Duffing振子與響應(yīng)靈敏度結(jié)合的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法＊

劉 鎏， 閆云聚， 常曉通， 襲著有，2

（1.西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院 西安，710072） （2.遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 錦州，121000）

引 言

混沌系統(tǒng)用于強噪聲背景下的弱信號檢測已成為當(dāng)今科學(xué)研究的一大熱點，近年來混沌理論已被廣泛應(yīng)用于各類分析信號的處理，取得了較好的效果。Hu等［1］將Duffing振子用于旋轉(zhuǎn)機械故障檢測，成功識別出了強噪聲背景下的轉(zhuǎn)子碰摩故障信息。Wu等［2］將Duffing振子應(yīng)用于分析化學(xué)方面的研究，實現(xiàn)了強噪聲背景下對于X－射線衍射和拉曼光譜微弱信號的提取。Li等［3］針對嚙合頻率組件對檢測振蕩器的影響提出了基于Duffing振子的逆向方法進行機械故障診斷。賴志慧等［4］提出的基于Duffing振子的變尺度微弱特征信號檢測方法通過一組固定的參數(shù)實現(xiàn)了任意頻率、任意相位特征信號的檢測?，F(xiàn)有的關(guān)于混沌理論信號檢測的研究并未涉及到實際的工程結(jié)構(gòu)損傷檢測，因為還存在一個損傷精確定位的問題，如何從噪聲環(huán)境下提取出信號信息到實現(xiàn)損傷的精確定位是當(dāng)前面臨的主要問題。

筆者將混沌理論用于強噪聲背景下工程結(jié)構(gòu)損傷檢測，提出了基于Duffing振子與響應(yīng)靈敏度結(jié)合的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法，系統(tǒng)闡述了Holmes型Duffing方程的混沌特性用于強噪聲背景下弱信號檢測的機理。首先，引入時域響應(yīng)靈敏度的概念并建立了三自由度橋梁結(jié)構(gòu)模型的有限元動力學(xué)方程，利用直接積分法計算結(jié)構(gòu)在外激勵下的動態(tài)響應(yīng)并附加強噪聲干擾；然后，將混合信號輸入至特定的Holmes型Duffing系統(tǒng)對特征信號進行細化處理；最后，將結(jié)構(gòu)的局部損傷模擬為單元彈性模量的減少，求得響應(yīng)信息對單元彈性模量的靈敏度，以此來對結(jié)構(gòu)單元抗拉剛度進行修正，從而實現(xiàn)強背景噪聲環(huán)境下結(jié)構(gòu)的損傷定位問題。

1 Holmes型Duffing振子的混沌檢測特性

含噪情況下Holmes型Duffing振子系統(tǒng)具有以下表達形式

其中：V（x）為Duffing系統(tǒng)的勢函數(shù)；η為阻尼因子；f（t）＝Acost，表示外場周期驅(qū)動力；s（t）為待測信號；n（t）表示均值為0、方差為1的高斯白噪聲。

式（1）表示存在噪聲和激勵情況下雙穩(wěn)勢阱中布朗粒子的過阻尼運動。對于常見的雙穩(wěn)系統(tǒng)，其對應(yīng)的勢函數(shù)為

其中：a和b均為正常數(shù)，一般取a＝b＝1。

式（1）與式（2）綜合后有

當(dāng)外界對于系統(tǒng)的輸入為0時，勢函數(shù)有兩個相同的勢阱，阱底位于±xm，xm＝（a／b）（1／2），勢壘高度ΔV＝a2／（4b），布朗粒子將停留在兩勢阱中的任意一個，此時系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。圖1表示系統(tǒng)輸入為0時勢函數(shù)V（x）和x的關(guān)系。

