低溫制冷機用柔性板彈簧優(yōu)化參數(shù)及型線分析

甘智華 汪偉偉 王龍一 陶 軒 劉碧強

(浙江大學(xué)制冷與低溫研究所 杭州 310027)

1 引 言

相比其它軸承支撐技術(shù)，柔性板彈簧(flexure bearing，亦可譯為flexure spring，簡稱板彈簧)具有較大的徑軸向剛度比與理論上的長壽命，是空間機械式低溫制冷技術(shù)高效可靠、長壽命運行的關(guān)鍵［1］。其較大的徑向剛度用于支撐動子部件，在無活塞環(huán)的情況下，保證活塞與氣缸之間的狹小間隙(微米級)以實現(xiàn)動態(tài)密封及活塞與氣缸之間的非接觸往復(fù)運動;較小的軸向剛度保證活塞在軸向有限位移下幾乎無限次的自由往復(fù)運動，因此板彈簧具有軸承和彈簧的雙重作用以及潛在的長壽命［2］。早期的板彈簧曾應(yīng)用于紫外線傳感器快門系統(tǒng)［3］和人工心臟［4］，直到1981年，牛津大學(xué)的Davey第一次將板彈簧應(yīng)用于低溫制冷機，使得制冷機的間隙密封和無油潤滑技術(shù)成為可能，迅速成為空間長壽命機械式低溫制冷機的首選技術(shù)［5］。此后，板彈簧在低溫制冷機領(lǐng)域獲得了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。

目前應(yīng)用的板彈簧主要有3種形式，即渦旋臂、直線臂和Corey型板彈簧，如圖1所示。渦旋臂板彈簧(圖1a)是應(yīng)用最早的一種板彈簧［6］，后來又有了直線臂板彈簧［7］(圖1b)和美國 Chart(前 Qdrive)公司特有的Corey型板彈簧［8］(圖1c)。其中渦旋臂板彈簧的應(yīng)用最廣，一些著名的低溫制冷機生產(chǎn)商如Sunpower［9］、Thales［10］、Ricor［11］等都采用這種形式的板彈簧。

圖1 3種不同類型的板彈簧Fig.1 Three different kinds of flexure springs

渦旋線的構(gòu)造關(guān)系到板彈簧的徑軸向剛度及應(yīng)力分布，是保證板彈簧長壽命運行的重要研究內(nèi)容。構(gòu)造板彈簧型線的方法有很多。1992年，Wong等利用曲線擬合的方法來構(gòu)造渦旋線［12］。1994年，Haruyama等利用阿基米德螺旋線來構(gòu)造渦旋線，并將得到的板彈簧與牛津大學(xué)的板彈簧進行對比分析，得到了相似的板彈簧性能［13］。2007年，Al-Otaibi等也利用阿基米德螺旋線來構(gòu)造渦旋線，通過有限元方法對板彈簧進行剛度和應(yīng)力計算，并優(yōu)化了最大應(yīng)力分布［2］。2006年，陳楠等提出利用圓漸開線對渦旋線進行構(gòu)造，并給出了該型線板彈簧剛度和自振頻率的理論計算公式［14］。陳曦等在2011年又提出了利用費馬曲線來構(gòu)造渦旋線，并從理論計算、有限元和實驗上進行對比分析［15］。

本文提出同時以“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”為板彈簧的優(yōu)化參數(shù)，針對應(yīng)用最廣泛的渦旋臂板彈簧，研究了阿基米德、曲線擬合以及圓漸開線3種不同型線的特性，對偏心型與同心型板彈簧進行了比較，通過實驗進一步證明了有限元方法的可靠性。

2 板彈簧的性能參數(shù)與優(yōu)化參數(shù)

2.1 性能參數(shù)

在板彈簧的設(shè)計過程中，應(yīng)特別關(guān)注板彈簧的4個性能參數(shù)，即軸向剛度、徑向剛度、最大應(yīng)力及自振頻率。

2.1.1 軸向剛度(kz)

較小的軸向剛度用于實現(xiàn)活塞的往復(fù)運動以及系統(tǒng)的共振運行。

2.1.2 徑向剛度(kr)

