理賠量具有一階自回歸結(jié)構(gòu)的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題

于莉,詹曉琳,黃水弟

(1.合肥工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,合肥230009;2.上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

理賠量具有一階自回歸結(jié)構(gòu)的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題

于莉1,詹曉琳2,黃水弟1

(1.合肥工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,合肥230009;2.上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

在理賠量具有一階自回歸的情形下,討論修正的經(jīng)典的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型。利用遞推形式和數(shù)學(xué)歸納法得出了破產(chǎn)前盈余的分布,破產(chǎn)前最大盈余的分布,以及破產(chǎn)前盈余、破產(chǎn)后赤字、破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布的遞推式。

離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型;一階自回歸;破產(chǎn)前盈余;破產(chǎn)前最大盈余;破產(chǎn)后赤字;分布

0 引言

早在1986年,BOWERS等[1]就對(duì)離散時(shí)間的保險(xiǎn)模型進(jìn)行了討論。譚激揚(yáng)等[2]研究了在保費(fèi)和理賠量都取整數(shù)值時(shí),離散復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率問題。楊善朝[3]研究了理賠量是隨機(jī)變量的復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型下破產(chǎn)概率ψ(0)的近似計(jì)算公式。孫立娟等[4]討論了常利率的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的一些破產(chǎn)分布。于莉等[5]討論了在利率為獨(dú)立同分布條件下的破產(chǎn)前最大盈余、破產(chǎn)赤字、破產(chǎn)前一時(shí)刻的盈余分布與破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間分布的遞推公式。于莉等[6-7]在利率具有一階自回歸結(jié)構(gòu)下給出了一些諸如破產(chǎn)前一刻的盈余分布和破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間分布的破產(chǎn)分布。魏瑛源等[8]利用鞅方法得到了當(dāng)理賠總量滿足一階自回歸模型AR(1)時(shí)最終破產(chǎn)概率的Lundberg上界。YANG[9]給出了帶有利率的離散時(shí)間模型破產(chǎn)概率的非指數(shù)上界。CAI[10]討論了相依利率下破產(chǎn)概率的一些結(jié)果。XU等[11]在利率為馬氏鏈凈損失為一階自回歸的離散模型下討論了破產(chǎn)概率。GERBER[12]討論了線性的破產(chǎn)理論。CHENG等[13]考慮了當(dāng)理賠、保費(fèi)和利率均為一階自回歸的基礎(chǔ)上獲得的破產(chǎn)概率滿足的微分方程,沒有討論其他破產(chǎn)問題。本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上通過遞推和數(shù)學(xué)歸納法,得出了描述破產(chǎn)嚴(yán)重程度的破產(chǎn)前盈余分布,破產(chǎn)前最大盈余分布,以及破產(chǎn)前盈余、破產(chǎn)后赤字、破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布。

記Un為保險(xiǎn)公司在n(n=0,1,2,···)時(shí)刻的盈余,滿足

式中:u=U0表示保險(xiǎn)公司的初始盈余;c為常數(shù),表示單位時(shí)期(不失一般性,可假設(shè)單位時(shí)間區(qū)間(n-1,n]為第n個(gè)單位時(shí)期)內(nèi)保費(fèi)的收取量;Sn為前n個(gè)單位時(shí)期的理賠總量,并假設(shè)

Yi為第i單位時(shí)期的理賠總量,且滿足一階自回歸模型AR(1)-1＜a＜1,W1,W2,···為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,E[Wi]＜(1-a)c。如果Y0=y0,則完全決定了Yi的AR(1)模型。當(dāng)a=0時(shí),式(1)即為經(jīng)典的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型。

魏瑛源等[8]通過遞推公式(3)對(duì)式(1)進(jìn)行修正,并通過引入修正初始盈余和修正理賠總量的概念,得到修正的經(jīng)典離散風(fēng)險(xiǎn)模型

破產(chǎn)時(shí)刻即保險(xiǎn)公司的首次盈余小于零的時(shí)刻,則式(4)的破產(chǎn)時(shí)刻為

顯然ˉT為停時(shí)。本文將討論在修正的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型下,描述保險(xiǎn)公司破產(chǎn)嚴(yán)重程度的破產(chǎn)前盈余分布,破產(chǎn)前最大盈余分布,以及破產(chǎn)前盈余、破產(chǎn)后赤字與破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布。

