衛(wèi)星通信中一種改進的變步長LMS 均衡算法研究

魏 武，左天虎，劉期烈，黃 巍，李 云

(1.國家移動衛(wèi)星通信工程技術(shù)研究中心，南京 210000;2.重慶郵電大學(xué)移動通信技術(shù)重點實驗室，重慶 400065)

0 引言

作為當(dāng)今通信領(lǐng)域的三大信息傳輸手段之一，衛(wèi)星通信無疑是目前比較理想的一種用于實現(xiàn)長途通信的方式，在政治、經(jīng)濟和軍事等諸多領(lǐng)域都有越來越廣泛的應(yīng)用，是現(xiàn)代通信系統(tǒng)的重要組成部分。在遠距離傳輸?shù)倪^程中，由于衛(wèi)星系統(tǒng)中的非線性元器件和無線傳輸信道環(huán)境的影響，衛(wèi)星通信過程容易產(chǎn)生非常嚴(yán)重的非線性失真。因此，對衛(wèi)星通信過程中的碼間干擾實現(xiàn)均衡是衛(wèi)星通信過程中的關(guān)鍵技術(shù)之一，使用均衡器是當(dāng)前一種普遍應(yīng)用且非常重要的方法。由于無線信道的未知性和時變性等因素，衛(wèi)星通信系統(tǒng)要求均衡器對信道特性的變化要能夠隨時地調(diào)整自身的抽頭權(quán)系數(shù)，以適應(yīng)信道特性的變化，所以，對衛(wèi)星通信自適應(yīng)均衡算法的研究成為實現(xiàn)這類自適應(yīng)均衡器的關(guān)鍵。

自適應(yīng)均衡技術(shù)的核心是均衡算法，主要包括最小均方誤差(leastmean square，LMS)算法和遞歸最小二乘(recursive least squares，RLS)算法兩大類。在 20 世紀(jì) 60年代，Windrow 和 Hoff［1－2］提出了基于LMS準(zhǔn)則的LMS算法，由于這種算法具有計算量小、穩(wěn)定性強、易于實現(xiàn)等優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)均衡、智能天線通信、聲吶、雷達、系統(tǒng)辨識等諸多領(lǐng)域，但定步長 LMS(fixed step size LMS，F(xiàn)SS－LMS)算法不可能同時滿足收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能。為了克服定步長LMS算法的這一缺陷，很多改進的LMS算法被提出，其中，大多數(shù)是變步長的 LMS(variable stepsize LMS，VSS－LMS)算法。這些算法基本都遵循以下原則:在算法的初始階段或者是未知通信系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化時，取較大步長值，以得到較快的收斂速度和自動跟蹤能力;在算法接近收斂穩(wěn)定的時候，取較小的步長值，以取得較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)誤差。這些算法的區(qū)別在于使用不同的機制來改變步長值［3－11］。比如:文獻［3］提出一種自動增益控制算法，文獻［4］利用算法迭代產(chǎn)生的平方誤差來構(gòu)建步長迭代表達式，文獻［5］引入了多個參數(shù)共同控制步長變化的方法，文獻［6］通過估計平方誤差來控制步長變化的大小，文獻［7］研究了變步長LMS算法的穩(wěn)定性問題，文獻［8－9］根據(jù)步長的變化原則，構(gòu)建了新的步長非線性表達式，文獻［10］提出的基于 Sigmoid函數(shù)的變步長 LMS(sigmoid variable step－size LMS，SVSLMS)算法，可以提高收斂速度，但算法的步長函數(shù)表達式較復(fù)雜，且穩(wěn)態(tài)時步長值變化較大，所以，穩(wěn)態(tài)誤差較大。針對Sigmoid函數(shù)在算法穩(wěn)態(tài)時的微小誤差仍產(chǎn)生較大步長的情況，文獻［11］對該算法進行了改進，提出了改進算法(G－SVSLMS算法)，但該算法仍然是基于Sigmoid函數(shù)，需要進行指數(shù)運算，復(fù)雜度大。文獻［12］提出的基于箕舌線的變步長LMS算法，收斂速度快，接近穩(wěn)態(tài)時步長曲線平滑，穩(wěn)態(tài)誤差較小。SVSLMS，G－SVSLMS和箕舌線LMS算法均是通過誤差或者誤差功率來調(diào)整步長值，這就會導(dǎo)致算法本身對噪聲非常敏感。而評價一個算法好壞的因素主要有收斂速度、收斂時候的穩(wěn)態(tài)誤差、對時變系統(tǒng)的跟蹤能力、抗噪聲能力以及算法的復(fù)雜度。

