狀態(tài)跟蹤問(wèn)題的切換自適應(yīng)控制策略

伍彩云,關(guān) 帥

(1.沈陽(yáng)理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 100159； 2.海軍駐沈陽(yáng)彈藥專業(yè)代表室，遼寧 沈陽(yáng) 110045)

在具有未知干擾輸入的模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)中，往往首先給定與理想控制器結(jié)構(gòu)相同參數(shù)可調(diào)的自適應(yīng)控制器，通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律在線調(diào)節(jié)自適應(yīng)控制器的參數(shù)，使其逼近理想控制器效果，最終實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)能夠跟蹤參考模型狀態(tài)，使得狀態(tài)跟蹤誤差收斂[1]。與傳統(tǒng)控制的主要區(qū)別在于其存在自適應(yīng)機(jī)制，在被控系統(tǒng)參數(shù)漂移和未知的情況下,可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度和暫態(tài)性能[2]。目前一般采用李雅普諾夫理論、超穩(wěn)定性理論和耗散理論等方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律，主要目的是確保閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)有界的同時(shí)，也可以使?fàn)顟B(tài)跟蹤誤差收斂到零[3]。

一般情況下，一旦系統(tǒng)發(fā)生變化，其相應(yīng)的自適應(yīng)控制律需要重新設(shè)計(jì)。但是，在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于硬件實(shí)現(xiàn)及環(huán)境因素等方面的制約，系統(tǒng)相應(yīng)的自適應(yīng)控制律一旦設(shè)計(jì)使用之后，就不再便于重新設(shè)計(jì)和修改[4]。另外，有時(shí)通過(guò)理論所設(shè)計(jì)的單一自適應(yīng)控制律的形式太過(guò)復(fù)雜，不便于硬件實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，需要考慮利用已有的多個(gè)自適應(yīng)控制律，使用多控制器的方法，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)跟蹤。

多控制器方法之所以重要主要在于以下幾個(gè)方面：首先，在傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)中，由于理論上所設(shè)計(jì)的單一的傳統(tǒng)(連續(xù)或離散)控制器往往比較復(fù)雜，傳感器和執(zhí)行器的硬件實(shí)現(xiàn)受到一定的限制，導(dǎo)致該單一控制器難以在實(shí)際中得以使用，此時(shí)通過(guò)設(shè)計(jì)多個(gè)控制器切換實(shí)現(xiàn)單一控制器的功能[5]；其次，當(dāng)單一傳統(tǒng)控制器或多個(gè)控制器分別無(wú)法鎮(zhèn)定系統(tǒng)時(shí)，此時(shí)設(shè)計(jì)多個(gè)控制器及切換律或在有限個(gè)給定的控制器之間切換，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定[6-7]。目前，多控制器切換作為一種混雜控制方式已經(jīng)被應(yīng)用到車輛控制[8]、機(jī)器人控制[9]、液壓控制[10]以及交通控制[11]等方面。

對(duì)自適應(yīng)控制系統(tǒng)，切換控制可以解決參數(shù)估計(jì)自適應(yīng)控制中的穩(wěn)定性和參數(shù)快變的問(wèn)題。目前，切換自適應(yīng)控制的研究以多模自適應(yīng)控制為主，即為了改良自適應(yīng)控制的暫態(tài)性能，通過(guò)對(duì)一個(gè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)多個(gè)自適應(yīng)控制器，根據(jù)每個(gè)控制器參數(shù)收斂程度來(lái)作為切換規(guī)則，其閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)質(zhì)為切換系統(tǒng)[12]。在模型參考自適應(yīng)控制方面，對(duì)切換的系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，對(duì)非切換的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)多個(gè)自適應(yīng)控制器及切換律，都可實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)或者輸出跟蹤。但是，給定系統(tǒng)及有限個(gè)自適應(yīng)控制律，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器切換律，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)跟蹤。針對(duì)此類問(wèn)題，尚未見相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。