1 破產(chǎn)前盈余的分布

保險(xiǎn)公司的財(cái)務(wù)狀況以及償付能力是保險(xiǎn)人和投保人都十分關(guān)心的問題,為了弄清楚保險(xiǎn)公司出現(xiàn)入不敷出的實(shí)際狀況,研究破產(chǎn)前瞬時(shí)保險(xiǎn)公司的盈余情況是非常必要的。1988年Dufresne和Gerber首次引入描述破產(chǎn)前盈余分布狀況的函數(shù),有關(guān)問題立即成為破產(chǎn)理論中的重要研究論題。本節(jié)在理賠量具有一階自回歸的結(jié)構(gòu)下,對(duì)這一問題進(jìn)行討論。

引入函數(shù)F(ˉu,x),定義為

F(ˉu,x)描述了準(zhǔn)備金為ˉu時(shí)破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余大于x的概率,由式(6),有

式中,gn(ˉu,x)是破產(chǎn)時(shí)刻為n的瞬時(shí)盈余大于x的概率。則

同理

注意,式(9)最后一個(gè)等號(hào)后的第二項(xiàng)為0,這是由于在該項(xiàng)中w∈[ˉu+c-x,ˉu+c)即x＞ˉu+c-w＞0,由式(8)可知此時(shí)g1(ˉu+c-w,x)=0。由此,式(9)成為

類似地,有

由數(shù)學(xué)歸納得到,對(duì)于n≥2,有

式中,g1(ˉu,x)由式(8)給出。

2 破產(chǎn)前最大盈余的分布

了解保險(xiǎn)公司在破產(chǎn)前最大盈余的分布,適時(shí)地將保險(xiǎn)進(jìn)行投資,對(duì)于增加保險(xiǎn)公司的收入以及增強(qiáng)保險(xiǎn)公司的償付能力都是十分必要的。本節(jié)在理賠量具有一階自回歸的結(jié)構(gòu)下,對(duì)這一問題進(jìn)行討論。

定義初始資本為ˉu時(shí)破產(chǎn)前最大盈余分布函數(shù)為

當(dāng)x＜ˉu時(shí),顯然有H(ˉu,x)=0,故只需討論x≥ˉu的情形。由式(14)可得

式中,hn(ˉu,x)是破產(chǎn)時(shí)刻為n的破產(chǎn)前最大盈余分布,并約定ˉS0≡0。

由定義得

類似地,有

由數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)于n≥2,有

式(20)即為保險(xiǎn)公司在破產(chǎn)前最大盈余所滿足的積分方程。

3 破產(chǎn)前盈余、破產(chǎn)后赤字與破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布

對(duì)x＞0,y＞0,z＞0,定義

為破產(chǎn)前盈余、破產(chǎn)后赤字與破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布,這里停時(shí)ˉT為破產(chǎn)時(shí)間。

顯然當(dāng)z＜ˉu時(shí),D(ˉu,x,y,z)=0。以下只對(duì)z≥ˉu的情況作討論。

(1)首先當(dāng)x≤z時(shí),由式(21),有

在ˉT=n時(shí),破產(chǎn)前盈余、破產(chǎn)后赤字與破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布為

采用遞推算法,當(dāng)n=1,2時(shí)

注意,式(25)最后一個(gè)等號(hào)后的第二項(xiàng)為0,這是由于在該項(xiàng)w∈[ˉu+c-z,ˉu+c-x)即x＜ˉu+c-w＞0,由式(24)可知,此時(shí)C1(ˉu+c-w,x,y,z)=0。故式(25)成為

類似地,有

由數(shù)學(xué)歸納法得,對(duì)n≥2,有

由式(22)、式(24)、式(28)知,

(2)對(duì)于x＞z的情形,由于

所以,有

這時(shí)D(ˉu,x,y,z)實(shí)際上描述了破產(chǎn)后赤字與破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布,記為D(ˉu,y,z)。與前面的推理完全類似,由數(shù)學(xué)歸納法可以得到

4 結(jié)論

本文給出了在經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型下當(dāng)理賠量為一階自回歸結(jié)構(gòu)時(shí)的破產(chǎn)前盈余分布,破產(chǎn)前最大盈余分布,以及破產(chǎn)前盈余、破產(chǎn)后赤字、破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布滿足的積分公式。在此想法的基礎(chǔ)上,今后還可以在一般的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型和廣義的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型下給出一些類似的問題進(jìn)行討論。在本文所滿足的關(guān)系式中,如果能夠收集到某一時(shí)刻某一保險(xiǎn)公司的初始盈余、滿足一階自回歸結(jié)構(gòu)的理賠量的實(shí)際值,則可以通過實(shí)際數(shù)值的擬合,來對(duì)所得到的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證,這將使結(jié)論更具有實(shí)際意義。

[1]BOWERS N L,GERBER H U,HICKMAN J C,et al.Actuarial mathematics[M].Itasca Illinois:Society of Actuaries,1986.