本文提出一種改進的變步長算法，引入一個遞減的等比序列來表示步長的初始值，以此來替代傳統(tǒng)的固定的值，從而得到初始時候的較大步長值和接近收斂時候的微小步長值，使算法在較低的信噪比環(huán)境下也能實現(xiàn)較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。本文算法在穩(wěn)態(tài)環(huán)境下?lián)碛休^快的收斂速度和相對較小的穩(wěn)態(tài)誤差，同時具有較好的抗噪聲性能。應(yīng)用到衛(wèi)星通信系統(tǒng)中，能有效改善系統(tǒng)的誤碼性能。

1 傳統(tǒng)LMS算法

1.1 FSS-LMS算法

最速下降法是一種最基本的搜索方法，也是一種遞歸算法，其基本思想是將代價函數(shù)看成是濾波器的權(quán)向量的函數(shù)，通過令代價函數(shù)取得最小值來找到此時的權(quán)向量，也就是此線性濾波器的最優(yōu)解。定步長LMS算法是在最速下降法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新的算法，二者在原理和濾波器結(jié)構(gòu)上都非常相似，在代價函數(shù)上卻存在很大差別。最速下降法使用均方誤差作為目標(biāo)的代價函數(shù)，由于這種方法需要知道輸入信號的自相關(guān)矩陣以及輸入信號和期望信號的互相關(guān)矩陣等先驗信息，所以，每次迭代的梯度向量是很難準(zhǔn)確測量的。于是，LMS算法直接使用瞬時的誤差功率作為均方誤差的估計值，然后，使用遞推迭代的方式，使自適應(yīng)濾波器逐步趨向最佳的維納解，從而大大減少了運算量。

自適應(yīng)濾波器主要由抽頭權(quán)系數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)濾波算法組成，其原理如圖1所示。圖1中，x(n)為n時刻的輸入信號;y(n)為輸出信號;d(n)為期望輸出信號;v(n)為噪聲信號;e(n)是期望輸出信號d(n)和輸出信號y(n)之間的誤差信號估計;而LMS算法則是通過e(n)來調(diào)節(jié)濾波器的抽頭系數(shù)，使濾波器收斂至穩(wěn)態(tài)。

圖1 自適應(yīng)濾波仿真結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Adaptive channel equalization model

(1)－(2)式中:參數(shù)與圖1中的參數(shù)一致。(1)式中輸入信號xT(n)和濾波器抽頭系數(shù)乘積表示濾波器的系統(tǒng)輸出信號。(3)式中:w(n)是濾波器n時刻各抽頭的權(quán)系數(shù);μ是步長因子，是控制算法收斂速度和收斂性能即穩(wěn)態(tài)誤差的參量，其取值為0＜μ ＜1/λmax，λmax是輸入信號 x(n)的自相關(guān)矩陣的最大特征值。這里的步長因子是一個上述取值范圍內(nèi)的一個固定值。考慮到收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差這2個因素，步長值μ的選擇不得不需要折中考慮，無論是取太大或者太小效果都不會理想。最理想的步長因子μ的選擇策略是在算法的初始階段，由于均方誤差較大，步長因子μ應(yīng)該選擇較大值，以獲取更快的收斂速度。隨著濾波器的抽頭系數(shù)越來越接近最佳的維納解，也就是均方誤差已經(jīng)接近零的時候，此時的步長因子μ就應(yīng)該取較小的值，以獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。正是因為需要這樣變化地對步長因子μ取值，變步長算法的思想才被提出。

1.2 VSS-LMS算法

基于以上基本原則，各種變步長LMS算法被提了出來。如:基于Sigmoid函數(shù)的SVS－LMS算法以及在其基礎(chǔ)上提出的改進算法，主要有將步長與e(n)2和e(n)e(n－1)建立非線性關(guān)系;將步長正比于誤差大小或者與瞬時均方誤差建立非線性關(guān)系;還有算法引入了遺忘因子，從而使步長因子和前面的n個誤差值有關(guān)，進而提高了算法的抗噪聲能力。

以上提到的各種算法均具有良好的性能，其中最為經(jīng)典的是基于Sigmoid的SVS－LMS算法和其改進形式的 G－SVSLMS算法。基于 Sigmoid的 SVSLMS算法的步長迭代公式為

