具有Allee 效應(yīng)的廣義Logistic 模型的捕獲優(yōu)化問題

李文霞，雒志學(xué)

近年來，許多學(xué)者對單種群生長規(guī)律的生物模型進(jìn)行了研究，并得到了許多有意義的結(jié)果.文獻(xiàn)［1，2］分別研究了含Allee 效應(yīng)經(jīng)典的Logistic 模型的開發(fā)與優(yōu)化，文獻(xiàn)［3］研究了單種群模型的最優(yōu)捕獲策略.文獻(xiàn)［4］研究了具有Allee 效應(yīng)的種群的優(yōu)化管理.文獻(xiàn)［5］對Logistic 模型進(jìn)行了推廣，得到了廣義Logistic 模型.文獻(xiàn)［6］探討了廣義Logistic 模型

的優(yōu)化開發(fā).文獻(xiàn)［7］中研究了具有常數(shù)捕獲率的廣義Logistic 模型在含Allee 效應(yīng)的情況下的定量開發(fā).

大量事實證明，許多物種被報道具有Allee效應(yīng)，如植物［8］、海洋無脊椎動物［9］、哺乳動物［10］等.因此，對于很多種群，尤其是那些瀕危的哺乳類動物，其種群密度稀疏，更容易受Allee效應(yīng)影響.所以，考慮具有Allee 效應(yīng)的種群更具有實際意義.另外，在實際問題中，人們要充分利用資源，于是對資源進(jìn)行開發(fā)，而且存在過度開發(fā)現(xiàn)象.

本文考慮具有Allee 效應(yīng)的廣義Logistic 模型的線性捕獲優(yōu)化問題，不僅克服了文獻(xiàn)［7］中常數(shù)捕獲率的局限性，而且考慮最優(yōu)捕獲問題，尋求最優(yōu)捕獲策略，維持生態(tài)平衡，使生物資源可持續(xù)發(fā)展.

我們假設(shè)捕獲與種群密度和捕獲努力度成正比，即h(x)= Eqx.E 為捕獲努力度，q 為捕獲能力系數(shù)，為正常數(shù)，為運算方便，不妨令q=1.我們研究如下模型

其中:r 為種群的固有增長率，k 為環(huán)境容納量，x(t)為t 時刻的魚群數(shù)量，v ＞－1，0 ＜m ＜k，E ＞0，r ＞0.

我們首先研究系統(tǒng)正平衡點的存在性及穩(wěn)定性問題.

1 系統(tǒng)(2)正平衡點的存在性及穩(wěn)定性

1)當(dāng)v=0 時，系統(tǒng)(2)可變形為

證明:該定理易證明，故在此省略其證明.

且x=x1*不穩(wěn)定，x=x2*穩(wěn)定，穩(wěn)定域Ω=當(dāng)時，系統(tǒng)(3)無正平衡點.

故x1*＞0，x2*＞0，于是(3)可變形為

由(4)知，當(dāng)0 ＜x ＜x*1時當(dāng)x1*＜x ＜時，當(dāng)x ＞x2*時，故x1*不穩(wěn)定，x*2穩(wěn)定.穩(wěn)定域當(dāng)E時，

故x*1＜0，x*2＜0.即系統(tǒng)(3)無正平衡點.

2)當(dāng)v ≠0 時，系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

令

①當(dāng)－1 ＜v ＜0 時，定理證明完畢.

定理3 Ⅰ.當(dāng)E=E1時，(6)有唯一的正平衡點

且x*半穩(wěn)定，穩(wěn)定域當(dāng)E=E2時，(6)無正平衡點.

Ⅱ.當(dāng)0 ＜E ＜E1時，(6)有兩個正平衡點x1*，x2*，且x1*不穩(wěn)定，x2*穩(wěn)定，穩(wěn)定域Ω=

其中:

證明

當(dāng)－1 ＜v ＜0 時，(2 +2r)v2+(2 +2r)v +1 ＞0 恒成立，故(7)式小于0，即又由于E1＜E2，所以r + E1v ＞0，r + E2v ＞0.

(Ⅰ)當(dāng)E=E1時，(6)有唯一的正平衡點(5)可變形為

又由于

其中，Q*(－1)表示v=－ 1 時Q*的值，則x*故x*半穩(wěn)定，穩(wěn)定域

當(dāng)E=E2時，，故(6)無正平衡點.

(Ⅱ)由于0 ＜E ＜E1，(6)有兩個正平衡點，經(jīng)比較可得可變形為

當(dāng)0 ＜x ＜x*1時，當(dāng)x1*＜x ＜x2*時，當(dāng)時，;當(dāng)x ＞時，故x1*不穩(wěn)定，x2*穩(wěn)定，穩(wěn)定域

②當(dāng)v ＞0 時，定理證明完畢.

類似定理3 的證明方法，易得下面定理

且x*半穩(wěn)定，穩(wěn)定域當(dāng)E=E2時，(7)無正平衡點.