[2]譚激揚(yáng),楊善朝.離散時(shí)間的雙Poisson模型的破產(chǎn)問題[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2005,2(3):235-243.

[3]楊善朝.復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率ψ(0)的近似計(jì)算[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào).2003,21(4):48-52.

[4]孫立娟,顧嵐,劉立新.離散時(shí)間模型下最大赤字問題[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2001,18(4):1-9.

[5]于莉,詹曉琳.帶有變利率的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)分布[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2009,32(2):273-277.

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[7]孔繁超,于莉.具有相依利息率的離散時(shí)間保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題[J].高校應(yīng)用學(xué)報(bào),2005,20(3):320-326. [8]魏瑛源,唐應(yīng)輝.離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣研究[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),2006,35(3):426-428．

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Ruin Problems for the Discrete Time Insurance Risk Model with AR(1)Claim Sizes

YU Li1,ZHAN Xiao-lin2,HUANG Shui-di1
(1.School of Science,Hefei University of Technology,Hefei 230009,P.R.China;2.School of Science,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China)

The modifed classical discrete time insurance risk model with AR(1)claim sizes was discussed.Using recursive method and mathematical induction,recursive expressions about the distribution of surplus before ruin and maximum surplus before ruin,as well as the recursive expressions of the joint distribution of surplus before ruin,defcit after ruin,and the maximum surplus before ruin were derived.

discrete time insurance risk model;AR(1);surplus before ruin;maximum surplus before ruin;defcit after ruin;distribution

O211

:A

會(huì)展經(jīng)濟(jì)研究組織召開專題座談活動(dòng)

1001-4543(2014)01-0061-06

2013-08-20;

2014-02-27

詹曉琳(1978–),女,安徽蚌埠人,副教授,碩士研究生,主要研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì),電子郵箱xlzhan@sf.sspu.cn。

簡(jiǎn)訊

2014年2月26日上午,會(huì)展經(jīng)濟(jì)研究所在圖文信息中心賞寶廳舉行專題座談活動(dòng)。本次活動(dòng)是應(yīng)曙光研究院2014年度“走群眾路線”系列活動(dòng)要求,主要圍繞會(huì)展青年教師實(shí)際需求展開,通過面對(duì)面的交流與暢談,深入細(xì)致了解會(huì)展青年教師們的真實(shí)想法以及對(duì)會(huì)展研究所和曙光研究院的期望,增進(jìn)了解同時(shí)促使會(huì)展經(jīng)濟(jì)研究和曙光研究院本年度工作計(jì)劃更貼近實(shí)際、解決教師所需?；顒?dòng)由會(huì)展經(jīng)濟(jì)研究所所長(zhǎng)辜應(yīng)康老師主持,曙光研究院郝皓院長(zhǎng)、張淑平副院長(zhǎng)、于偉副院長(zhǎng)、徐愛萍老師以及會(huì)展經(jīng)濟(jì)研究所全體青年教師出席了活動(dòng)。郝皓老師首先就曙光研究院定位、宗旨、發(fā)展歷程以及學(xué)校對(duì)研究院的新要求進(jìn)行了闡釋,張淑平老師和于偉老師作了補(bǔ)充。然后會(huì)展經(jīng)濟(jì)研究所每位青年教師就各自學(xué)習(xí)、工作和研究經(jīng)歷進(jìn)行了介紹和交流,同時(shí)就學(xué)歷晉升、職稱評(píng)定、專業(yè)培訓(xùn)、個(gè)人發(fā)展、研究方法等方面進(jìn)行了熱烈討論并與曙光研究院領(lǐng)導(dǎo)和老師進(jìn)行了積極互動(dòng),提出了很多很好的意見和建議,對(duì)進(jìn)一步優(yōu)化和落實(shí)會(huì)展經(jīng)濟(jì)研究所和曙光研究院本年度工作意義重大。