本文研究模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤問(wèn)題。當(dāng)系統(tǒng)具有未知干擾輸入時(shí)，考慮只允許使用有限個(gè)已知的自適應(yīng)控制律，其任何一個(gè)都無(wú)法解決系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤問(wèn)題，此時(shí)，采用自適應(yīng)控制律凸組合的方法，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,給出了一些充分條件，設(shè)計(jì)切換律，解決閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤問(wèn)題。

本文結(jié)果的主要特點(diǎn)在于，使用給定的有限個(gè)自適應(yīng)控制律，設(shè)計(jì)切換律，解決狀態(tài)跟蹤問(wèn)題。此外，該方法能夠有效解決對(duì)于不同的系統(tǒng)，其相應(yīng)的自適應(yīng)控制律需要重新設(shè)計(jì)的問(wèn)題，使模型參考自適應(yīng)控制理論得到更廣泛的應(yīng)用。

1 問(wèn)題描述

考慮系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)已知的線性系統(tǒng),其狀態(tài)方程為

(1)

式中:假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)x(t)∈Rn可測(cè);u(t)∈R為系統(tǒng)的控制輸入;A∈Rn×n和B∈Rn是具有未知常參數(shù)的矩陣;d(t)∈R為系統(tǒng)的擾動(dòng)輸入。

(2)

式中:d0和dj是未知常參數(shù);gj(t)是已知有界連續(xù)函數(shù)，j=1,2,…,M,且M>0。控制的目的是使系統(tǒng)(1)的狀態(tài)能夠跟蹤某個(gè)參考模型的狀態(tài)。

參考模型的狀態(tài)方程為

(3)

式中:xm(t)∈Rn是參考模型的狀態(tài)；Am∈Rn×n是Hurwitz矩陣；Bm∈Rn；r(t)∈R為輸入信號(hào)。

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)x(t)能夠跟蹤參考模型(3)的狀態(tài)xm(t),定義系統(tǒng)的狀態(tài)誤差向量

e=x-xm

(4)

為達(dá)到狀態(tài)跟蹤的目的，引入可調(diào)的前饋增益矩陣K(t)∈R、反饋補(bǔ)償矩陣F(t)∈R1×n和擾動(dòng)補(bǔ)償矩陣h(t)∈R，即：

u=K(t)r+F(t)x+h(t)

(5)

(6)

將式(2)、(5)和(6)代入式(1)，可得閉環(huán)系統(tǒng)

(7)

由式(4)可得系統(tǒng)狀態(tài)誤差的動(dòng)態(tài)方程

(8)

當(dāng)滿足匹配條件

Am=A+BF*

Bm=BK*

(9)

(10)

式中RF、BK、Rh0、Rhj和P為正定對(duì)稱矩陣。

此時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)誤差動(dòng)態(tài)方程為

(11)

本文考慮以下問(wèn)題。給定有限組自適應(yīng)律，其中任何一組都無(wú)法滿足匹配條件(9)，在不允許重新設(shè)計(jì)自適應(yīng)律的條件下，如何設(shè)計(jì)自適應(yīng)律的切換律，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤。即，給定多組自適應(yīng)律

(12)

2 主要結(jié)果

本節(jié)將運(yùn)用凸組合方法，對(duì)自適應(yīng)律設(shè)計(jì)切換律。

定理1

(13)

則可以設(shè)計(jì)切換律，使得系統(tǒng)(1)在給定控制器(5)、(6)和(12)的作用下，其閉環(huán)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)x(t)能夠漸近跟蹤參考模型(3)的狀態(tài)xm(t)。

證明：利用凸組合構(gòu)造誤差增廣系統(tǒng)

(14)

(15)

式(15)是關(guān)于自適應(yīng)律(12)的凸組合。

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

(16)

顯然V>0。對(duì)式(16)沿著誤差增廣系統(tǒng)(14)和(15)取時(shí)間導(dǎo)數(shù)，有

(17)

由于

故式(17)又可以寫成

(18)

(19)

現(xiàn)在，對(duì)誤差系統(tǒng)(11)和(12)，考慮李雅普諾夫函數(shù)

(20)

當(dāng)?shù)趕個(gè)自適應(yīng)律被激活時(shí)，對(duì)式(20)沿著誤差系統(tǒng)(11)和(12)取時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

