二階線性系統(tǒng)調(diào)參共振的特征信號檢測＊

冷永剛， 劉 瑜， 賴志慧， 范勝波

（1.天津大學機械工程學院 天津，300072）

（2.天津大學機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室 天津，300072）

引 言

在信號檢測中，某些包含特征信息的微弱信號常常被強干擾噪聲所淹沒。如何從干擾噪聲背景中檢測出微弱的特征信息，一直受到人們的廣泛關(guān)注。已有的一些檢測方法，如FFT譜分析、小波變換等是一種基于函數(shù)的信號處理方法，這些方法在有限采樣數(shù)據(jù)長度的強干擾噪聲條件下不能很好地檢測出微弱特征信息［1-4］，其應(yīng)用受到限制。隨機共振和混沌的檢測方法是一種基于非線性動力系統(tǒng)的非線性信號處理方法，這種非線性檢測方法可對較低信噪比的微弱特征信息有較好的檢測效果［5-7］。隨機共振方法通常需要建立過阻尼的合適的雙穩(wěn)系統(tǒng)［8］，而混沌方法需要預先給定與待檢測信號同頻的驅(qū)動項［9-10］。筆者提出一種基于二階線性動力系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)共振的信號處理方法，該方法利用二階線性系統(tǒng)響應(yīng)的共振特性來檢測噪聲中的微弱特征信息，其檢測原理簡單，為信號檢測與處理提供了一種可行的方法。

1 檢測原理

1.1 檢測模型

以常規(guī)的單自由度二階線性系統(tǒng)為研究對象，其系統(tǒng)模型為

其中：ζ為系統(tǒng)的阻尼比；ωn為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率，以下簡稱固有頻率；s（t）為系統(tǒng)的激勵力。

如果式（1）的激勵是一正弦激勵信號，那么其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與該正弦信號頻率相同的受迫振動響應(yīng)。當激勵頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)響應(yīng)達到最大，即發(fā)生共振［11］。

根據(jù)線性系統(tǒng)響應(yīng)的共振特性，筆者提出一種基于二階線性系統(tǒng)調(diào)參共振的微弱信號檢測方法，其基本原理是：把包含有特征頻率成分和噪聲干擾的待檢測信號當作系統(tǒng)的激勵s（t），而把自由振動方程（1）看作信號處理模型，那么通過人為調(diào)節(jié)系統(tǒng)的固有頻率參數(shù)，使其與待檢測信號中的特征頻率相等，于是系統(tǒng)響應(yīng)達到共振，進而使特征信號進一步突出而克服噪聲，達到檢測特征信號成分的目的。

設(shè)待檢測信號s（t）由單頻正弦信號Asin（ω0t）和高斯白噪聲n（t）組成，則式（1）變?yōu)?/p>

其中：A和ω0分別為正弦信號的幅值和頻率；噪聲，D為噪聲強度；ξ（t）是均值為0、方差為1的高斯白噪聲。

1.2 線性系統(tǒng)的響應(yīng)特性

當激勵力僅是正弦信號，式（2）的解為

其中：n＝ζωn；；α，φ 為相位差。

由式（3）可知，受迫振動由兩部分構(gòu)成：前一部分是圓頻率為ωd的衰減振動；后一部分是圓頻率為ω0的受迫振動。在實際情況中，由于阻尼的存在，衰減振動所產(chǎn)生的暫態(tài)過程經(jīng)過一定的時間之后就消失了，所以主要研究后一部分的穩(wěn)態(tài)過程［11］。穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅可表示為

由式（4）做C－ω0／ωn關(guān)系圖，如圖1所示。圖1的特性是：在過阻尼條件下，振動的衰減快，振幅單調(diào)遞減；在欠阻尼比時，如果系統(tǒng)固有頻率與信號頻率逐漸接近，那么振動的振幅將逐漸增大；當固有頻率與信號頻率相等時系統(tǒng)響應(yīng)達到共振，此時阻尼比對共振峰影響很大，阻尼比減小會引起共振峰值的增大。

圖1 正弦信號激勵下的穩(wěn)態(tài)振幅曲線Fig.1 The steady－state amplitude curve under simulation of sinusoidal signal

若輸入激勵力信號只是強度為D的高斯白噪聲，則模型（2）變?yōu)?/p>

根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，白噪聲經(jīng)過線性系統(tǒng)的幅頻特性可看成是無窮多個不同頻率的正弦信號幅頻特性的疊加。因此不難知道，輸出信號頻譜特征仍然是圖1的形式，只不過圖1橫軸變量不再是頻率比ω0／ωn，而是頻率ω，表示所有噪聲響應(yīng)頻率成分，系統(tǒng)的共振特性始終存在。圖1縱軸響應(yīng)幅值變量C根據(jù)式（4）相應(yīng)變?yōu)?/p>

當二階線性系統(tǒng)同時受到正弦信號Asin（ω0t）和白噪聲的激勵時，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)幅值為