較大的徑向剛度保證低溫制冷機活塞和氣缸之間微米級的間隙密封和無油潤滑，降低活塞和氣缸之間發(fā)生接觸摩擦的風(fēng)險。

2.1.3 最大應(yīng)力(σmax)

由于活塞的往復(fù)運動，板彈簧將受到交變的應(yīng)力作用，較大的應(yīng)力會導(dǎo)致板彈簧破裂損壞，降低制冷機的使用壽命。因此板彈簧應(yīng)具有較小的應(yīng)力分布，其最大應(yīng)力應(yīng)低于板彈簧材料疲勞強度的60%。

2.1.4 自振頻率(f)

為了防止板彈簧發(fā)生自振斷裂，低溫制冷機的運行頻率應(yīng)避開板彈簧的自振頻率，從而提高板彈簧的使用壽命。

2.2 優(yōu)化參數(shù)

板彈簧在設(shè)計過程中需要優(yōu)化，即在滿足軸向剛度的前提下，應(yīng)盡量提高板彈簧的徑向剛度，減小應(yīng)力分布。單純比較軸向剛度、徑向剛度以及最大應(yīng)力分布往往不能準確的判斷板彈簧的設(shè)計好壞，因此，本文提出同時考慮“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”為板彈簧的優(yōu)化參數(shù)。

2.2.1 徑軸向剛度比(K)

即徑向剛度與軸向剛度之比，如式(1)所示。K越大，表示在相同軸向剛度的前提下，具有更大的徑向剛度，因此可以更好的支撐動子部件，保證間隙密封和無油潤滑。

2.2.2 最大應(yīng)力與軸向剛度比(S)

即板彈簧最大應(yīng)力與軸向剛度之比，如式(2)所示。S越小，表示在滿足相同軸向剛度及軸向位移時，具有較小的應(yīng)力分布，這有利于提高板彈簧的使用壽命。

對于基本幾何尺寸相同的板彈簧，最大應(yīng)力分布與其軸向剛度有關(guān)，一般軸向剛度越大，相同位移處的應(yīng)力也越大;同時板彈簧的軸向剛度一般不隨位移變化，是板彈簧的固有屬性，而徑向剛度隨位移的增大而減小，最大應(yīng)力隨位移的增大而增大;因此提出以“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”作為板彈簧的優(yōu)化參數(shù)更具合理性。為了更好地說明這兩個優(yōu)化參數(shù)，下面分別使用兩種比較方法，對不同形式的板彈簧進行性能分析。

2.2.3 單純比較 kz、kr以及 σmax

兩種板彈簧的徑軸向剛度以及最大應(yīng)力分布如圖2和圖3所示。從圖中可以看出，板彈簧1的徑軸向剛度和最大應(yīng)力都小于板彈簧2，即板彈簧2的徑向剛度優(yōu)于板彈簧1，而板彈簧1的最大應(yīng)力分布卻優(yōu)于板彈簧2，這就很難對板彈簧的性能優(yōu)劣做出準確的判斷。

圖2 兩種板彈簧的徑軸向剛度Fig.2 Axial and radial stiffness of two flexure springs

2.2.4 綜合比較K和S

當采用新的優(yōu)化參數(shù)后，得到兩種板彈簧的“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”如圖4和圖5所示。從圖中可以清晰的看出，板彈簧2具有較大的K與較小的S，較大的K值可以有效的保證低溫制冷機的間隙密封和無油潤滑，較小的S值可以降低板彈簧疲勞失效的風(fēng)險，延長其使用壽命。因此板彈簧2的設(shè)計較優(yōu)。

圖3 兩種板彈簧的最大應(yīng)力分布Fig.3 Maximal stress distribution of two flexure springs

圖4 兩種板彈簧的徑軸向剛度比Fig.4 K of two flexure springs

圖5 兩種板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比Fig.5 S of two flexure springs

通過對比以上兩種方法可以得出，同時考慮“徑軸向剛度比”及“最大應(yīng)力與軸向剛度比”作為板彈簧的優(yōu)化設(shè)計參數(shù)更具合理性，因此本文以下工作都基于上述兩個優(yōu)化參數(shù)進行展開。

