拓展型Horava 引力的解

陳希明，李樹晨

最近，一種Power －counting 可重整的紫外完整的引力理論被Horava 提出［1－4］.盡管該理論具有紅外固定點(diǎn)，即廣義相對(duì)論，然而在紫外波段該理論的固定點(diǎn)在時(shí)空中具有各向異性:xi→lxi，t →lzt，這里l，z，xi和t 分別是縮放因子、動(dòng)力學(xué)的臨界指數(shù)、空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo).然而，最新的進(jìn)展表明了由Horava 給出的作用量不具有一個(gè)良好的紅外行為.由于該理論違反全時(shí)空的微分同胚不變性，故在紅外時(shí)理論具有會(huì)產(chǎn)生一個(gè)額外的不穩(wěn)定標(biāo)量模，并會(huì)引起強(qiáng)耦合問題.根據(jù)Blas 等人的觀點(diǎn)［5］，這個(gè)數(shù)學(xué)模型的一些項(xiàng)似乎需要被修改從而來避免強(qiáng)耦合問題、不穩(wěn)定問題、動(dòng)力學(xué)不自洽問題和非物理的額外模.他們從低能角度出發(fā)討論了Horava 模型的自洽性.他們發(fā)現(xiàn)，額外的標(biāo)量自由度明顯破壞了廣義協(xié)變性及其他相關(guān)特性.這個(gè)新模型的一個(gè)反常特征就是它滿足動(dòng)力學(xué)方程的一階關(guān)系(對(duì)時(shí)間求導(dǎo)).在線性近似下這個(gè)額外的自由度只表現(xiàn)在非靜態(tài)空間下的不均勻背景中.他們發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)跟這個(gè)模型相聯(lián)系的嚴(yán)重問題:首先，這個(gè)模型在短距離內(nèi)表現(xiàn)出它的指數(shù)不穩(wěn)定性的增長;其次，它在一個(gè)極端的低臨界尺度下變?yōu)閺?qiáng)耦合.

最近，文獻(xiàn)［6］提出了一個(gè)新的Horava 引力的拓展理論，它是基于以下的3 個(gè)條件:(Ⅰ)紫外完備;(Ⅱ)良好的紅外行為，以及(Ⅲ)量子化后具有穩(wěn)定的真空狀態(tài).這個(gè)拓展的理論具有Power－counting 可重整性并且可以避免強(qiáng)耦合問題.

在文獻(xiàn)［8］中Lu 等人推導(dǎo)出了Horava 引力的動(dòng)力學(xué)方程的完整形式，并且他們同時(shí)得到了靜態(tài)的球?qū)ΨQ的解.那么在現(xiàn)在的這篇論文中，我們希望從這個(gè)新版本的Horava －Lifshitz 引力的框架下得到靜態(tài)的球?qū)ΨQ解.

1 Horava 引力的整體框架

我們從文獻(xiàn)［6］中給出的作用量開始求解.

這里Kij和Eij分別用以下形式給出:

而

其中

而μi(i=1，2)是標(biāo)度量綱為［μi］s=i - 1 和［ΛW］s=2 的耦合常數(shù).在公式(1)中的3 維矢量εi是以這樣的形式給出的:

作用量(1)可以被重寫為

其中

而且

這里μ，ω 和ΛW是常值參數(shù)，而對(duì)稱張量Zij=是由Ricci 張量和Cotton 量Cij構(gòu)成的，其中Cij被定義為

2 場(chǎng)方程

我們來考慮作用量(5)的動(dòng)力學(xué)方程.這個(gè)由變化的N，Ni得到的動(dòng)力學(xué)方程分別由以下形式給出:

由δgij的變形體而得到的動(dòng)力學(xué)方程被如下公式給出:

當(dāng)α3=0 時(shí)，這些動(dòng)力學(xué)方程就減少到文獻(xiàn)［7 －8］中的幾個(gè)原始的場(chǎng)方程.

3 靜態(tài)的球?qū)ΨQ解

我們假設(shè)理論具有以下形式的靜態(tài)球?qū)ΨQ解:

文獻(xiàn)［8］表明在α3=0 情況下的場(chǎng)方程的系統(tǒng)具有(A)dS Schwarzschild 黑洞.作為在舊版本的Horava 引力下的一個(gè)常用的方法，在α3≠0 的情況下得到完整拉格朗日量的解的最容易的方式就是把這個(gè)度規(guī)擬設(shè)替換進(jìn)作用量，然后對(duì)函數(shù)N 和f 變分.這是一個(gè)有效的程序，因?yàn)檫@個(gè)擬設(shè)包括了所有允許存在的與在S2上的SO(3)作用量相容的單線態(tài)粒子.由此產(chǎn)生的縮減的拉格朗日量，相當(dāng)于一個(gè)完整的度量常數(shù)，它被如下給出:

A.精確解:第1 類

第一個(gè)解按如下給出:

這是一個(gè)AdS2× S2時(shí)空的表示，這里時(shí)間坐標(biāo)被重調(diào)為該解有一個(gè)Ricci標(biāo)量奇點(diǎn)位于:

這個(gè)解漸漸地接近AdS4.若固定:

則可以看出該奇點(diǎn)位于r=0，它是一個(gè)坐標(biāo)奇點(diǎn)而非裸奇點(diǎn).此時(shí)度規(guī)變?yōu)?

圖1 ln隨徑向坐標(biāo)x 的變化

牛頓勢(shì)gtt=- N(x)2有一個(gè)最大值落在(x=0，gtt=1.253 41)，這意味著我們也許會(huì)有一個(gè)從原點(diǎn)而來的最大紅移.這就使我們有必要去探究引力紅移的行為.運(yùn)用通常的紅移公式，我們發(fā)現(xiàn):

我們把紅移的變化作為x 的一個(gè)函數(shù)進(jìn)行作圖，如圖2所示.圖中所示的位于點(diǎn)x=1.246 附近的紅移發(fā)散行為可以被認(rèn)為是由于視界的存在所引起的引力紅移.

圖2 從x=0 的原點(diǎn)處發(fā)出的光子的紅移隨x 的變化

B.當(dāng)λ=1 的情況

探究λ=1 這個(gè)解是特別有趣的，在此情況下，f 和N 的函數(shù)具有如下形式:

這個(gè)解是漸進(jìn)平坦的，它有一個(gè)在r=h 的視界，這里h 是f 的根，其值為

顯然，視界處具有零溫.在這種情況中的精確解可以被重新寫為:

正如我們注意到的那樣，這個(gè)解是漸進(jìn)平坦的.那么，用在漸進(jìn)平坦時(shí)空中的引力紅移的常規(guī)公式我們就有

這里x=c2r.這個(gè)奇點(diǎn)落在x=c1處.要使r →∞時(shí)時(shí)空是回到Minkowski 時(shí)空，我們有:c2= 1.未定的參數(shù)c1=a 可以看作是這個(gè)時(shí)空的質(zhì)量.在下文中，我們把紅移作為坐標(biāo)x 的函數(shù)針對(duì)于a 的一些典型值做了圖像.圖中顯示了該紅移在a 取不同值的情況下相對(duì)于坐標(biāo)x 的變化行為.

圖3 從原點(diǎn)發(fā)出光子的紅移對(duì)視界值a 的關(guān)系

正如我們所觀察到的那樣，對(duì)于a 的這些不同取值該紅移產(chǎn)生了數(shù)次極大值

C.當(dāng)ΛW=0 的情況

在這種情形f 和N 都是確定的，由下式給出:

這里β 是一個(gè)積分常數(shù).為了使這個(gè)解有意義，我們要求λ ＞1.這個(gè)解對(duì)于一般的λ，當(dāng)r=0時(shí)有一個(gè)曲率奇點(diǎn)，這與早先的解有類似的規(guī)律［8］.當(dāng)β ＞0 時(shí)，這個(gè)解在x=∞處也有一個(gè)曲率奇點(diǎn).此時(shí)精確解可以寫成:

對(duì)于一些β 和γ±的值，當(dāng)γ±=- β 時(shí)這個(gè)解(28)就轉(zhuǎn)換成一個(gè)共型穩(wěn)態(tài)解:

這里

圖4 牛頓勢(shì)eU(ξ)

圖5 牛頓勢(shì)eK(ξ)

4 結(jié)論

原始形式的Horava 引力必須被修改才能給出正確的預(yù)測(cè).在舊版本的Horava 理論中的重要問題之一就是它的Lapse 函數(shù)不是動(dòng)力學(xué)的.這個(gè)問題可以通過在作用量中插入一個(gè)新的輔助場(chǎng)然后探究它的動(dòng)力學(xué)行為來解決.在本文中，以文獻(xiàn)［6］中所提出的理論新版本為出發(fā)點(diǎn)，我們研究了這個(gè)新版本下的球?qū)ΨQ解.我們得到了3 種不同類型的解.它們的作圖分析表明這些解可以被當(dāng)作是黑洞的解.部分關(guān)于這些解的奇點(diǎn)結(jié)構(gòu)的標(biāo)志也被探討.

致謝:非常感謝南昌大學(xué)物理系舒富文教授在本論文創(chuàng)作過程中給予的有益討論和支持及指正.

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