(21)

(22)

注1：對(duì)給定的自適應(yīng)律(12)，如果存在一個(gè)l∈N，使得第l個(gè)自適應(yīng)律滿足式(9)，那么第l個(gè)自適應(yīng)律可以解決狀態(tài)跟蹤問(wèn)題。此時(shí)，可以選擇αl=1,αk=0,l≠k此時(shí)定理1退化為中形式。

注2：當(dāng)N=1時(shí)，該問(wèn)題退化為傳統(tǒng)單個(gè)控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。

3 仿真算例

考慮如下系統(tǒng)

其中系統(tǒng)的擾動(dòng)輸入為

d=0.001+0.01sin(0.001πt)+0.001sin(0.002πt)

參考模型為

本文研究當(dāng)每個(gè)自適應(yīng)律無(wú)法實(shí)現(xiàn)狀態(tài)跟蹤的情況下，通過(guò)設(shè)計(jì)切換信號(hào)實(shí)現(xiàn)切換系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤。因此，仿真中，在滿足自適應(yīng)律1和自適應(yīng)律2對(duì)系統(tǒng)(1)、參考模型(2)和控制器(5)分別無(wú)法實(shí)現(xiàn)狀態(tài)跟蹤的條件下，選擇自適應(yīng)控制律調(diào)節(jié)矩陣分別為

其中，自適應(yīng)律Ⅰ(i=1)為

Γ1=[49.4 49.4],Φ1=[4 4]

Ω1=[10 10],Ψ11=[40 40],Ψ12=[20 20]

自適應(yīng)律Ⅱ(i=1)為

Γ2=[0.15 0.15],Φ2=[1.5 1.5],Ω2=[3.75 3.75],Ψ21=[15 15],Ψ22=[7.5 7.5]

下面分別對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行仿真，具體仿真的軟硬件環(huán)境為：intel(R)Core(TM)i5-2400 CPU、4GB內(nèi)存、Windows 7操作系統(tǒng)、Matlab 7仿真軟件，仿真時(shí)間選取0～60s.仿真的系統(tǒng)框圖如圖1所示。本文通過(guò)編寫程序進(jìn)行仿真，仿真界面如圖2所示。具體結(jié)果如圖3～7所示。圖中r(t)為參考模型輸入信號(hào)，u(t)為系統(tǒng)的控制輸入，d(t)為系統(tǒng)的擾動(dòng)輸入，e(t)為狀態(tài)跟蹤誤差。

圖1 系統(tǒng)框圖

圖2 仿真操作界面

圖3和圖4為兩個(gè)自適應(yīng)律分別作用在閉環(huán)系統(tǒng)后的狀態(tài)跟蹤誤差仿真曲線。從圖3和圖4可以看出，在任何單個(gè)自適應(yīng)控制律單獨(dú)作用于閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤誤差沒(méi)有收斂，即，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)無(wú)法跟蹤參考模型狀態(tài)。

圖3 狀態(tài)跟蹤誤差(自適應(yīng)律1(i=2))

圖4 狀態(tài)跟蹤誤差(自適應(yīng)律2(i=2))

根據(jù)式(22)，得到切換信號(hào)如圖5所示。

圖5 切換信號(hào)

在該切換信號(hào)作用下，仿真得到切換控制曲線如圖6所示。

圖6 控制曲線

從圖6可以看出，自適應(yīng)控制律是切換的，由此導(dǎo)致對(duì)系統(tǒng)施加的控制作用也是切換的，從而得到整個(gè)切換系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤誤差曲線如圖7所示。

圖7 切換系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差(切換情況)

從圖7中看出，該閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)誤差是收斂的，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)可以跟蹤參考模型的狀態(tài)，說(shuō)明了該方法的有效性。

4 結(jié)論

本文研究了模型參考自適控制系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤問(wèn)題。對(duì)給定的系統(tǒng)及有限多個(gè)自適應(yīng)律，本文給出了一些充分條件，設(shè)計(jì)了切換律，通過(guò)自適應(yīng)律切換，解決了閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤問(wèn)題。

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