SIR型傳染病的模糊控制研究

徐永, 曹治清

(成都中醫(yī)藥大學(xué)管理學(xué)院, 四川 成都 611137)

SIR型傳染病的模糊控制研究

徐永, 曹治清

(成都中醫(yī)藥大學(xué)管理學(xué)院, 四川 成都 611137)

根據(jù)已有的SIR型傳染病的微分方程模型, 把具有模糊性的政府采取的控制措施, 信息的發(fā)布力度及隔離強(qiáng)度等轉(zhuǎn)化為傳染病微分方程中的參數(shù)λ, 設(shè)計(jì)了一個(gè)雙輸入單輸出的模糊控制器, 以我國(guó)的甲型H1N1數(shù)據(jù)為例對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行確定, 建立控制規(guī)則并進(jìn)行了仿真分析, 仿真結(jié)果顯示所設(shè)計(jì)的模糊控制系統(tǒng)具有一定的可靠性, 驗(yàn)證了本文方法的可行性, 最后對(duì)自愈率的靈敏度分析表明提高疾病治療的成功率, 可以有效控制疫情的擴(kuò)大傳播和蔓延.

SIR模型; 模糊控制; 甲型H1N1; 靈敏度分析

1 引言

2009年甲型H1N1禽流感的傳播和蔓延以及近兩年H7N9在我國(guó)局部地區(qū)的爆發(fā)給經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、公眾的健康和生活帶來(lái)了影響, 使人們認(rèn)識(shí)到掌握疫情的傳播動(dòng)態(tài)、控制疫情的傳播和蔓延的是政府面臨的一項(xiàng)很急迫的任務(wù)[1].已知一系列的歷史數(shù)據(jù), 文獻(xiàn)[2]根據(jù)微分方程模型建立了SIR型傳染病的預(yù)測(cè)模型, 根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)疫情進(jìn)行控制才是關(guān)鍵.已有的文獻(xiàn)對(duì)SIR型傳染病的控制很少涉及到模糊控制策略, 事實(shí)上控制傳染病的擴(kuò)散與蔓延政府所采取的措施, 比如疫情信息發(fā)布力度, 防治知識(shí)公眾宣傳力度, 公共場(chǎng)所消毒程度以及隔離強(qiáng)度等都具有模糊性, 因此, 建立傳染病的模糊控制模型具有非常重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義.

2 SIR型傳染病模型建立

SIR模型是Kermark和Mckendrick于1927年建立的, 它適用于治愈之后具有較強(qiáng)的免疫力, 不能再次被感染的傳染病模型.

模型的假設(shè)[3-5]:

1)假設(shè)研究地區(qū)總?cè)藬?shù)N不變, 不隨時(shí)間的變化而改變．不考慮死亡率及出生率.把研究人群分為三類: S類為易感染者, I類為已感染者, R類為病愈免疫的移出者.其在總?cè)藬?shù)N中占的比例分別為s(t), i(t), r(t), 即s(t)+i(t)+r(t)=1.

2)設(shè)易感染者人數(shù)隨時(shí)間而變化的變化率與當(dāng)時(shí)易感染者的人數(shù)和當(dāng)時(shí)染病者的人數(shù)之積成正比.

3)設(shè)易感染者類到病愈免疫的移出者類的變化速度與當(dāng)時(shí)已感染者類的人數(shù)成正比.

4)假設(shè)與患者有效接觸的易感染者均會(huì)被傳染.

5)假設(shè)已感染者治愈成功后獲得免疫能力, 不會(huì)被再次感染, 也不會(huì)成為傳染源.

其中β > 0為傳染率, γ > 0為也稱為移出率, 1/γ為傳染病的平均傳染期, ρ=γ/β為相對(duì)移出率.

引理[6-7]不論初始條件s0, i0如何, 病人終將消失, 即

3 甲型H1N1的SIR型模糊控制模型設(shè)計(jì)

甲型H1N1流感的爆發(fā)和蔓延以及近2年H7N9的傳播都給人們的生活帶來(lái)了很大影響, 在沒有較大程度影響人們的正常生活前提下, 政府面對(duì)疫情的傳播所采取的措施, 比如對(duì)已感染者及疑似感染者進(jìn)行隔離的強(qiáng)度, 公共場(chǎng)所進(jìn)行消毒的程度以及疫情信息的發(fā)布和防治知識(shí)公共宣傳力度等都具有一定的模糊性[8,9].而這些具有模糊性措施的實(shí)施反過來(lái)又會(huì)影響到傳染病傳播過程中一個(gè)重要的參數(shù)β的變化.因此本節(jié)設(shè)計(jì)一個(gè)雙輸入單輸出的模糊控制器來(lái)控制傳染病的傳播和蔓延.