式（7）在欠阻尼條件下，當調(diào)節(jié)系統(tǒng)固有頻率與信號特征頻率相等時系統(tǒng)響應(yīng)達到共振。在信號頻率處，信號引起的系統(tǒng)共振與噪聲引起的系統(tǒng)共振疊加，響應(yīng)幅值可以在信號特征頻率處進一步得到加強，從而可以突出噪聲中的特征信號而達到檢測目的。

1.3 特征信號檢測方法

根據(jù)二階線性系統(tǒng)共振特性，在頻域內(nèi)以變化的系統(tǒng)固有頻率ωn為橫坐標，以每個ωn所對應(yīng)系統(tǒng)輸出信號的最大幅值Cmax為縱坐標作圖，可得Cmax－ωn曲線，如圖2所示。其中：系統(tǒng)阻尼比ζ＝0.2，正弦信號幅值和頻率為A＝0.1和ω0＝10，噪聲強度D＝2，采用四階Runge－Kutta法求解式（2），數(shù)值步長Δt＝0.005，數(shù)據(jù)點數(shù)N＝10 000。Cmaxωn曲線中系統(tǒng)固有頻率的變化步長為Δωn＝0.1。

由圖2（a）可以看出，隨著固有頻率的變化，系統(tǒng)只在正弦信號激勵下的響應(yīng)呈現(xiàn)圖1典型的共振曲線特性。由圖2（b）可以看出，隨著系統(tǒng)固有頻率的增大，系統(tǒng)只在噪聲作用下的響應(yīng)的最大幅值變化是單調(diào)遞減的。當正弦信號與噪聲同時作用于系統(tǒng)時，由線性系統(tǒng)疊加性，其響應(yīng)為兩者響應(yīng)的疊加，響應(yīng)的最大幅值變化如圖2（c）所示。由圖2（c）知，在固有頻率ωn＝ω0＝10處出現(xiàn)一個極大值，依此可以判斷噪聲中微弱信號的存在。

2 仿真分析

對于式（2），取阻尼比ζ＝0.2，正弦信號幅值和頻率分別為A＝0.1和f0＝10Hz，噪聲強度D＝2，數(shù)值步長Δt＝0.005s，數(shù)據(jù)點數(shù)N＝10 000，則系統(tǒng)輸入信噪比為－29.06dB，此處輸入信號的信噪比定義為：在數(shù)值分析長度固定條件下，待測正弦信號的總功率與噪聲信號的總功率之比。系統(tǒng)輸入信號的頻譜如圖3所示，在f0＝10Hz處看不到正弦信號特征的存在。當固有頻率fn取包含信號頻率f0＝10Hz在內(nèi)的范圍值變化時，如fn＝5，8，10，15 Hz時，系統(tǒng)輸出信號的頻譜變化情況如圖4所示。

由圖4可以看出，當系統(tǒng)固有頻率由小增大時，系統(tǒng)響應(yīng)頻域的最大幅值會逐漸減小，不宜判斷噪聲中的微弱特征正弦信號。但是通過系統(tǒng)輸出信號的最大幅值Cmax與固有頻率fn關(guān)系曲線，如圖5Cmax－fn曲線，可以在fn＝10Hz處得到一個極大值，從而可以檢測到微弱的特征正弦信號頻率。

圖2 二階線性系統(tǒng)的正弦、噪聲及其疊加響應(yīng)Fig.2 Response of the second order linear system with the input of sinusoidal，noise and both of them

圖3 輸入信號頻譜圖Fig.3 Spectrum of input signal

圖4 不同固有頻率下輸出信號的頻譜圖Fig.4 Spectrum of output signals with different inherent frequencies

圖5 系統(tǒng)響應(yīng)Cmax－fn關(guān)系曲線Fig.5 The system response curve between Cmaxand fn

3 系統(tǒng)阻尼比參數(shù)的調(diào)節(jié)

在式（1）線性系統(tǒng)響應(yīng)的共振點處，阻尼比參數(shù)ζ的影響很大，進而對特征信號的檢測結(jié)果也會產(chǎn)生很大影響。根據(jù)ζ的取值不同，線性系統(tǒng)可分為過阻尼系統(tǒng)（ζ＞1）、臨界阻尼系統(tǒng)（ζ＝1）和欠阻尼系統(tǒng)（ζ＜1）。對于過阻尼系統(tǒng)和臨界阻尼系統(tǒng)，由于其幅頻特性曲線是單調(diào)遞減的，所以筆者提出的檢測方法不適用于過阻尼和臨界阻尼情況，只適用于能夠產(chǎn)生共振的、非單調(diào)頻響的欠阻尼情況。