(4)式中:β，α都是控制因子，其中，β為控制步長的最大取值，α為控制步長的變化速度。

VSS－LMS該算法的優(yōu)點是具有較快的收斂速度和較強的時變跟蹤能力，但是由于Sigmoid函數(shù)本身在自變量接近零的時候函數(shù)值仍然有較大的變化，不具備緩慢變化的特性，導(dǎo)致了算法收斂后，步長因子μ變化范圍較大、速度較快而存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差。在此算法基礎(chǔ)上提出的G－SVSLMS算法，其步長因子的迭代公式為

G－SVSLMS算法在大大減少了計算量的基礎(chǔ)上，在誤差e(n)接近零的時候具有緩慢變化的特性，克服了SVS－LMS算法在收斂階段步長因子變化仍然較大的缺陷。同時，G－SVSLMS算法還具有較快的收斂速度，但是，由于算法僅僅與當(dāng)前的誤差e(n)有關(guān)，抗噪聲能力不強，主輸入端的噪聲對算法的性能影響較大，在信噪比較低的環(huán)境下，算法的精度易受到影響。

2 改進的變步長LMS算法

本文在上述算法的基礎(chǔ)上，提出了一種改進的變步長LMS算法，其主要思想是引入一個遞減的等比序列，使步長因子在算法初始階段可以取得較大值，以求快速收斂，在穩(wěn)態(tài)階段保持較小的步長值，以取得較小的穩(wěn)態(tài)誤差;同時，引入當(dāng)前時刻的誤差和前一時刻誤差的絕對誤差，一方面可以有利于取得較小均方誤差;另一方面可以增強算法的抗噪聲性能。其步長迭代公式為

(7)式中:α是步長函數(shù)的斜率因子，控制步長函數(shù)圖形的形狀;γ(n)為步長函數(shù)的幅度因子，γ(n)是按照(6)式表示的遞減等比序列逐漸遞減。(6)式中，p表示衰減系數(shù)。在(7)式中引入γ(n)后，由于算法迭代初期迭代次數(shù)有限，衰減系數(shù)p取接近1的正常數(shù)，γ(n)可以保持較大值，同時，由于算法初始階段的誤差值e(n)較大，(7)式等號最右邊括號內(nèi)部的取值會比較大，二者共同作用下，可以使步長因子取得較大值，得到較快的收斂速度。當(dāng)算法接近穩(wěn)態(tài)時，γ(n)的取值也由于迭代次數(shù)的增加而變小，且變化速度也會變得緩慢，而由于此時的誤差e(n)取值變小，所以，(7)式等號最右邊括號內(nèi)部的取值也變小，兩者共同作用下，步長因子可取得較小值，且變化速度較緩慢，有利于取得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖2是 γ(0)分別取值［1，0.8，0.6，0.2］的時候，步長因子μ(n)與誤差e(n)之間的映射關(guān)系圖。由圖2可知，當(dāng)γ(0)的取值越大，步長因子的初始值越大，算法收斂速度越快，在誤差e(n)接近0時的取值變化也較快，反之，γ(0)取值越小，步長因子的初始值越小，算法收斂速度越慢，在誤差e(n)接近0時的取值變化也較慢。

圖2 γ(0)變化，p=0.99，α =1時|e(n)|與 μ(n)的關(guān)系圖Fig.2 μ(n)varieswith|e(n)|，while p=0.99，α =1，γ(0)changes

圖3是 p分別取值［0.99，0.9，0.7，0.5］的時候，步長因子μ(n)與誤差e(n)之間的映射關(guān)系?？梢钥闯?，衰減系數(shù)p取值越大，越有利于取得較大的步長因子，但是當(dāng)誤差e(n)接近0時，步長因子幅度衰減的速度越快，p取值越小，當(dāng)誤差e(n)接近0時，步長因子幅度衰減速度越慢?？梢哉fp是控制曲線取值變化的重要參數(shù)，是步長曲線在誤差e(n)接近0時取得緩慢變化的低步長值的關(guān)鍵。圖4反應(yīng)了α的不同取值對步長函數(shù)形狀的影響，α取值太大時，曲線開口很小，步長斜率太大，在e(n)接近零的時候，步長值仍然較大，且變化很快，這必然造成穩(wěn)態(tài)誤差增大;α取值過小，曲線開口太大，步長較小且變化緩慢，收斂速度減慢，十分不利于快速收斂和快速跟蹤。

