剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的影響＊

王正浩， 席慶泰， 熊興榮， 孟慶欣， 楊興濤

（沈陽建筑大學(xué)交通與機(jī)械工程學(xué)院 沈陽，110168）

引 言

隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械向著高性能、高效率方向發(fā)展，近年來國內(nèi)外學(xué)者針對旋轉(zhuǎn)機(jī)械從不同角度開展了廣泛研究［1-9］。在抗震設(shè)計中，研究發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子等在地震激勵下的振動特性是一個非常重要的問題，對復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)分析是系統(tǒng)安全可靠運(yùn)行的重要保證，但由于問題的困難和復(fù)雜性，這方面的研究較少，數(shù)值計算也不多見［10-11］。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析的方法有蒙特卡羅法和功率譜算法等，但由于其計算過程過于復(fù)雜，計算量非常大，往往使工程人員望而卻步。林家浩等提出的虛擬激勵法是對線性隨機(jī)振動系統(tǒng)進(jìn)行譜分析的有效工具［12］，該方法將平穩(wěn)隨機(jī)激勵轉(zhuǎn)化為穩(wěn)態(tài)簡諧激勵，將非平穩(wěn)隨機(jī)激勵轉(zhuǎn)化為瞬態(tài)確定性激勵，具有簡單、高效、精確等優(yōu)點(diǎn)?？紤]到現(xiàn)代機(jī)械的高速、高精度化，筆者針對計及機(jī)匣彈性、陀螺力矩并同時考慮機(jī)匣與定子間的彈性聯(lián)接的懸臂雙盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，應(yīng)用虛擬激勵法，分析了系統(tǒng)在軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵、轉(zhuǎn)子不平衡隨機(jī)激勵和地面平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵下的隨機(jī)響應(yīng)，并討論了系統(tǒng)剛度變化對隨機(jī)響應(yīng)的影響，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作參數(shù)的合理選擇和隨機(jī)振動控制提供依據(jù)。

1 軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵

在航空燃?xì)鉁u輪發(fā)動機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，由于制造誤差等原因，滾動球軸承的內(nèi)外圈與滾動體之間實(shí)際上存在有微小間隙。如果滾動體直徑不相同，則在大的滾動體插入方向上，如圖1所示，徑向間隙變小，剛度增大Δk，而在其垂直方向上徑向間隙變大，剛度減小Δk，即在相互垂直的方向上存在軸承剛度差。這種軸承剛度差隨轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系Ox′y′按滾動體的公轉(zhuǎn)角速度ω′旋轉(zhuǎn)，激發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動。在y′和x′方向上軸承的彈性恢復(fù)力大小分別為

圖1 軸承剛度差Fig.1 Model of the bearings stiffness difference

根據(jù)坐標(biāo)變換，得到

其中：φ為在［0～2π］上均勻分布的隨機(jī)變量。

在y和x方向上的彈性恢復(fù)力大小分別為

將式（2）代入式（3）得

其中：ΔFy和ΔFx分別為由于軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵引起的y和x方向上彈性恢復(fù)力大小的改變量。

轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系Ox′y′旋轉(zhuǎn)角速度ω′＝αω，其中：α＝D／［2（D＋d）］，D和d分別為軸承內(nèi)圈直徑和滾動體直徑；ω為軸旋轉(zhuǎn)角速度。軸承剛度差Δk＝εk，其中：ε為軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵參數(shù)；k為軸承剛度。

2 系統(tǒng)力學(xué)模型與隨機(jī)運(yùn)動微分方程

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)模型如圖2所示。設(shè)機(jī)匣為具有線性徑向接觸剛度的彈性圓環(huán)，在隨機(jī)激振力作用下，系統(tǒng)隨機(jī)運(yùn)動微分方程為

圖2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.2 Model of rotor system

位移列陣、隨機(jī)激振力列陣、質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為

其中：

隨機(jī)激振力列陣F＝F1＋F2，其中隨機(jī)激振力列陣F1中的元素包括重力、轉(zhuǎn)子不平衡隨機(jī)激振力和軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵，隨機(jī)激振力列陣F2為地面隨機(jī)地震激勵，F(xiàn)1和F2分別為

φ，φ1，φ2為在［0～2π］上均勻分布的隨機(jī)變量。

分析表明，水平方向地震時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)相對比較強(qiáng)烈，故取慣性力指示向量為

其中：

其中：

其中：

C123456為8行8列對稱矩陣，主對角線上的元素為

第1行第5列元素為－C3x，第2行第6列元素為－C3y，第3行第7列元素為－C4x，第4行第8列元素為－C4y，其余元素為零。

其中：Kr1和Kr2由轉(zhuǎn)子柔度矩陣確定；K1和K2為交叉剛 度 矩 陣；K3＝diag（k3x，k3y，k4x，k4y）；K4＝diag（k3x＋k5x＋kj1x，k3y＋k5y＋kj1y，k4x＋k6x＋kj2x＋kj3x，k4y＋k6y＋kj2y＋kj3y）；K5＝diag（k7x＋kj3x，k7y＋kj3y，k8x＋kj1x＋kj2x，k8y＋kj1y＋kj2y）。

3 系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的虛擬激勵分析

按虛擬激勵法的基本原理［11-12］，應(yīng)構(gòu)造虛擬激勵，由系統(tǒng)隨機(jī)運(yùn)動微分方程式（6），得到系統(tǒng)虛擬振動微分方程