圖1 雙勢阱系統(tǒng)勢圖Fig.1 Double－well potential diagram system

當(dāng)外界對于系統(tǒng)的輸入不為0時，整個系統(tǒng)的平衡會被打破，勢阱會在x的驅(qū)動下發(fā)生傾斜，即勢阱高度會相應(yīng)地升高或降低。當(dāng)輸入達到適當(dāng)值時，勢壘高度ΔV就會達到最小值，同時弱信號在噪聲的幫助下很容易在兩穩(wěn)定點間轉(zhuǎn)換位置，從而系統(tǒng)由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)換為大尺度周期狀態(tài)，這時，從噪聲背景下檢測弱信號就變得可能。

形象地說，混沌系統(tǒng)的特點在于系統(tǒng)參數(shù)的微小擾動會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變，這種狀態(tài)改變的同時伴隨著系統(tǒng)對于噪聲背景的強免疫力。因此，Duffing系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換由各參數(shù)條件共同決定，這些參數(shù)包括阻尼因子η、外加周期驅(qū)動信號的頻率ω及幅值A(chǔ)、所選算法及初值。以往研究表明，混沌系統(tǒng)由混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)換時存在一個系統(tǒng)臨界幅值A(chǔ)c，只有當(dāng)系統(tǒng)外加周期驅(qū)動幅值達到臨界值時混沌系統(tǒng)才能由混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)換。例如，在式（3）中取定參數(shù)η＝0.5，初值x（0）＝x＇（0）＝0，s（t）＝0.01sint，采用四階Runge－Kutta算法進行計算。無外在噪聲干擾下，當(dāng)驅(qū)動幅值A(chǔ)＝0.825時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，如圖2（a）所示；當(dāng)A＝0.826時，系統(tǒng)處于大尺度周期狀態(tài)，如圖2（b）所示；保持其他參數(shù)不變，取A＝0.826，考慮噪聲強度為0.05的高斯白噪聲n（t），系統(tǒng)仍處于大尺度周期狀態(tài)，如圖2（c）所示。

由此可見，當(dāng)選定以上參數(shù)時，系統(tǒng)的臨界幅值A(chǔ)c＝0.826，此時無論存在噪聲與否，都能從相軌跡圖中識別出待測信號s（t），這就是基于Holmes型Duffing振子的混沌檢測機理。

圖2 相軌跡圖Fig.2 Phase trajectories

2 基于響應(yīng)靈敏度的結(jié)構(gòu)損傷檢測法

靈敏度分析法就是利用測量參數(shù)（響應(yīng)）對結(jié)構(gòu)參數(shù)（剛度、質(zhì)量等）的偏導(dǎo)數(shù)來計算物理參數(shù)的變化，從而進行模型修正的方法。筆者主要采用基于時域響應(yīng)的靈敏度方法［5-6］。對于一般的線彈性時不變結(jié)構(gòu)的有限元模型，其動力方程可表示如下

其中：M，C，K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；d為位移向量；F（t）為節(jié)點激振力向量。

本研究采用瑞利阻尼模型［7］，即C＝a1M＋a2K，其中：a1，a2為常數(shù)，由給定的兩個不等的模態(tài)頻率ωi，ωj與相應(yīng)的阻尼比ξi，ξj來確定。

2.1 響應(yīng)靈敏度矩陣

基于響應(yīng)靈敏度的結(jié)構(gòu)損傷檢測的關(guān)鍵在于靈敏度矩陣的獲得，筆者以結(jié)構(gòu)響應(yīng)對于單元彈性模量的偏導(dǎo)數(shù)作為靈敏度指標(biāo)。首先，通過Newmark直接積分法計算結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)；然后，將式（4）的兩邊對第i個單元的彈性模量求偏導(dǎo)數(shù)，C＝a1M＋a2K，且K為彈性模量的函數(shù)。移項整理后有

其中：N為有限元模型單元數(shù)。

由于結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)已經(jīng)計算得出，將此響應(yīng)代入式（5）再由Newmark法進一步得出響應(yīng)靈敏度矩陣。響應(yīng)靈敏度具有以下形式