圖3 p變化，γ(0)=1，α =1 時|e(n)|與 μ(n)的關(guān)系圖Fig.3 μ(n)varies with|e(n)|，while γ(0)=1，α=1，pchanges

由以上分析可知，本文算法穩(wěn)態(tài)時，步長變化平滑緩慢，克服了前文SVS－LMS算法在e(n)接近零時步長變化太大的缺陷。所以，步長因子的取值和變化由γ(0)，p和α共同確定，如果要獲得較快的收斂速度，則3個參數(shù)都應(yīng)該取較大值;如果要取得較小的穩(wěn)態(tài)誤差，則3個參數(shù)都應(yīng)該取較小值，但是具體的取值情況應(yīng)該根據(jù)實際應(yīng)用環(huán)境來確定最佳的取值。

圖4 α 變化，γ(0)=1，p=0.99時|e(n)|與 μ(n)的關(guān)系圖Fig.4 μ(n)varieswith|e(n)|，while γ(0)=1，p=0.99，α changes

另外，為了加強算法的抗噪聲性能，在誤差向量自相關(guān)運算的基礎(chǔ)上，引入當(dāng)前時刻的誤差和前一時刻誤差的絕對誤差|(|(e(n)|－|e(n－1)|)|來調(diào)節(jié)步長，一方面由于引入前一時刻的誤差而使得步長迭代不僅僅與當(dāng)前的誤差有關(guān)，這就有效減弱了算法容易受噪聲影響，增強了算法的抗噪聲性能;另一方面，用絕對誤差而不是瞬時誤差，利用二者絕對取值的絕對差值會進一步小于此時的瞬時誤差的取值，有利于取得更小的步長值，進而取得更小的穩(wěn)態(tài)誤差。

2.1 抗噪聲性能分析

為了減小計算的復(fù)雜度，算法使用當(dāng)前時刻和前一時刻的誤差乘積e(n)e(n－1)來表示E{e(n)·(e(n)－e(n－1))}，設(shè)自適應(yīng)均衡器的抽頭權(quán)向量的最佳維納解為w0，此時自適應(yīng)均衡器的輸出與期望輸出之間的差值為ξ(n)，則:設(shè)噪聲功率為σ2，則由系統(tǒng)特征可知

比較(14)式和(15)式可知，誤差的自相關(guān)函數(shù)只與輸入信號有關(guān)，而與噪聲無關(guān)。所以，本文算法具有較強的噪聲抑制能力。

2.2 算法復(fù)雜度對比

考察一個算法的好壞，不僅要考察到性能的改善，還需要知道得到這種性能改善后該算法的計算復(fù)雜度如何。以算法總共進行的乘法和加法運算次數(shù)來表示，則LMS算法由于其結(jié)構(gòu)最簡單，所以，復(fù)雜度最低，G－SVSLMS算法和文獻［13］算法一致，與本文算法相當(dāng)，所以，本文算法在提高算法性能的同時，也基本保持了算法原來的復(fù)雜度，達到了算法改進的效果和目的。表1表示上述幾種算法的計算復(fù)雜度。

表1 4種算法的計算復(fù)雜度Tab.1 Computation complexity of the four algorithms

3 仿真及結(jié)果分析

3.1 仿真參數(shù)配置

通過Matlab仿真來比較本文算法和其他算法的性能。仿真條件如下:自適應(yīng)濾波器階數(shù)M=5，不妨將衛(wèi)星通信系統(tǒng)模擬成為FIR濾波器，其系數(shù)權(quán)向量 w=［0.4，0.6，1，0.6，0.4］T，輸入信號 x(n)為零均值、方差為1的高斯隨機信號，噪聲v(n)為零均值，且與x(n)不相關(guān)的高斯白噪聲，信噪比分別取25 dB和8 dB?？偣矊嶒? 000次，每次采樣500個點，學(xué)習(xí)曲線取1 000次實驗的平均結(jié)果。

本文在上述實驗條件下對各種算法進行了大量的仿真，測定了各種算法達最優(yōu)性能時的最佳取值范圍。各種算法的最優(yōu)時刻具體參數(shù)取值如下:FSS－LMS算法的固定步長因子 μ=0. 05;在 G－SVSLMS算法中，α=100，β=0. 05;在文獻［13］算法中，μmax=0.08，α =1 000，β = 150;在本文算法中，p=0.99，γ(0)=0.3，α =50。