3 渦旋線研究

3.1 渦旋臂板彈簧型線方程

渦旋臂板彈簧是應(yīng)用最廣泛的一種板彈簧，其型線設(shè)計也一直是板彈簧研究的重點。本文在總結(jié)國內(nèi)外渦旋線的基礎(chǔ)上，設(shè)計和研究了3種不同型線的渦旋臂板彈簧，下面給出3種型線的設(shè)計方程式。

3.1.1 圓漸開線型渦旋線［15］

圓漸開線型渦旋線由陳楠提出，目前在國內(nèi)應(yīng)用較多，其型線方程如式(3)。

式中:R為基圓半徑，α為漸開線展角。

3.1.2 阿基米德型渦旋線［14］

阿基米德螺旋線是應(yīng)用很廣的一種構(gòu)造渦旋線的方法，其極坐標方程和直角坐標方程分別如式(4)和式(5)所示。

式中:r為渦旋線極徑，θ為極角，a為θ=0時的極徑，b為極角系數(shù)。

3.1.3 曲線擬合型渦旋線［12］

板彈簧的渦旋線也可以通過曲線擬合的方法得到，如式(6)。

式中:λ = β/βmax，f(λ)=c1λ +c2λ3+c3λ5+c4λ7，ri為渦旋線內(nèi)半徑，ro為渦旋線外半徑，β為渦旋角，βmax為最大渦旋角，c1、c2、c3、c4、n 為待定系數(shù)。根據(jù)定義，有邊界條件:

定義拐點，令:

式中:si為內(nèi)圓斜率截距，so為外圓斜率截距。為得到合適的板彈簧，需限制一些系數(shù)的大小，令:0.4≤m≤0.6，1≤n≤1.25，0.8≤si，so≤1.2。

3.2 不同型線板彈簧性能分析

針對3種不同的渦旋線，分別設(shè)計出兩組不同形式的渦旋臂板彈簧，即三臂同心型板彈簧和六臂同心型板彈簧，如圖6所示。利用Ansys有限元計算軟件，對比分析了兩組板彈簧的K值以及S值。為真實的比較不同型線的板彈簧性能，設(shè)定每組板彈簧的基本尺寸一致，渦旋線的起始點相同，并盡量保證型線輪廓一致。其中，每組板彈簧的基本尺寸如表1所示。

圖6 不同形式的同心型板彈簧Fig.6 Different types of concentric flexure springs

表1 兩組同心型板彈簧的基本尺寸Table 1 Basic dimensions of two concentric flexure springs

通過給板彈簧施加軸向載荷以及特定位移處的徑向載荷，可以分別計算出板彈簧的軸向剛度以及不同位移處的徑向剛度，得到兩組板彈簧的徑軸向剛度比如圖7所示。從圖中可以看出，圓漸開線型板彈簧的徑軸向剛度比最大，阿基米德型次之，曲線擬合型最小。同時也可以看出，板彈簧的徑向剛度隨動子位移的增大而減小，這一點在低溫制冷機的設(shè)計中要特別考慮。為保證間隙密封的可靠性，徑向剛度要取活塞最大位移處的值，即最小的徑向剛度。

對于最大應(yīng)力的計算，應(yīng)考慮板彈簧的實際受力狀態(tài)。由于板彈簧始終要支撐動子部件，故徑向要承受一定的載荷;而軸向隨動子運動，具有一定的位移。因此給板彈簧施加1 N的徑向力以模擬動子的重力作用，再施加一定軸向位移載荷，從而得到板彈簧的最大應(yīng)力分布;其最大應(yīng)力與軸向剛度比如圖8所示。從圖中可以看出，3種不同渦旋型線板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比非常接近，同時也可以看出，板彈簧的最大應(yīng)力幾乎隨位移線性增加。

