斯特姆
——劉維爾本征值問題的自然邊界條件

楊志堅(jiān)

(西南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院, 四川 成都 610041)

斯特姆
——劉維爾本征值問題的自然邊界條件

楊志堅(jiān)

(西南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院, 四川 成都 610041)

系統(tǒng)地討論了斯特姆—劉維爾本征值問題中, 存在自然邊界條件的幾種情況: 1、在求解區(qū)間[a,b]上, 函數(shù)k(x)有一級零點(diǎn), 則在該零點(diǎn)處一定存在自然邊界條件; 2、在求解區(qū)間[a,b]上, 函數(shù)k(x)有二級零點(diǎn), 僅當(dāng)q-2≤0時(shí), 在該零點(diǎn)處存在自然邊界條件; 3、求解區(qū)間[a,b]上, 函數(shù)k(x)有高于二級零點(diǎn), 且斯特姆——劉維爾方程在該零點(diǎn)處存在一個(gè)有界解, 在該零點(diǎn)處才存在自然邊界條件.

斯特姆——劉維爾本方程; 本征值問題; 分離變量法; 自然邊界條件.

在數(shù)學(xué)物理方法中常見的幾種偏微分方程在坐標(biāo)系下分離變量時(shí), 就會出現(xiàn)含參量的二階線性非齊次常微分方程.如勒讓德方程, 貝塞爾方程等.這些常微分方程都可以用斯特姆——劉維爾方程(以下簡稱S—L方程), S—L方程可表述如下:

為了后面的討論, 這里介紹一下二階線性齊次常微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

S—L方程附上邊界條件即構(gòu)成S—L本征值問題.在物理學(xué)中, 有一類邊界條件是物理系統(tǒng)所處的具體物理環(huán)境的數(shù)學(xué)反映, 它需要人們具體規(guī)定, 這種邊界條件稱為人為邊界條件, 簡稱邊界條件.還有一類邊界條件是物理系統(tǒng)本身的固有性質(zhì)的數(shù)學(xué)反映, 它是客觀存在的, 與物理環(huán)境無關(guān), 稱其為自然邊界條件, 其數(shù)學(xué)表現(xiàn)為要求解函數(shù)單值, 有界等.

對自然邊界條件的存在性問題, 大多數(shù)教材未系統(tǒng)敘述.這里分幾種情況, 討論如下:

定理1 函數(shù)k(x)有一級零點(diǎn), 則一定存在自然邊界條件.

定理2： 函數(shù)k(x)有二級零點(diǎn), 且q2≤0時(shí)存在自然邊界條件.

證明: 為了求解指標(biāo)方程, 先計(jì)算

定理3 函數(shù)k(x)高于二級零點(diǎn).且方程存在有界解時(shí), 有自然邊界條件.

關(guān)于上述定理及其證明方法, 需要說明一下: 1、該定理成立的條件有兩個(gè): 函數(shù)k(x)在求解區(qū)間上存在零點(diǎn)(不需要限制零點(diǎn)的級); S—L方程在該零點(diǎn)處存在一個(gè)有界解.后一個(gè)條件比較強(qiáng).有時(shí)還是不必要的條件.如一級零點(diǎn)的情況; 而對二級零點(diǎn), 只要成立就可以了.2、對于函數(shù)k(x)的高于二級零點(diǎn)的情況, 由于此時(shí)該零點(diǎn)總是S—L方程的非正則奇點(diǎn).因此只能用二階線性常微分方程的解理論來證明.

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Nature boundary condition in Strum-Liouville problem

YANG Zhi-jian
(School of Electrical and Information Engineering, Southwest University for Nationalities, Chengdu 610041, P.R.C.)

This paper studies the several situations that have the nature boundary condition in the Strum-Liouville problem: (1) If there is a first-class zeros point in the function k(x) in x∈[a.b], then there is the nature boundary condition at the zerospoint in Strum-Liouville problem; (2) If there is a second_class zeros point in the function k(x) in x∈[a.b],and there is the condition i.e q-2＜0, then there is the nature boundary condition in Strum-Liouville problem; (3) If there are more second-class zeros point in the function k(x).in x∈[a.b], and there is a finite solution in Strum-Liouville problem, then there is the nature boundary condition at the zeros.

Strum-Liouville problem; eigenvalue problem; separating method; nature boundary condition

O175; O415

A

1003-4271(2014)06-0935-04

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.06.23

2014-08-29

楊志堅(jiān)(1958-), 男, 漢族, 四川人, 副教授.