3.1 參數(shù)的確定

以2009年我國(guó)爆發(fā)的甲型H1N1為例, 根據(jù)2009年7月1日～2009年8月14日政府公布的甲型H1N1統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)[2], 基準(zhǔn)日7月1日已累計(jì)感染人數(shù)866人, 累計(jì)治愈人數(shù)554人.設(shè)社會(huì)人口總數(shù)為N, Ni(t)=t日累計(jì)感染人數(shù)- t日累計(jì)治愈人數(shù), Nr(t)= t日累計(jì)治愈人數(shù), 故初始條件i0=(866-554)/N=312/N, r0=554/N, s0=1-i0-r0.

在疫情的傳播和蔓延期間, 政府一直沒有找到一種有效的方法治療甲型H1N1, 故治愈率在短期內(nèi)不會(huì)有多大變化.

作最小平方誤差估計(jì)即可得到治愈率的估計(jì)值γ=0.1760.

根據(jù)模型假設(shè), 每個(gè)病人每天可使β(t)s(t)個(gè)健康者被感染[2], 因此,

2009年7月到9月, 我國(guó)甲流感的傳播處于爆發(fā)階段, 確診人數(shù)是呈指數(shù)增長(zhǎng)的, 政府采取的控制措施較強(qiáng),定期對(duì)公共場(chǎng)所進(jìn)行消毒處理, 加強(qiáng)交通檢疫；在媒體上廣泛宣傳甲型H1N1的預(yù)防及防治知識(shí)；在有條件的醫(yī)院設(shè)立發(fā)熱門診, 對(duì)病人進(jìn)行鑒別, 并確定定點(diǎn)醫(yī)院集中收治患者, 防止醫(yī)院內(nèi)感染；對(duì)發(fā)現(xiàn)確診病例的住所附近進(jìn)行封鎖消毒以減少病毒的傳播范圍；對(duì)已確診患者與疑似病人進(jìn)行隔離處理以減少交叉感染等.利用表1的數(shù)據(jù),采用上述公式可以計(jì)算出的一系列離散值.

3.2 模糊控制器的輸入、輸出變量

在傳染病傳播和蔓延的初期, 每天新增感染人數(shù)和累計(jì)感染人數(shù)都比較少, 則政府采取的控制措施就比較弱；在傳染病傳播的爆發(fā)階段, 每天新增的感染人數(shù)和已感染人數(shù)逐步增多, 則政府采取的控制措施也會(huì)逐步加強(qiáng)；在傳染病傳播的高潮階段, 每天新增的感染者人數(shù)和已感染者人數(shù)都很大, 政府采取的控制措施也最強(qiáng)[10,11].因此設(shè)模糊控制器的輸入為新增感染人數(shù)Δi(t)和已感染人數(shù)i(t).

政府采取的控制措施都是模糊變量, 他們決定了SIR型傳染病傳播動(dòng)力學(xué)模型中的參數(shù)λ(其中λ=βs), 因此設(shè)參數(shù)λ為模糊控制器的輸出.

3.3 輸入、輸出的模糊化

圖1 輸入1隸屬度函數(shù)Fig.1 Input 1 membership function

圖2 輸入2隸屬度函數(shù)Fig.2 Input 2 membership function

圖3 輸出隸屬度函數(shù)Fig.3 Output membership function

3.4 模糊規(guī)則

模糊控制器的輸出取決于政府采取的控制措施, 而模糊控制器的輸入又決定了政府所采取的控制措施.根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn), 建立如下規(guī)則庫(kù):

表1 模糊控制器的規(guī)則庫(kù)Table 1 The rules of fuzzy controller

3.5 系統(tǒng)仿真

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的甲型H1N1模糊控制系統(tǒng)的有效性, 我們以7月1日為基準(zhǔn)的數(shù)據(jù)作為模糊控制系統(tǒng)的輸入,利用傳染病模型的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行求解, 進(jìn)而仿真出傳染病的傳播蔓延情況.

模糊控制系統(tǒng)的初始輸入Δi(t)=56, i(t)=866-554=312, 仿真步長(zhǎng)為0.05s, 仿真結(jié)果如下圖, 其中, 圖4中的圓圈及圖5中的折線代表的是實(shí)際公布數(shù)據(jù).