求解虛擬振動微分方程式（8），可得虛擬響應(yīng)為

其中：

進(jìn)而可得到位移隨機(jī)響應(yīng)的功率譜矩陣

其中：上標(biāo)“＊”代表取復(fù)共軛。

4 系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)數(shù)值計算

在隨機(jī)響應(yīng)數(shù)值計算中采用的計算數(shù)值為：軸材料密度ρ＝7.8×103kg／m3；彈性模量E＝210×109N／m2；三段軸直徑均為di＝30mm（i＝1，2，3）；三段軸截面慣性矩Ii＝π／64（i＝1，2，3）；三段軸長度分別為l1＝210mm，l2＝330mm和l3＝240 mm；軸頸質(zhì)量m3＝3kg，m4＝3kg；圓盤質(zhì)量mii＝24.335 3kg（i＝1，2）；圓盤等效質(zhì)量分別為m1＝25.900 9kg，m2＝24.725 1kg；半徑Ri＝120mm（i＝1，2）；厚度Bi＝69mm（i＝1，2）；極轉(zhuǎn)動慣量JPi＝mii／2（i＝1，2）；直徑轉(zhuǎn)動慣量Jdi＝Jpi／2；機(jī)匣質(zhì)量mi＝2m1（i＝5，6，7，8）；滾動軸承阻尼Cix＝Ciy＝0（i＝3，4）；滾動軸承為深溝球軸承6304，α＝0.36；機(jī)匣阻尼Cix＝Ciy＝20Ns／m（i＝5，6，7，8）；材料內(nèi)阻尼Cc＝20Ns／m，外阻尼Cei＝Ce＝350Ns／m（i＝1，2）；地震方向?yàn)樗椒较?；平穩(wěn)白噪聲地震激勵譜密度SO＝1.35×10－1m2／s3；圓盤偏心矩e1＝e2＝e＝0.02mm；軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵參數(shù)ε＝0.006；轉(zhuǎn)速n＝8kr／min。

4.1 機(jī)匣剛度kjx對隨機(jī)響應(yīng)的影響

取機(jī)匣之間的彈性聯(lián)接剛度kjix＝kjiy＝kj（i＝1，2，3）＝107N／m，滾動軸承剛度kix＝kiy＝k（i＝3，4）＝6×107N／m。圖3為機(jī)匣剛度分別為kix＝kiy＝kjx（i＝5，6，7，8）＝107N／m（曲線1），kjx＝108N／m（曲線2），kjx＝109N／m（曲線3）和kjx＝2×109N／m（曲線4）時圓盤和軸承的隨機(jī)響應(yīng)功率譜密度。由圖3可知：機(jī)匣剛度對隨機(jī)響應(yīng)的影響較大，特別是對軸承的隨機(jī)響應(yīng)影響更大；當(dāng)機(jī)匣剛度大于108N／m以后，機(jī)匣剛度對隨機(jī)響應(yīng)的影響基本穩(wěn)定；機(jī)匣剛度的選取原則上應(yīng)該大于108N／m。

4.2 機(jī)匣聯(lián)接剛度kj對隨機(jī)響應(yīng)的影響

取機(jī)匣剛度為kix＝kiy＝kjx（i＝5，6，7，8）＝108N／m，滾動軸承剛度kix＝kiy＝k（i＝3，4）＝6×107N／m。圖4為機(jī)匣聯(lián)接剛度分別為kjix＝kjiy＝kj（i＝1，2，3）＝0（曲線1），kj＝106N／m（曲線2），kj＝108N／m（曲線3）和kj＝1010N／m（曲線4）時圓盤和軸承的隨機(jī)響應(yīng)功率譜密度。由圖4可知：機(jī)匣聯(lián)接剛度對軸承隨機(jī)響應(yīng)的影響明顯，而對圓盤隨機(jī)響應(yīng)的影響不大；機(jī)匣聯(lián)接剛度大于108N／m比較合適。

4.3 軸承剛度k對隨機(jī)響應(yīng)的影響

取機(jī)匣剛度為kix＝kiy＝kjx（i＝5，6，7，8）＝108N／m，機(jī)匣聯(lián)接剛度為kjix＝kjiy＝kj（i＝1，2，3）＝107N／m。圖5為軸承剛度分別為k＝1.5×107N／m（曲線1），k＝2×107N／m（曲線2），k＝1 0×107N／m（曲線3）時圓盤和軸承的隨機(jī)響應(yīng)功率譜密度。由圖5可知：軸承剛度越小，隨機(jī)響應(yīng)（特別是低頻隨機(jī)響應(yīng)）越強(qiáng)烈；軸承剛度取值大于2×107N／m為宜。

圖3 機(jī)匣剛度對隨機(jī)響應(yīng)的影響Fig.3 The influence of casing stiffness on random responses

圖4 機(jī)匣聯(lián)接剛度對隨機(jī)響應(yīng)的影響Fig.4 The influence of casing connection stiffness on random responses

圖5 軸承剛度對隨機(jī)響應(yīng)的影響Fig.5 The influence of bearing stiffness on random responses

5 結(jié)束語

應(yīng)用虛擬激勵法，分析復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在多參數(shù)耦合隨機(jī)激勵－軸承回轉(zhuǎn)隨機(jī)動力激勵、轉(zhuǎn)子不平衡隨機(jī)激勵和地面平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵作用下的隨機(jī)響應(yīng)是適宜的。通過數(shù)值模擬得到的主要結(jié)論是：機(jī)匣剛度、機(jī)匣聯(lián)接剛度和軸承剛度的變化對隨機(jī)響應(yīng)都有較大影響；比較合適的系統(tǒng)剛度數(shù)值為機(jī)匣剛度和機(jī)匣聯(lián)接剛度應(yīng)大于108N／m，軸承剛度應(yīng)大于2×107N／m。

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