追根究因 方能明理——一道中考選擇題的錯(cuò)因分析

☉浙江省寧波市寧波東海實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳明儒

追根究因 方能明理
——一道中考選擇題的錯(cuò)因分析

☉浙江省寧波市寧波東海實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳明儒

一、緣起

暑假初中數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)會(huì)上，其中區(qū)內(nèi)有位Z教師發(fā)言，主題是關(guān)于2013年寧波市中考數(shù)學(xué)卷的評(píng)價(jià)，在講到第12題（選擇題）時(shí)，介紹了兩種解法，實(shí)錄如下.

題目：7張如圖1所示的長(zhǎng)為a，寬為b（a＞b）的小長(zhǎng)方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示，設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a、b滿足（ ）.

圖1

圖2

解法1：如圖2，記左上角陰影部分的面積與右下角陰影部分的面積分別為S1、S2，AG=x.S=S1-S2，AD=BC=x+a，EC=x+a-4b.S1=3bx，S2=a（x+a-4b）.因此，S=S1-S2=3bx-a（x+a-4b）.由題意知：當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，x也隨之改變，現(xiàn)不妨取x=a，x=2a，因?yàn)镾始終保持不變，所以，3ab-a（a+a-4b）=6ab-a（2a+a-4b），整理得a2-3ab=0，解得a=0或a=3b.

因?yàn)閍≠0，則a、b必須滿足a=3b.因此，選B.

解法2：前面部分同解法1，不妨取x=a，x=4b，則3ab-a（a+a-4b）=12b2-a（4b+a-4b），整理得a2-7ab+12b2=0，解得a=3b或a=4b.所以，問(wèn)題的答案是：B或D.而試卷的標(biāo)準(zhǔn)答案是B，Z教師發(fā)現(xiàn)解法2有問(wèn)題，但問(wèn)題究竟出在哪里呢？他就征詢下面聽(tīng)課的老師：“解法2錯(cuò)在哪里？”

二、探究

讀者不難發(fā)現(xiàn)，解法1與解法2一脈同源，那么問(wèn)題究竟出在哪里呢？這個(gè)問(wèn)題引起了筆者的思考與探究.首先，想到將兩個(gè)答案中的等量關(guān)系分別代入圖2檢驗(yàn).

當(dāng)a=3b時(shí)，將左上角陰影部分平移至右上角（如圖3），發(fā)現(xiàn)上下兩個(gè)黑色矩形一邊相等且都為3b，另一邊長(zhǎng)始終相差b，則對(duì)應(yīng)的面積之差為3b2，為定值，符合題意.

圖3

再看，當(dāng)a=4b時(shí)，同樣將左上角陰影部分平移至右上角（如圖4），上下兩個(gè)黑色矩形一邊相等都為x，另一邊長(zhǎng)DF與CF相差b，則對(duì)應(yīng)的面積之差為-bx.因此，當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，x也隨之改變，即S=S1-S2=-bx發(fā)生改變.所以，a=4b不符合題意.至此可以肯定，解法2是有問(wèn)題的.

圖4

那么，錯(cuò)誤究竟在哪里呢？讓我們回頭看解法1與解法2，發(fā)現(xiàn)解題方法一樣，但變量x選取的實(shí)數(shù)值不一樣.在解法1中，因?yàn)閍≠0，所以a≠2a，也就是說(shuō)，變量x取了兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，即在這個(gè)過(guò)程中線段BC確實(shí)發(fā)生了變化；在解法2中，a與4b的大小關(guān)系不確定，因此，有兩種情形，即a=4b與a≠4b.若a=4b，則變量x表面上取了兩個(gè)實(shí)數(shù)，實(shí)際上只取了一個(gè)值，即線段BC的長(zhǎng)沒(méi)變，不合題意.錯(cuò)誤的原因找到了，就是解法2犯了一個(gè)邏輯錯(cuò)誤：把要求證的結(jié)論，先進(jìn)行假設(shè)，是一個(gè)典型的循環(huán)論證.那如何改進(jìn)、完善解法2呢？其實(shí)，只要將假設(shè)“不妨取x=a，x=4b”改為“不妨取x=a，x=4b（a≠4b）”即可.

三、再探究

問(wèn)題找到并解決了，如果作為一個(gè)教學(xué)的素材，是否本題有更好的解決方案？問(wèn)題本身還蘊(yùn)含哪些數(shù)學(xué)價(jià)值？有哪些教學(xué)啟示？之后筆者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了再探究.回顧上述兩種方法，本質(zhì)是變量x取兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)，得到一個(gè)等量關(guān)系，而后化簡(jiǎn)、整理，導(dǎo)出關(guān)于a與b的關(guān)系式.那么x取1、2，化簡(jiǎn)、整理的過(guò)程不是更簡(jiǎn)單嗎？

解法3：（前面同解法1）不妨取x=1，x=2，則3b-a（1+a-4b）=6b-a（2+a-4b），整理得a=3b.

解法3中不會(huì)出現(xiàn)關(guān)于a、b的二次方程，無(wú)需因式分解，變形過(guò)程簡(jiǎn)捷，顯然，比前面的方案更好.

再回到題目中的題設(shè)：“當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，S始終保持不變”，因?yàn)榫€段GD為定值，上述題設(shè)等價(jià)于“當(dāng)AG的長(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，S始終保持不變”，用函數(shù)的視角說(shuō)明S是關(guān)于x的函數(shù).由解法1，可以整理得：

初看，發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于x的一次函數(shù)，依據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，S隨著x的增大而增大（或增大而減?。?而實(shí)際問(wèn)題是：“當(dāng)x的長(zhǎng)度變化時(shí)，S始終保持不變”，因此，一次函數(shù)y=kx+b中的k=0，所以，3b-a=0，即S是一個(gè)常量函數(shù).至此，就找到了解決本題的一般的代數(shù)方案.

