一類具有范數(shù)有界不確定性的非線性時(shí)滯系統(tǒng)的控制

劉碧玉，馮良文，胡順新，顏愛民，王曉麗，劉建剛

（1.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長沙 410083；2.中南大學(xué)商學(xué)院，湖南長沙 410083；3.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙 410083）

0 引 言

1 系統(tǒng)描述

考慮如下滿足Liptchitz條件且具有范數(shù)有界不確定性的非線性時(shí)滯系統(tǒng)

式中：x（t）∈Rn，u（t）∈Rm，z（t）∈Rm1，w（t）∈Rm2分別是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，控制輸入向量，被控輸出向量，干擾輸入向量，A，A d，B，C，D，D1為適當(dāng)維數(shù)的已知實(shí)常矩陣，ΔA，ΔA d，ΔB，ΔC，ΔD，ΔD1是具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)函數(shù)矩陣，表示系統(tǒng)的不確定性，且這些參數(shù)矩陣范數(shù)有界并滿足

式中：H1，H2，E1，E2，E3，E4是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.M（t）∈Ri×j是一個(gè)具有Lebesgue可測元的未知矩陣函數(shù)，且滿足

式中：I表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣；d（t）為系統(tǒng)狀態(tài)滯后，且存在正實(shí)數(shù)τ，v，使得對所有的時(shí)間t滿足

引理1 函數(shù)f（x）是滿足條件的，即對任意的x∈Rn和∈Rn，都存在一個(gè)常數(shù)矩陣L，使得式（6）成立

引理3［13］設(shè)X，Y，Z是給定的k×k階實(shí)對稱矩陣，滿足X0，且對xTZx0的所有非零向量x∈Rk，有

則存在常數(shù)λ0，使得式（7）成立

假設(shè)1 設(shè)計(jì)一個(gè)線性狀態(tài)反饋控制律

當(dāng)w（t）＝0時(shí)，得到系統(tǒng)（1）的閉環(huán)系統(tǒng)

定義1 （H∞－γ控制）對于閉環(huán)系統(tǒng)（9），尋找所有真的實(shí)有理控制器K，使閉環(huán)控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定，且閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣T zw（s）的H∞范數(shù)小于一個(gè)給定的常數(shù)γ＜0，即

注：G（s）∈H∞為系數(shù)的傳遞函數(shù)矩陣，z＝G（s）w為系統(tǒng)的輸出.

2 主要結(jié)果

定理2.1 針對非線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)（1），給定正標(biāo)量τ＞0和v＜1，如果存在n×n階正定對稱矩陣P＝PT＞0，R1＝0，R2＝＞0，以及適當(dāng)維數(shù)矩陣N i，T i（i＝1，2，3，4），使得式（10）矩陣不等式成立

則稱系統(tǒng)式（9）在滿足條件式（4）和式（5）下是魯棒二次穩(wěn)定的.其中

證明：構(gòu)造如下Lyapunov泛函

對于任意的w（t）∈L2［0，＋∞）且w（t）≠0時(shí)，有如下定理：

定理2.2 系統(tǒng)式（1）是具有H∞性能γ當(dāng)且僅當(dāng)存在適當(dāng)維數(shù)矩陣N i，T i，S i（i＝1，2，3，4，5），Q及正定對稱矩陣P＝PT＞0，R1＝0，R2＝＞0和標(biāo)量α＞0，β＞0使得式（18）成立

而且如果式（18）滿足，則狀態(tài)反饋控制器

為一魯棒H∞－γ鎮(zhèn)定控制器.

證明 對任意滿足式（3）的不確定性M（t），構(gòu)造同定理2.1的Lyapunov泛涵，并且令

取Ψ＝zT（t）z（t）－γ2wT（t）w（t）＋V′（x（t））.

將式（12）～式（14）改動(dòng)如下

由schur補(bǔ)可知Θ等價(jià)于下面矩陣不等式

顯然，式（23）等價(jià)于任意具有適當(dāng)維數(shù)的非零向量ζ，式（24）滿足

其中標(biāo)稱項(xiàng)

時(shí)式（24）左邊取最大值，此時(shí)需滿足

注：通過求解以下的凸優(yōu)化問題，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)最優(yōu)的H∞性能指標(biāo)γ＊以及相應(yīng)的魯棒H∞－γ控制器.

3 數(shù)值仿真

利用Matlab軟件求解凸優(yōu)化問題（33）即可得到范數(shù)有界不確定性的非線性時(shí)滯系統(tǒng)的最優(yōu)H∞－γ控制器u＊＝－0.498 2x1＋0.001 8x2，相應(yīng)的干擾抑制度為γ＊＝1.340 636e－005.

4 結(jié) 論

本文結(jié)合自由權(quán)矩陣，牛頓－萊布尼茲公式，給出了范數(shù)有界不確定性系統(tǒng)的魯棒控制二次穩(wěn)定的充分條件，但是本文采用的是線性狀態(tài)反饋，而實(shí)際中的狀態(tài)反饋多為非線性的，此外本文中時(shí)滯的范圍有些寬，實(shí)際系統(tǒng)中時(shí)滯一般是大于零的，即時(shí)滯的范圍要小些，對于這些問題還需進(jìn)一步研究.

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