對于單自由度結(jié)構(gòu)體系，?Ri（th）／?El表示th時刻第i個單元的響應(yīng)對于第l單元彈性模量的偏導(dǎo)數(shù)，i＝1，2，…，N，l＝1，2，…，N，N為劃分的有限單元數(shù)。對于多自由度結(jié)構(gòu)體系，?Ri（th）／?El則表示th時刻第i個單元的某一響應(yīng)分量對于第l單元彈性模量的偏導(dǎo)數(shù)。

2.2 結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的識別

結(jié)構(gòu)損傷識別問題可以表達為：尋找彈性模量向量E，使得計算出來的假設(shè)損傷結(jié)構(gòu)響應(yīng)（本研究使用加速度響應(yīng)）與測量的實際損傷結(jié)構(gòu)響應(yīng)的殘差最小化，即

其中：R為模擬的測量響應(yīng)（實際損傷結(jié)構(gòu)響應(yīng)）；Rcal為假設(shè)損傷結(jié)構(gòu)的計算響應(yīng)。

結(jié)構(gòu)損傷的識別方程可以表示為

其中：S為靈敏度矩陣。

彈性模量增量向量δE由Tikhonov正則化方法［8］獲得，對于離散不適定性問題，一般形式的Tikhonov正則化后就得到了正則極小化問題

式（9）等價于如下最小二乘問題

式（10）的法方程為

直接得到正則化解的顯式表達式為

修正后的彈性模量為

其中：E0為無損結(jié)構(gòu)彈性模量向量。

3 基于Duffing振子和響應(yīng)靈敏度方法結(jié)合的結(jié)構(gòu)損傷定位方法

鑒于Duffing振子的混沌檢測特性在強噪聲背景下檢測信號信息的能力以及響應(yīng)靈敏度方法在結(jié)構(gòu)損傷定位方面的優(yōu)勢，筆者提出了基于Duffing振子和響應(yīng)靈敏度方法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)損傷定位方法。

由于工程中的信號往往是大信號，傳統(tǒng)的Duffing振子系統(tǒng)只適用于小參數(shù)信號，這里采用基于Duffing振子的變尺度微弱特征信號檢測［4］來實現(xiàn)強噪聲下大參數(shù)信號檢測。變尺度就是保持前文中Duffing系統(tǒng)參數(shù)不變，引入變尺度系數(shù)P，使待測信號s（t）在其時間軸上放大P倍，即t′＝Pt。然后令P＝ω，ω為待測信號頻率，則待測信號轉(zhuǎn)換為s（t′）＝asin（ωt）＝asin（ωt′／P）＝asint′，將此信號輸入至Duffing系統(tǒng)就能檢測出s（t′）的頻率成分，這里通過對數(shù)值計算的步長進行尺度變換來實現(xiàn)頻率的尺度變換。

基于Duffing振子和響應(yīng)靈敏度方法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)損傷定位方法的具體步驟如下：

1）由式（4）計算給定外激勵作用下實際損傷結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)，并在響應(yīng)中添加一定水平的隨機噪聲，作為模擬的測量響應(yīng)；

2）選定變尺度系數(shù)P等于外激振力頻率，其余系統(tǒng)參數(shù)不變，將測量響應(yīng)經(jīng)尺度變換后輸入至Duffing系統(tǒng)，經(jīng)由四階 Runge－Kutta算法求解Duffing方程，此時系統(tǒng)即處于大尺度周期狀態(tài)，可以得到與之相對應(yīng)的系統(tǒng)輸出；

3）將此輸出的頻率進行尺度還原，采用余弦擬合的隨機共振反演技術(shù)［9］對信號時域信息進行反演，將此時域響應(yīng)作為真正的測量響應(yīng)；

4）由式（4）計算給定外激勵作用下假設(shè)損傷結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)，并進一步由式（5）計算動態(tài)響應(yīng)對單元彈性模量的靈敏度，形成靈敏度矩陣；

5）通過式（8）計算測量響應(yīng)與計算響應(yīng)的差值δR；

6）由式（12）計算彈性模量參數(shù)的增量δE，并利用式（13）計算修正后的彈性模量參數(shù)E；

7）重復(fù)步驟4～6，直到前后兩步的彈性模量的相對誤差達到一個很小的容許值，即

其中：k為迭代步數(shù)；T取為10－6。

基于Duffing振子和響應(yīng)靈敏度方法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)損傷定位方法的具體流程如圖3所示。