圖4 累計(jì)感染人數(shù)與實(shí)際值對(duì)比圖Fig.4 Cumulative compared with the actual

圖5 每天新增感染人數(shù)與實(shí)際值對(duì)比圖 Fig.5 New infections compared with actual

從以上圖中可以看出, 隨著時(shí)間的增加, 累計(jì)感染人數(shù)及每天新增人數(shù)都比實(shí)際值偏小, 這說(shuō)明所設(shè)計(jì)的模糊控制器的控制措施確實(shí)可以限制疫情的傳播和蔓延, 同時(shí), 仿真結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)也具有較好的吻合性, 這表明本文所采用的參數(shù)和模糊控制模型都是正確可靠的.

3.6 治愈率的靈敏度分析

由傳染病的微分方程模型可知, 治愈率越高, 政府越能控制疫情的傳播和蔓延.在MATLAB中畫出治愈率分別為0.1760, 0.2, 0.3情況下, 累計(jì)確診人數(shù)對(duì)比圖, 仿真結(jié)果如下:

圖6 不同治愈率下累計(jì)感染者人數(shù)對(duì)比圖Fig.6 Contrast figure of different cure rate

分析圖6可知, 從7月1日到8月14日這段時(shí)間, 我國(guó)甲型H1N1的累計(jì)確診人數(shù)在逐步增長(zhǎng), 但不同的治愈率, 累計(jì)感染者人數(shù)的增長(zhǎng)速度是不同的.治愈率越大, 累計(jì)感染者人數(shù)增長(zhǎng)的越小.圖中, 治愈率為0.25時(shí)的增長(zhǎng)比較平緩, 最緩慢, 治愈率為0.176時(shí)的增長(zhǎng)最快.由此分析, 在傳染病的傳播和蔓延過程中, 一定要增加科研攻關(guān)上的投入, 以提高疾病治療的成功率, 進(jìn)而控制疫情的擴(kuò)大傳播和蔓延, 這也是政府需要采取的控制措施之一.

4 結(jié)論

近年來(lái), 隨著環(huán)境的惡化, 人類一直在同傳染病做斗爭(zhēng).通過建立傳染病的動(dòng)力學(xué)模型及設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制傳染病蔓延的系統(tǒng)一直是傳染病理論研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn)[14,15].本文的特點(diǎn)是把模糊控制應(yīng)用到傳染病模型上,把具有模糊性的政府采取的控制措施, 比如對(duì)已感染者及疑似感染者進(jìn)行隔離的強(qiáng)度, 公共場(chǎng)所的消毒程度以及疫情信息的發(fā)布力度等轉(zhuǎn)化為傳染病微分方程中的參數(shù)λ, 利用最小二乘法擬合出參數(shù)λ的一系列離散值, 建立了一個(gè)雙輸入單輸出的模糊控制器, 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)建立控制規(guī)則, 并對(duì)模型進(jìn)行求解及仿真分析, 結(jié)果表明本文的工作具有一定的可行性.最后對(duì)自愈率進(jìn)行靈敏度分析, 結(jié)果表明提高自愈率可以有效的控制感染者的增長(zhǎng)速度, 進(jìn)而有效控制傳染病的傳播和蔓延, 因此在傳染病傳播和蔓延的過程中, 政府一定要增加對(duì)科研上的投入力度.需要強(qiáng)調(diào)的是本文也只是對(duì)SIR型傳染病模型進(jìn)行了初步的理論研究, 還有很多問題需要進(jìn)一步的工作來(lái)完善.

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Fuzzy control research of SIR epidemic model

XU Yong, CAO Zhi-qing
(Department of Management, Chengdu University of Traditional Chinese Medicine, Chengdu 611137, P.R.C.)

First, based on SIR differential model for the spread of epidemic, this paper tries to convert the fuzziness of the government's control measures such as the strength of the information release and isolation to the value of parameter λ.It also designs a dual input and single output fuzzy controller, using data of H1N1 as an example to determine the parameters in the model, and at the same time carries on the simulation analysis. The simulation results show that the design of fuzzy control system has a certain reliability.The feasibility of the method is verified. Finally, the healing rate sensitivity analysis shows that to improve the success rate of treatment of disease can effectively control the spread of the epidemic and the spread of the expansion.

SIR epidemic model; fuzzy control; H1N1; sensitivity analysis

O159

A

1003-4271(2014)06-0916-05

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.06.20

2014-07-04

徐永(1981-), 男, 漢族, 安徽懷遠(yuǎn)人, 講師, 碩士.