Matlab 在工科線性代數(shù)與解析幾何教學(xué)改革中的應(yīng)用

姜月萍

（南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210023）

0 引言

線性代數(shù)與解析幾何是高等院校一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程, 對很多后續(xù)課程有重要的指導(dǎo)意義，如高等數(shù)學(xué)、電路、信號與系統(tǒng)、控制原理等眾多課程中都要用矩陣建模解決問題。 事實(shí)上，線性代數(shù)與解析幾何在自然科學(xué)、 工程技術(shù)和管理科學(xué)等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 但目前的現(xiàn)狀是：

（1）線性代數(shù)與解析幾何課程理論性較強(qiáng)、概念較抽象、計(jì)算較繁瑣等特點(diǎn)， 往往讓學(xué)生感覺不到線性代數(shù)理論體系存在的實(shí)際意義,難以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的興趣，

（2）傳統(tǒng)教學(xué)中基本采用重概念、重計(jì)算(方法)、輕應(yīng)用的思路，也造成了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的障礙和困難,甚至使學(xué)生厭學(xué)。

（3）傳統(tǒng)的授課方式，常常只關(guān)注理論或進(jìn)行簡單的計(jì)算來驗(yàn)證理論，勢必造成學(xué)生動(dòng)手能力和解決問題能力的不足，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中和結(jié)束后無法應(yīng)用所學(xué)知識處理遇到的問題。

（4）工程實(shí)際問題中繁瑣的數(shù)字、龐大的數(shù)據(jù)處理和線性代數(shù)本身的運(yùn)算方法的復(fù)雜步驟使教師結(jié)合應(yīng)用的想法也悄然熄滅[1]。

那么，如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,提升課程內(nèi)涵呢?如何讓線性代數(shù)的教學(xué)從理論走向應(yīng)用？ 這是當(dāng)前線性代數(shù)教學(xué)改革的重要課題。

Matlab 是一種功能強(qiáng)大的科學(xué)與工程計(jì)算軟件，它的名字由“矩陣實(shí)驗(yàn)室”的英文Matrix Laboratory 的縮寫組合而來。它具有以“矩陣”為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)計(jì)算與分析功能、豐富的可視化圖形表現(xiàn)功能及方便的程序設(shè)計(jì)功能，并與其他軟件和語言有良好的對接性，使其更適用于科研和工程計(jì)算。這與工科線性代數(shù)教學(xué)中的理論與應(yīng)用相結(jié)合的教學(xué)目標(biāo)相吻合。 Matlab 的應(yīng)用范圍非常廣， 包括信號和圖像處理、通信、系統(tǒng)控制及計(jì)算生物學(xué)等眾多領(lǐng)域。 Matlab 軟件指令系統(tǒng)相對簡單，易于教師和學(xué)生掌握，使其逐漸成為目前工程計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件。

因此，在線性代數(shù)教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾隡atlab，可讓學(xué)生了解所學(xué)知識的實(shí)際作用，真正體會(huì)到“矩陣”的強(qiáng)大功能，為今后在通信工程、信息計(jì)算等領(lǐng)域應(yīng)用該軟件進(jìn)行計(jì)算、模擬等打下良好的基礎(chǔ)；在線性代數(shù)教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾隡atlab， 可讓學(xué)生在感覺到學(xué)有所用的同時(shí),強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力,進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生對知識的掌握和理解，提高學(xué)生未來的就業(yè)競爭力。 因此，應(yīng)用Matlab 對目前的工科線性代數(shù)與解析幾何教學(xué)進(jìn)行適當(dāng)?shù)母母?，這已成為當(dāng)前工科線性代數(shù)教學(xué)改革的熱點(diǎn)。

1 教學(xué)改革的探索與分析

線性代數(shù)與解析幾何課程主要包含行列式、矩陣及其運(yùn)算、向量的乘法、曲面與曲線、向量組的線性相關(guān)性、線性方程組、特征值與特征向量和二次型等內(nèi)容[2]。該課程的特點(diǎn)是理論性強(qiáng)且計(jì)算繁雜，以往的教學(xué)重視理論和計(jì)算，輕視理論背景及其應(yīng)用。 因此，應(yīng)用Matlab對工科線性代數(shù)與解析幾何課程的教學(xué)進(jìn)行改革，需從以下幾個(gè)方面進(jìn)行。

1.1 教學(xué)方法改革

傳統(tǒng)的線性代數(shù)與解析幾何教學(xué)多采用 “定義—定理 —證明—例題”這種形式單一的教學(xué)模式，這雖然有利于理論內(nèi)容的講解，能夠讓學(xué)生了解每一步的理論依據(jù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。 但這種教學(xué)方式缺乏交互性和實(shí)用性，不利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性和學(xué)習(xí)興趣。課堂教學(xué)對于學(xué)生而言，應(yīng)該是在教師引導(dǎo)下進(jìn)行自主發(fā)現(xiàn)、探究和不斷創(chuàng)新的過程。 在課堂教學(xué)中，老師要善于從現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)例入手， 積極引導(dǎo)學(xué)生把現(xiàn)實(shí)生活問題轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)與解析幾何問題，要逐步實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，變被動(dòng)接受為自主發(fā)現(xiàn)和探究。利用“問題教學(xué)法”，從問題出發(fā)，以解決問題為主線來組織教學(xué)內(nèi)容，并要講深、講透；綜合采用“啟發(fā)式”、“實(shí)踐探究法”等教學(xué)方法，以“啟發(fā)—討論—模仿—Matlab 實(shí)踐（應(yīng)用）”為形式，引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)言、討論。 此舉可實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力的目標(biāo)。

