C（ ， ）.

設直線BC的表達式為y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（ ， ）代入，得-k+b=1 k+b= ，

解得k=- b= ，

∴直線BC的解析式為y=- x+ .

∵直線BC與拋物線交于點B、D，

∴- x+ = x2- x，

解得，x1= ，x2=-1.

把x1= 代入y=- x+ ，得y1= ，

∴點D的坐標是（ ， ）.

如圖，作DN⊥x軸于點N.

則tan∠DON= = .

∵FE∥x軸，點E的坐標為（ ，- ）.

∴點F的縱坐標是- .

把y=- 代入y= x+ ，得x=- ，

∴點F的坐標是（- ，- ），

∴EF= + = .

∵CE= + = ，

∴tan∠CFE= = ，

∴∠CFE=∠DON.

又∵FE∥x軸，

∴∠CMN=∠CFE，

∴∠CMN=∠DON，

∴OD∥CF，即OD與CF平行.

本題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及的知識點有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題，平行線的判定以及銳角三角函數(shù)的定義等知識點。此題難度較大。

（作者單位：福建泉州市泉港區(qū)第六中學）endprint

具體解答如下：

解：（1）由直線y= x+ 與直線y=x交于點A，得

y=xy= x+ ，

解得，x=3y=3，

∴點A的坐標是（3，3）.

∵∠BOA=90°，

∴OB⊥OA，

∴直線OB的解析式為y=﹣x.

又∵點B在直線 x+ 上，

∴y=-xy= x+ ，

解得，x=-1y=1，

∴點B的坐標是（﹣1，1）.

綜上所述，點A、B的坐標分別為（3，3），（﹣1，1）.

（2）由（1）知，點A、B的坐標分別為（3，3），（﹣1，1）.

∵拋物線y=ax2+bx+c過點A，O，B，

∴9a+3b+c=3c=0a-b+c=1，

解得，a= b=- c=0，

∴該拋物線的解析式為y= x2- x，或y= （x- ）2- .

∴頂點E的坐標是（ ，- ）；

（3）OD與CF平行.理由如下：

由（2）知，拋物線的對稱軸是x= .

∵直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，

∴C（ ， ）.

設直線BC的表達式為y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（ ， ）代入，得-k+b=1 k+b= ，

解得k=- b= ，

∴直線BC的解析式為y=- x+ .

∵直線BC與拋物線交于點B、D，

∴- x+ = x2- x，

解得，x1= ，x2=-1.

把x1= 代入y=- x+ ，得y1= ，

∴點D的坐標是（ ， ）.

如圖，作DN⊥x軸于點N.

則tan∠DON= = .

∵FE∥x軸，點E的坐標為（ ，- ）.

∴點F的縱坐標是- .

把y=- 代入y= x+ ，得x=- ，

∴點F的坐標是（- ，- ），

∴EF= + = .

∵CE= + = ，

∴tan∠CFE= = ，

∴∠CFE=∠DON.

又∵FE∥x軸，

∴∠CMN=∠CFE，

∴∠CMN=∠DON，

∴OD∥CF，即OD與CF平行.

本題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及的知識點有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題，平行線的判定以及銳角三角函數(shù)的定義等知識點。此題難度較大。

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具體解答如下：

解：（1）由直線y= x+ 與直線y=x交于點A，得

y=xy= x+ ，

解得，x=3y=3，

∴點A的坐標是（3，3）.

∵∠BOA=90°，

∴OB⊥OA，

∴直線OB的解析式為y=﹣x.

又∵點B在直線 x+ 上，

∴y=-xy= x+ ，

解得，x=-1y=1，

∴點B的坐標是（﹣1，1）.

綜上所述，點A、B的坐標分別為（3，3），（﹣1，1）.

（2）由（1）知，點A、B的坐標分別為（3，3），（﹣1，1）.

∵拋物線y=ax2+bx+c過點A，O，B，

∴9a+3b+c=3c=0a-b+c=1，

解得，a= b=- c=0，

∴該拋物線的解析式為y= x2- x，或y= （x- ）2- .

∴頂點E的坐標是（ ，- ）；

（3）OD與CF平行.理由如下：

由（2）知，拋物線的對稱軸是x= .

∵直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，

∴C（ ， ）.

設直線BC的表達式為y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（ ， ）代入，得-k+b=1 k+b= ，

解得k=- b= ，

∴直線BC的解析式為y=- x+ .

∵直線BC與拋物線交于點B、D，

∴- x+ = x2- x，

解得，x1= ，x2=-1.

把x1= 代入y=- x+ ，得y1= ，

∴點D的坐標是（ ， ）.

如圖，作DN⊥x軸于點N.

則tan∠DON= = .

∵FE∥x軸，點E的坐標為（ ，- ）.

∴點F的縱坐標是- .

把y=- 代入y= x+ ，得x=- ，

∴點F的坐標是（- ，- ），

∴EF= + = .

∵CE= + = ，

∴tan∠CFE= = ，

∴∠CFE=∠DON.

又∵FE∥x軸，

∴∠CMN=∠CFE，

∴∠CMN=∠DON，

∴OD∥CF，即OD與CF平行.

本題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及的知識點有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題，平行線的判定以及銳角三角函數(shù)的定義等知識點。此題難度較大。

（作者單位：福建泉州市泉港區(qū)第六中學）endprint