Ⅱ.當(dāng)E ＞E2或0 ＜E ＜E1時，(6)有兩個正平衡點x*1，x*2，且x*1不穩(wěn)定，x*2穩(wěn)定，穩(wěn)定Ω(其中，E1，E2，x*1，x*2同定理3)

下面我們考慮最大可承受產(chǎn)量.

2 最大可承受產(chǎn)量

再令－vx2－2kx +k2+mk +vkm=0，解得x1=其中θ

1)當(dāng)v ＞0 時，x1＜0 舍去，則

2)當(dāng)－1 ＜v ＜0 時，由于mv2+ (k + m)v＜0，故x2也大于0，若取

若

顯然EMSY1＞EMSY2，HMSY1＞HMSY2，所以EMSY=EMSY1，HMSY=HMSY1.

1.1 淺層學(xué)習(xí)與“深度學(xué)習(xí)”的區(qū)別 高中生物學(xué)具有概念多、理解難，理論多、實踐難的學(xué)科困境。筆者曾在高中生物學(xué)教學(xué)課堂中進(jìn)行問卷調(diào)查，分析發(fā)現(xiàn)淺層學(xué)習(xí)在教學(xué)中還有一定的市場。較多的教師和學(xué)生將生物學(xué)當(dāng)成文科看待，認(rèn)為生物學(xué)憑記憶就能得高分，背誦默寫成為部分課堂教學(xué)的常態(tài)。課堂上學(xué)生成為速記員和聽眾，被動接受知識，學(xué)習(xí)過程缺少反思，長此以往，會導(dǎo)致學(xué)生思維方式的僵化，學(xué)生的生物學(xué)學(xué)科素養(yǎng)就會低下。

令－2kx + k2+ mk=0，得故

最后我們討論該模型的最優(yōu)捕獲策略.

3 最優(yōu)捕獲策略

在實際問題中，我們想尋求一個最優(yōu)捕獲強度E＊＊，從而得到一個最優(yōu)平衡種群規(guī)模，使目標(biāo)泛函取得最大值.這里，我們?nèi)ˇ?x，E，t)= PEx－aE，其中P 表示市場價格，a 表示成本價格，λ 表示單位時間內(nèi)的純收益，δ 是貼現(xiàn)率.那么對種群的最優(yōu)捕獲問題即轉(zhuǎn)化為如下的最優(yōu)控制問題:

由最大值原理，作Hamilton 函數(shù)

其中，λ 為伴隨變量

由于H 關(guān)于變量E 是線性的，則其最優(yōu)控制為bang－bang 奇異控制.根據(jù)Pontryagins 最大值原理有:

可得

由(12)式可得

由(14)式、(15)式可求出

將(16)式代入(17)式中，可得最優(yōu)捕獲強度:

4 結(jié)論

從本文的研究結(jié)果可以看出，在廣義Logistic模型中引入Allee 效應(yīng)更具有實際意義.其次，研究最優(yōu)捕獲問題更利于資源的保護(hù)和利用.它比較接近現(xiàn)實應(yīng)用.

［1］ 范猛，王克，周毅.具有臨界增長的生物種群的開發(fā)［J］.丹東師專學(xué)報，1999，78(4) ：3 －5.

［2］ 柴娟，雒志學(xué).具有臨界增長的生物種群的捕獲優(yōu)化［J］.重慶工學(xué)院學(xué)報，2008，22 (12) ：63 －66.

［3］ 魯紅英.一類自治單種群模型及其最優(yōu)捕獲策略［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2010，30 (1) ：33 －42.

［4］ 黃林林，趙立純.基于Allee 效應(yīng)的魚種群資源管理［J］.鞍山師范學(xué)院學(xué)報，2013，15(2) ：4 －7.

［5］ 王壽松.單種群生長的Logistic 模型［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報，1990，5(1) ：21 －25.

［6］ 黃輝.廣義Logistic 模型的優(yōu)化開發(fā)［J］.中山大學(xué)研究生學(xué)刊，1996，17(1) ：7 －14.

［7］ 夏鋒.含Allee 效應(yīng)的廣義Logistic 模型之定量開發(fā)［J］.中山大學(xué)研究生學(xué)刊，1995，16(2) ：33 －42.

［8］ Ferdy J，Austerlitz F，Moret J，et al.Pollinator induced density dependence in deceptive［J］.Oikos.1999，87(7) ：549 －560.

［9］ Stoner A，Ray C M.Evidence for Allee effects in an over－h(huán)arvested marine gastropod：density dependent mating and egg production［J］.Marine Ecology Progress Series，2000，202(3) ：297 －392.

［10］ Kuussaari M，Saccheri I，Hanski I.Allee effects and population dynamics in the glanrille fritillary butterfly［J］.Oikos，1998，82(17) ：384 －392.

［11］ 馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)與研究［M］.合肥：安徽教育出版社，2000.