3.2 仿真結(jié)果分析

圖5是在 SNR=25 dB時，本文算法與 FSSLMS，G－SVSLMS和文獻［13］中算法的誤差性能和收斂速度比較圖，圖5中，各曲線為1 000次試驗的學(xué)習(xí)曲線平均值。

圖5 本文算法與文獻［13］算法、FSS_LMS，G_SVSLMS算法比較(SNR=25 dB)Fig.5 Performance comparison between our algorithm and other algorithms with SNR=25 dB

由圖5可知，本文算法的收斂速度略快于FSSLMS，G－SVSLMS和文獻［13］中算法，大約在 70次迭代的時候就達到收斂狀態(tài)，能夠達到快速收斂的目的。算法收斂階段的穩(wěn)態(tài)誤差方面，G－SVSLMS算法略低于FSS－LMS算法，達到10－2dB以下，文獻［11］中算法明顯低于上述2種算法，而本文算法明顯低于上述3種算法，穩(wěn)態(tài)誤差最接近10－3dB，能夠滿足較小穩(wěn)態(tài)誤差的要求。

圖6是SNR=8 dB 時，本文算法與FSS－LMS，GSVSLMS和文獻［13］中算法的誤差性能和收斂速度比較圖，圖6中，各曲線為1 000次試驗的學(xué)習(xí)曲線平均值。

圖6 本文算法與文獻［13］算法、FSS_LMS、G_SVSLMS算法比較(SNR=8 dB)Fig.6 Performance comparison between our algorithm and other algorithms with SNR=8 dB

從圖6可知，當(dāng)SNR下降到8 dB時，所有算法的收斂速度基本相同，可以快速收斂。但是穩(wěn)態(tài)誤差均快速增大，均從小于10－2dB上升到大于10－1dB以上。FSS－LMS算法增加最快，G－SVSLMS算法次之，F(xiàn)SS－LMS算法大約在10－0.7dB 和10－0.8dB 之間，G－SVSLMS算法達到 10－0.8dB，而本文算法仍然低于其他幾種算法，可以滿足較小穩(wěn)態(tài)誤差的要求。

綜上所述，本文算法在高信噪比的環(huán)境下，收斂速度略快于其他5種算法，穩(wěn)態(tài)誤差最小，且明顯小于之前的其他算法，在低信噪比的環(huán)境下，收斂速度仍然不比其他幾種算法慢，但是穩(wěn)態(tài)誤差仍然明顯小于其他算法。經(jīng)驗證，本文算法可以有效地抑制隨機噪聲對輸入信號的干擾，在綜合性能上優(yōu)于上文的幾種傳統(tǒng)LMS算法，是一種性能較好的改進變步長LMS算法。

4 本文算法在衛(wèi)星通信系統(tǒng)中的應(yīng)用

衛(wèi)星通信系統(tǒng)的仿真模型如圖7所示。圖7中，x(n)為原始基帶信號;v(n)為等效的噪聲信號;y'(n)為均衡輸出信號;y(n)判決輸出信號;e(n)為判決輸出與均衡輸出信號的誤差值。

圖7 衛(wèi)星通信系統(tǒng)仿真模型Fig.7 Satellite communication simulation model

本文選取某衛(wèi)星通信系統(tǒng)的傳輸系統(tǒng)參數(shù)，原始基帶信號的符號速率為300 M符號/s，衛(wèi)星群時延在2倍奈奎斯特帶寬內(nèi)為6 ns，調(diào)制方式為QPSK，數(shù)據(jù)總量為106個，然后，將本文的新算法應(yīng)用到上述系統(tǒng)的自適應(yīng)均衡器中，仿真得到的誤碼率比較如圖8所示。

由圖8可以看出，原始基帶信號經(jīng)過衛(wèi)星傳輸信道后，產(chǎn)生了嚴(yán)重的碼間干擾，致使經(jīng)系統(tǒng)均衡前的誤碼率非常大，嚴(yán)重影響通信質(zhì)量。經(jīng)過基于本文算法的自適應(yīng)均衡器均衡之后，系統(tǒng)的誤碼率性能明顯得到了較大的改善。有效驗證了本文算法的可行性。