圖3 Duffing振子和響應(yīng)靈敏度法相結(jié)合的方法流程圖Fig.3 Float chart of the combining method based on Duffing oscillator and response sensitivity method

4 算例分析

算例為一座兩跨鋼筋混凝土橋梁［10］，如圖4所示。橋梁總長為18.28m，上部橋面結(jié)構(gòu)寬為2.28m，高為0.38m，截面積為0.866 4m2，下部結(jié)構(gòu)排架墩高分別為1.83，2.24，1.52m，材料彈性模量E＝2.0×1010Pa，密度ρ＝2 500kg／m3。排架墩采用固結(jié)方式，橋面板兩端附加質(zhì)量塊，用于模擬模型中未考慮的上部結(jié)構(gòu)和兩端橋墩的慣性力。

采用集中質(zhì)量法，用剛架單元建立有限元模型，共劃分為15個單元，考慮每個結(jié)點上x，y，θ三個方向的振動位移。單元、節(jié)點編號如圖5所示。

圖4 橋梁模型示意圖（單位：m）Fig.4 Schematic bridge model（unit：m）

圖5 橋梁有限元模型Fig.5 Finite element model of the bridge

在節(jié)點4處施加一個橫向簡諧荷載f（t）作為激勵力，f（t）＝50sin（20t），作用時間為10s，響應(yīng)步長dt＝0.001s。響應(yīng)信號取為加速度信號，模擬噪聲采用符合高斯分布的白噪聲［11］，各測點加入噪聲后的加速度響應(yīng)如下

其中：aj和azj分別為加噪聲前后的加速度響應(yīng)；S為均值為0、方差為1的高斯白噪聲；N為噪聲信號強度水平。

工況1 50%噪聲水平下單一局部小損傷識別。首先研究強噪聲環(huán)境下單一局部小損傷問題，在原始響應(yīng)中添加50%水平的強噪聲干擾，并假定模型的第5號單元的彈性模量減少5%來模擬局部損傷。損傷結(jié)構(gòu)的第4號單元在激勵作用下水平方向加速度響應(yīng)（無噪聲干擾和50%水平噪聲）如圖6所示。

由圖6（a）可知，結(jié)構(gòu)在簡諧激勵下其加速度響應(yīng)亦為一簡諧曲線，幅值為0.003m／s2，周期為0.314s。然而在50%水平噪聲環(huán)境下單元響應(yīng)則完全淹沒于噪聲環(huán)境中，如圖6（b）所示，阻礙了后續(xù)的結(jié)構(gòu)損傷定位。下面將含噪響應(yīng)輸入至Duffing系統(tǒng)處理。Duffing系統(tǒng)參數(shù)選擇同上：阻尼因子η＝0.5，驅(qū)動力幅值A(chǔ)＝0.826，初值x（0）＝x＇（0）＝0，原始采樣頻率fs＝1kHz，計算步長dt＝0.001s，引入變尺度系數(shù)P＝ω＝20，即變尺度后數(shù)值計算步長dt′＝（ω／fs）＝0.02s。采用四階 Runge－Kutta算法對式（3）進行計算，其中用含噪響應(yīng)代替s（t）＋n（t）項，計算結(jié)果如圖7所示。

圖7（a）所示為系統(tǒng)輸出的相軌跡圖，可見此時系統(tǒng)處于大尺度周期狀態(tài)。由圖7（b）可知，輸出明顯存在頻率f＝0.067Hz的信號成分，尺度還原有f0＝（f×fs）／P＝3.183Hz，對應(yīng)周期T＝1／f＝0.314s，這正是原始信號需要檢測出的頻率成分。由于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)布朗粒子越過勢壘的能量積累需要時間，這樣輸出就不能很好地跟上信號的變化，從而會產(chǎn)生嚴重的波形失真［12］，這里運用余弦擬合的隨機共振反演技術(shù)［9］來對輸出信號進行反演。因為經(jīng)過Duffing系統(tǒng)處理后的輸出響應(yīng)具有較高的信噪比，以f0來設(shè)計余弦曲線對系統(tǒng)輸出進行擬合，得到時域響應(yīng)如圖8所示。