通過以上比較分析，可以得到:圓漸開線型板彈簧型線設(shè)計較為簡單，具有較高的徑軸向剛度比;阿基米德型設(shè)計簡單，具有適中的徑軸向剛度比;曲線擬合型設(shè)計復(fù)雜，具有較低的徑軸向剛度比;因此圓漸開線和阿基米德螺旋線都可以作為渦旋板彈簧的型線設(shè)計之用，且圓漸開線較優(yōu);這是由于采用圓漸開線可以得到均勻分布的渦旋槽寬度，而另外兩種渦旋線的渦旋槽寬度具有不均勻分布的特性。

圖7 不同渦旋型線板彈簧的徑軸向剛度比Fig.7 K of different spiral-line flexure springs

圖8 不同渦旋型線板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比Fig.8 S of different spiral-line flexure springs

4 偏心型板彈簧研究

偏心型板彈簧與同心型板彈簧相比，具有較小的軸向剛度，因此在相同軸向剛度時，偏心型板彈簧具有較大的厚度，即具有較高的徑向剛度，這樣就能更好的保證低溫制冷機的間隙密封和無油潤滑，降低活塞氣缸發(fā)生摩擦碰撞的風(fēng)險。根據(jù)圖6中兩組板彈簧，分別作偏心處理，得到兩組偏心型板彈簧如圖9所示，其中每組板彈簧的偏心率相同。

圖9 不同形式的偏心型板彈簧Fig.9 Different types of eccentric flexure springs

利用有限元方法，計算得到同心型和偏心型板彈簧的徑軸向剛度比如圖10所示。從圖中可以看出，偏心型板彈簧的徑軸向剛度比要遠遠大于同心型板彈簧，在最大位移處，三臂偏心板彈簧要高出40%以上，六臂偏心板彈簧要高出210%以上;同時也可得到，偏心型板彈簧徑向剛度隨軸向位移的變化要平緩一些，這有利于低溫制冷機的穩(wěn)定運行。

同心型與偏心型板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比如圖11所示。從圖中可以看出，偏心型板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比要略小于同心型板彈簧，且對于不同形式的板彈簧，其最大應(yīng)力與軸向剛度比與位移都具有較好的線性關(guān)系。

5 板彈簧實驗研究

為了驗證有限元計算方法的準確性，針對4片完全相同的柔性板彈簧，利用Zwick電子試驗機分別進行了軸向剛度的測量，其中力載荷與位移關(guān)系曲線如圖12所示。然后將4片板彈簧組裝在一起，測得板彈簧組件的軸向剛度值如表2所示。從表中可以看出，板彈簧的實驗測量值稍低于有限元計算值，但非常接近，4個試樣的平均誤差為11.6%，從而證明了有限元方法的可靠性。同時可以看出，板彈簧組件的整體軸向剛度并不是4片板彈簧軸向剛度的簡單疊加，需要獨立測量，這一點在設(shè)計中需要特別注意。因為板彈簧組件的整體剛度直接關(guān)系到線性壓縮機的共振頻率，而線性壓縮機只有工作在共振狀態(tài)，才具有最高效率。

圖10 同心型和偏心型板彈簧的徑軸向剛度比Fig.10 K of concentric and eccentric flexure springs

圖11 同心與偏心型板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比Fig.11 S of two concentric and eccentric flexure springs

圖12 板彈簧的剛度曲線Fig.12 Axial stiffness of flexure springs

表2 板彈簧試樣及組件軸向剛度值Table 2 Axial stiffness of flexure spring samples and assembly

6 結(jié)論

(1)提出同時考慮“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”為板彈簧的優(yōu)化設(shè)計參數(shù)，利用這兩個參數(shù)，可以更加精確的指導(dǎo)板彈簧的優(yōu)化設(shè)計工作。

(2)圓漸開線和阿基米德螺旋線適用于渦旋線的構(gòu)造，且圓漸開線較優(yōu)。

(3)偏心型板彈簧具有較大的徑軸向剛度比與較優(yōu)的應(yīng)力分布，且徑向剛度隨位移的變化平緩，有利于低溫制冷機的穩(wěn)定運行。

(4)實驗結(jié)果證明了有限元方法的可靠性，且板彈簧組件的整體剛度并不是每片板彈簧軸向剛度的簡單疊加。

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