1.2 教學(xué)內(nèi)容改革

線性代數(shù)與空間解析幾何課程的教學(xué)改革旨在徹底改變“定義—定理 —證明—例題”這種形式單一的教學(xué)模式，要融數(shù)學(xué)建模思想于課程教學(xué)，借助科學(xué)計(jì)算軟件Matlab 開展研究性、創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)案例教學(xué)，加強(qiáng)實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)。

對于線性代數(shù)中比較抽象的知識或繁雜的計(jì)算實(shí)例時(shí)，我們可以利用Matlab 軟件強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能和繪圖功能，給學(xué)生以更生動(dòng)、形象的闡述以及簡單、快速的求解過程，讓學(xué)生在所規(guī)定的時(shí)間內(nèi)能接受更多的關(guān)于線性代數(shù)的有用信息[3]。

例如，在線性代數(shù)中，逆矩陣的計(jì)算、三階四階行列式的計(jì)算、特征值特征向量的計(jì)算等，計(jì)算量大，還容易出錯(cuò)；5 階以上的行列式如果是手工計(jì)算，簡直就是“大工程”。 在Matlab 軟件中，其實(shí)這些運(yùn)算一個(gè)命令就可以解決， 而且也不會(huì)出錯(cuò)。 當(dāng)然， 也有人會(huì)說， 借助Matlab 軟件進(jìn)行計(jì)算可能會(huì)使學(xué)生形成依賴， 大大降低了手算的能力。其實(shí)，我們可以在這兩個(gè)方面找一個(gè)平衡點(diǎn)。比如低階的行列式要求手算， 然后用Matlab 進(jìn)行驗(yàn)證； 對于高階的行列式就可以直接用Matlab 進(jìn)行計(jì)算。

再如，在空間解析幾何中，為確定一個(gè)三元二次方程表示的曲面圖形，通常采用截痕法。但此法應(yīng)用起來還真得費(fèi)一番功夫才行，需要學(xué)生有足夠的耐心和想象力。 但如果應(yīng)用Matlab 軟件，很多時(shí)候一兩個(gè)命令就能畫出曲面圖形，非常直觀。比如，為作出方程表示的曲面圖形，在Matlab 中只需輸入命令“ezmesh(’x’,’y’,’x^2/6-y^2/4’)”，就能得到如下圖形。

圖1

為了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)思想分析、 解決問題的能力，以及利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的能力，在線性代數(shù)教學(xué)中還應(yīng)適當(dāng)介紹一些應(yīng)用實(shí)例。實(shí)例本身需要能夠很好地體現(xiàn)線性代數(shù)知識在工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)等其它學(xué)科中的應(yīng)用，利用線性代數(shù)知識對應(yīng)用實(shí)例建立數(shù)學(xué)模型， 并利用Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)值求解。

1.3 訓(xùn)練方式改革

課堂教學(xué)方式及教學(xué)內(nèi)容的改革，當(dāng)然也要伴隨進(jìn)行學(xué)生訓(xùn)練方式的改革。我們可以把習(xí)題分為基礎(chǔ)訓(xùn)練題、實(shí)例應(yīng)用題兩大類?；A(chǔ)訓(xùn)練題主要側(cè)重于理論和計(jì)算，強(qiáng)調(diào)求解過程中的理論依據(jù)和數(shù)學(xué)計(jì)算方法；對于一些比較繁雜的計(jì)算，可利用Matlab 軟件進(jìn)行計(jì)算或驗(yàn)證。 實(shí)例應(yīng)用題主要側(cè)重于線性代數(shù)知識的實(shí)際應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生利用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型、 設(shè)計(jì)算法， 并利用Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)值求解。

2 小結(jié)

在線性代數(shù)與解析幾何的教學(xué)中，貫穿Matlab 的教學(xué)，把Matlab滲透到各章中去,既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，大大地改善學(xué)生的學(xué)習(xí)效果；并且能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)值計(jì)算能力和知識應(yīng)用能力，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)專業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)。 當(dāng)然,線性代數(shù)的整個(gè)理論體系,并不因引入Matlab 軟件而有所改變,只是有些理論可以通過計(jì)算機(jī)來驗(yàn)證,也可以簡化計(jì)算，還可以把應(yīng)用問題納入課程的習(xí)題中,加強(qiáng)它的工程背景。 線性代數(shù)與解析幾何教學(xué)的改革，需要我們教師轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)觀念,樹立新的教學(xué)理念,從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力及理論與實(shí)踐相結(jié)合的能力的教學(xué)目標(biāo)。

［1］凌智，張波.Matlab 在工科線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2008（29）：247.

［2］趙禮峰，李雷，等.線性代數(shù)與解析幾何[M].北京：科學(xué)出版社，2012.

［3］姚斌，楊玲香.MATLAB 在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用探討[J].計(jì)算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)，2010（14）：205.