圖6 加噪前后單元4加速度響應(yīng)Fig.6 Acceleration response of element 4without and with noise

圖7 相軌圖和輸出響應(yīng)頻域圖Fig.7 Phase trajectories and frequency domain of output

圖8 擬合后Duffing系統(tǒng)輸出加速度響應(yīng)Fig.8 Acceleration response after fitting

對比圖6和圖8可以發(fā)現(xiàn)，含噪輸出響應(yīng)經(jīng)過Duffing系統(tǒng)處理后，其外部強噪聲得到了較好的去除，這為進一步運用響應(yīng)靈敏度方法進行損傷定位打下了良好的基礎(chǔ)。

下面進行響應(yīng)靈敏度分析，按照文中所提的算法步驟，取4號單元的橫向加速度響應(yīng)來進行損傷檢測，經(jīng)過19次迭代計算后結(jié)果如圖9所示。由圖9可以看出，單元5上的局部損傷得到了很好的識別，其他單元上沒有出現(xiàn)誤判的情況，說明系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)過Duffing振子去噪處理后運用響應(yīng)靈敏度方法能夠很好地識別出強噪聲環(huán)境下的結(jié)構(gòu)局部損傷。

圖9 單一損傷識別（50%水平噪聲）Fig.9 Single damage identification（50%noise level）

工況2 50%噪聲干擾下多損傷的識別。此工況下進行強噪聲環(huán)境的多損傷識別。在原始響應(yīng)中添加50%水平的強噪聲干擾，假定桿的第4，6號單元的彈性模量分別減少10%，5%來模擬局部損傷。取4號單元的橫向加速度響應(yīng)來進行損傷檢測，同樣將含噪輸出響應(yīng)經(jīng)過Duffing系統(tǒng)處理，然后進行響應(yīng)靈敏度計算，經(jīng)過21次迭代后，識別結(jié)果如圖10所示。圖10結(jié)果表明，第4，6號單元上存在的局部損傷得到了很好的識別，所存在的識別誤差均比較小，最大誤差不超過0.5%。

圖10 多損傷識別（50%水平噪聲）Fig.10 Multiple damage identification（50%noise level）

5 結(jié) 論

1）筆者提出了基于Duffing振子和響應(yīng)靈敏度相結(jié)合的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法用于強噪聲背景下的結(jié)構(gòu)損傷定位，該方法避開了傳統(tǒng)的Duffing振子參數(shù)選擇的繁瑣性，僅用一組特定的參數(shù)實現(xiàn)了噪聲背景下信號的提取，通過尺度變換，隨機共振反演技術(shù)以及響應(yīng)靈敏度分析實現(xiàn)了強噪聲背景下工程結(jié)構(gòu)損傷定位。

2）采用三維橋梁結(jié)構(gòu)模型作為算例，避免了單自由度體系與實際工程結(jié)構(gòu)的脫節(jié)性，表明了此方法用于工程結(jié)構(gòu)損傷檢測的適用性。

3）傳統(tǒng)的基于時域響應(yīng)靈敏度方法僅討論了無外在噪聲干擾和10%噪聲水平干擾下的結(jié)構(gòu)損傷定位問題，筆者通過運用基于Duffing振子和時域響應(yīng)靈敏度相結(jié)合的方法實現(xiàn)了50%噪聲水平下的結(jié)構(gòu)損傷定位，數(shù)值算例表明該方法能夠適用于更強的噪聲背景，且同等噪聲環(huán)境下運用Duffing振子系統(tǒng)處理后所需計算的迭代次數(shù)相應(yīng)減少，節(jié)約了計算時間。

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