解法4：記左上角陰影部分的面積與右下角陰影部分的面積分別為S1、S2.設(shè)AG=x.AD=BC=x+a，EC=x+a-4b.S1=3bx，S2=a（x+a-4b）.因此，S=S1-S2=3bx-a（x+a-4b）=（3b-a）x-a（a-4b）.由題意知：當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，S始終保持不變.即當(dāng)x取任意正實(shí)數(shù)時(shí)，S=（3b-a）x-a（a-4b）為定值.因?yàn)?a（a-4b）為定值，所以3b-a=0，即a、b必須滿足a=3b.

到目前為止，上述想法都糾結(jié)在代數(shù)領(lǐng)域，所涉及知識(shí)不外乎整式、方程及函數(shù)，即數(shù)與代數(shù)的范疇.再看原題目的背景，是個(gè)幾何圖形，提醒筆者從形的角度思考問(wèn)題的解決方案，經(jīng)過(guò)探究，就有了解法5.

解法5：因?yàn)榫匦蜨BEM、矩形FDGN的面積均為定值，當(dāng)S為定值時(shí)，矩形AHFD與矩形HBCF的面積之差也為定值，而公共邊HF是變化的，所以，邊AH=BH，即a、b必須滿足a=3b.

這就是整體的解決方案（即數(shù)學(xué)中的整體思想）.具體的解題過(guò)程如下.

因?yàn)榫匦蜨BEM和矩形FDGN的面積分別是4ab、3ab，為定值，所以它們的面積差ab也為定值.因此，當(dāng)S為定值時(shí)，矩形AHFD與矩形HBCF的面積之差也為定值，而實(shí)際上矩形AHFD與矩形HBCF的面積之差為AD×AH-BC×BH=3b（x+a）-a（x+a）=（x+a）（3b-a）.當(dāng)x取任意正實(shí)數(shù)時(shí)，要使代數(shù)式（x+a）（3b-a）為定值，3b-a=0，即a、b必須滿足a=3b.

考試時(shí)學(xué)生估計(jì)不會(huì)想那么多、那么深刻，因?yàn)楸绢}是個(gè)選擇題，那就用解選擇題的常用方法：排除法.

當(dāng)a=3b時(shí)，S=S1-S2=3bx-3b（x-b）=3b2，為定值，故選B.

四、幾點(diǎn)啟示

1.小題目，大價(jià)值

2011年版的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)新定義“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，“整個(gè)數(shù)學(xué)始終圍繞‘?dāng)?shù)’與‘形’這兩個(gè)概念的抽象、提煉而發(fā)展”，這兩句話很好地闡釋了數(shù)學(xué)的本質(zhì).因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)、解題研究及命題備考要始終抓住這條主線.本題雖小，是道選擇題，但解題過(guò)程中時(shí)時(shí)都需要進(jìn)行數(shù)和形的思維轉(zhuǎn)化.本題的命題意圖非常明顯：體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的教育價(jià)值，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是道難得的好題，再一次讓我們體驗(yàn)了“數(shù)借形直觀，形借數(shù)入微”的真諦.

2.小題目，好素材

現(xiàn)在普遍的教師教學(xué)生態(tài)：忙于備課、上課、批改作業(yè)、訂正作業(yè)（或個(gè)體輔導(dǎo)）；教研活動(dòng)是應(yīng)付參加的多，有時(shí)參加學(xué)校的教研活動(dòng)時(shí)還帶著作業(yè)；教研文章五年內(nèi)沒(méi)發(fā)表一篇的教師占絕大多數(shù).另一方面，學(xué)校及上級(jí)主管部門對(duì)教師的專業(yè)發(fā)展都非常重視，其中把教科研的能力作為重要的考核指標(biāo).這些教師都說(shuō)沒(méi)時(shí)間寫，最主要的還是說(shuō)沒(méi)寫作素材.正如裴光亞老師說(shuō)的：“素材從教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，這些包括解題、備課、上課、批改作業(yè)、教研活動(dòng)及讀書”.筆者的親身感受是從這些活動(dòng)中去留意，勤積累，利用休息時(shí)間整理，就可以寫出包含真情實(shí)感的好文章，本文就是一個(gè)好的范例.因此，沒(méi)有理念，無(wú)以致遠(yuǎn).

3.小題目，大考驗(yàn)

本文中的考題，雖說(shuō)是道選擇題，有些試卷的分類解析把它歸結(jié)為整式運(yùn)算，其實(shí)從代數(shù)知識(shí)去深入分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)質(zhì)上是有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題；若從形的角度去審視，借助研究幾何的重要方法：圖形平移，實(shí)質(zhì)上是圖形中的整體與部分的關(guān)系.這樣理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升教師的專業(yè)水準(zhǔn).作為一名數(shù)學(xué)教師，在解題時(shí)要站在數(shù)學(xué)的高度去俯視那些簡(jiǎn)單問(wèn)題，做到淺入深出，在教學(xué)時(shí)又要做到深入淺出，只有這樣，才能引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行更高水平的探究.沒(méi)有知識(shí)的高度和厚度，更是無(wú)法前行的.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.裴光亞.數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展：在書房與教室間穿行的教研人生［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版總社有限公司，2013.

3.陳明儒.突出過(guò)程孕育 借助推理催化——《銳角三角函數(shù)》教學(xué)實(shí)錄與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（7）.

4.陳明儒.揆情度理 拒絕平庸——以一道填空題的解題分析為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.