圖8 誤碼率比較圖Fig.8 Comparison of error data

5 結(jié)論

本文通過引入遞減等比序列代替固定常數(shù)和在估計誤差的自相關(guān)的基礎(chǔ)上用絕對誤差代替前一時刻瞬時誤差，二者共同作用，既可以控制步長因子，使其在算法初始階段可以取較大值，收斂速度快，在接近收斂的時候，取較小值，穩(wěn)態(tài)誤差較小，還可以有效地抑制系統(tǒng)噪聲對信號的干擾。仿真結(jié)果顯示，在高信噪比和低信噪比環(huán)境下，本文算法在初始收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和抗噪聲性能等性能指標(biāo)上均優(yōu)于幾種傳統(tǒng)的LMS算法。在衛(wèi)星通信系統(tǒng)中，具有良好的應(yīng)用前景。

［1］WIDROW B，HOFFM E.daptive switching circuits［EB/OL］.［2013－12－10］http://www－isl.stanford.edu/people/widrow/papers/c1960adaptiveswitching.pdf.

［2］WIDROW B，McCOOL JM，LARIMORE M G，et al.Stationary and nonstationary learning chara－cteristics of the LMS adaptive filter［J］.Proceedings of the IEEE，1976，64(8):1151－1162.

［3］SHAN T J，KAILATH T.Adaptive algorithms with an automatic gain control feature［J］.Circuits and Systems，IEEE Transactions on，1988，35(1):122－127.

［4］ABOULNASR T，MAYYASK.A robust variable step size lms type algorithm:Analysis and simulations ［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1997，45(3):631－639.

［5］LIYan，WANG Xinan.A Modified VS LMSAlgorithm.The 9th International Conference on Advanced Communication Technology［EB/OL］.［2013－12－10］http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=＆arnumber=4195210.

［6］KWONG R H，JOHNSTON E W.A variable step size LMSalgorithm［J］.IEEE Trans Signal processing，1992，40(7):1633－1642.

［7］GEL FAND SB，WEIY KROGMEIER JV.The stability of variable step size LMS algorithms［J］.IEEE Trans on Signal Processing，l999，47(l2):3277－3288.

［8］華強，夏哲雷，祝劍英.一種改進的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法及其仿真［J］.中國計量學(xué)院學(xué)報，2012，23(3):304－308.

HUA Qiang ，XIA Zhelei，ZHU Jianying.A Modified variable step size LMS adaptive filtering Algorithm and its simulation ［J］.Journal of China University ofMetrology，2012，23(3):304－308.

［9］楊曉波.一種新的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法及分析［J］.科技視界，2012(21):28－30.

YANG Xiaobo.A New Modified Adaptive LMSFilter Algorithm and anlyze.Science＆ Technology Vision，2012(21):28－30.

［10］覃景繁，歐陽景正.一種新的變步長 LMS自應(yīng)用濾波算法［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，1997，12(3):171－174.

QIN Jingfan，OUYANG Jingzheng.A Novel Variable Step Size LMSAdaptive Filtering Algorithm Based on Sigmoid Function.Journal of Data Acquisition ＆ Processing，1997，12(3):171－174.

［11］高鷹，謝勝利.一種變步長 LMS自適應(yīng)濾波算法及分析［J］.電子學(xué)報，2001，29(8):1094－1097.

GAO Ying，XIE Shengli.A Variable Step Size LMSAdaptive Filtering Algorithm and Its Analysis［J］.ACTA ELECTRONICA SINICA，2001，29(8):1094－1097.

［12］鄧江波，侯新國.一種新的變步長 LMS自適應(yīng)算法及其性能分析［J］.電聲技術(shù)，2004(12):4－6.

DENG Jiangbo，HOU Xinguo.A Novel Variable Step Size Adaptive Filtering LMSAlgorithm and Its Properties Analysis［J］.Elementary Electroa－coustics，2004(12):4－6.

［13］李海濱，韓延光，莊述燕，等.衛(wèi)星高速寬帶數(shù)傳系統(tǒng)的變步長LMS均衡算法研究［J］.宇航學(xué)報，2011，32(6):1423－1427.

LI Haibin，HAN Yanguang，ZHUANG Shuyan，et al.A Modified Variable Step LMSAdaptive Filtering Algorithm for Satellite High－Speed Broadband Digital Transmission System［J］.Journal of Astronautics，2011，32(6):1423－1427.

(編輯:劉 勇)