針對欠阻尼情況，從系統(tǒng)響應(yīng)幅值式（4）可知，在共振點處，阻尼比ζ越小響應(yīng)幅值越大。例如，仍取圖4參數(shù)：A＝0.1，f0＝10Hz，D＝2，計算步長Δt＝0.005s，數(shù)據(jù)點數(shù)N＝10 000，取固有頻率fn的變化步長Δfn＝0.1Hz（為了準確檢測特征信號頻率，系統(tǒng)固有頻率fn的變化步長應(yīng)小于頻率分辨率1／N＊Δt）。當阻尼比ζ 分別為0.4，0.3，0.2，0.1，0.01，0.001時，得到如圖6的Cmax－fn曲線結(jié)果。在欠阻尼情況下，ζ＞0.4時曲線單調(diào)遞減變化，不宜用于檢測微弱特征信號。當0.4＞ζ＞0.1時，可以在Cmax－fn曲線上找到極大值點，從而能夠檢測到微弱特征信號。當0.1＞ζ后，Cmax－fn曲線上會出現(xiàn)不止一個極大值，檢測效果容易受到干擾。因此，當阻尼比過小時，噪聲的波動影響會同時增大，也不宜用于檢測微弱的特征信號?？傊?，由于在仿真分析中，所給的信號和采樣條件都是很理想的，所以阻尼比取在0.1～0.4之間檢測效果最好；而實際故障的信號比較復雜，且在采樣點數(shù)過少、分辨力低的情況下，特征頻率處的極值極易丟失，則需要考慮采用阻尼比小于0.1的系統(tǒng)進行檢測，使特征頻率處的振幅更突出。

4 應(yīng) 用

某軍工轉(zhuǎn)子設(shè)備以375r／min（或6.25Hz）的轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)，該轉(zhuǎn)子端部是一個六角軸端且罩有一圓形套筒密封。正常情況下，轉(zhuǎn)子六角軸端與套筒內(nèi)壁有一定間隙。如果轉(zhuǎn)子存在諸如不平衡或不對中等故障，那么轉(zhuǎn)子六角軸端有可能與套筒內(nèi)壁接觸碰撞。為監(jiān)測轉(zhuǎn)子設(shè)備的運行情況，在套筒端面安裝有加速度傳感器，加速度計的監(jiān)測信號由數(shù)據(jù)采集設(shè)備進行實時記錄。某次監(jiān)測結(jié)果如圖7所示，其中，采樣頻率為10kHz，采樣點數(shù)為2 000點。

由圖7頻譜圖可以看出，在37.5Hz及其倍頻75Hz處存在明顯的特征頻率成分，37.5Hz頻率成分不是轉(zhuǎn)子的工頻，而是轉(zhuǎn)子工頻的6倍頻。這個37.5Hz頻率成分是由其他干擾引起，還是由于轉(zhuǎn)子本身存在故障引起需要做進一步分析。

利用筆者提出的二階線性系統(tǒng)調(diào)參共振檢測方法，在采樣頻率為10kHz、采樣點數(shù)為2 000點的條件下，由于采樣點數(shù)少，頻率分辨力低，特征頻率處的極值易丟失，故而需采用較小的阻尼比來進行檢測。由圖1可知，小阻尼條件下特征頻率處的振幅更突出，以排除噪聲的干擾。取系統(tǒng)參數(shù)阻尼比ζ＝0.001，系統(tǒng)固有頻率變化步長Δfn＝0.1Hz，得到Cmax－fn極大值檢測曲線結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯觯l譜特征是由轉(zhuǎn)頻6.25Hz及其2倍頻、3倍頻等高倍頻諧波成分組成。該組諧波成分表明，轉(zhuǎn)子可能存在不平衡或不對中等故障，這種故障可能導致轉(zhuǎn)子軸端與套筒內(nèi)壁發(fā)生碰摩，使得轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)子軸端的6個角與套筒內(nèi)壁發(fā)生6次碰撞，于是在頻譜圖上產(chǎn)生37.5Hz的大振幅。由于轉(zhuǎn)子本身的不平衡或不對中故障特征較弱，因此從圖7的頻譜中不容易識別。隨后的拆機檢查證實了這一診斷結(jié)論。由此可見，線性系統(tǒng)調(diào)參共振的方法可以處理工程中的故障信號，有效提取噪聲干擾中的微弱特征信號。

圖6 不同阻尼比的系統(tǒng)響應(yīng)Cmax－fn關(guān)系曲線Fig.6 The system response curves between Cmaxand fnwith different damping ratio

圖7 轉(zhuǎn)子軸端振動的時域波形和頻譜圖Fig.7 Waveform and spectrum of the vibration signal upon the rotor spindle

圖8 線性系統(tǒng)檢測結(jié)果圖Fig.8 Detection result of the linear system

5 結(jié)束語

筆者針對微弱正弦信號的檢測提出了一種基于二階線性系統(tǒng)調(diào)參共振的檢測方法，該方法利用粘滯阻尼二階線性系統(tǒng)的共振特性，通過改變系統(tǒng)的無阻尼固有頻率，得到系統(tǒng)響應(yīng)最大值隨固有頻率變化曲線，此曲線中的極大值點就是微弱正弦信號的特征頻率。仿真和轉(zhuǎn)子故障診斷實驗表明，筆者提出的方法原理簡單，能為實際信號檢測與處理提供一種可行的方法。

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