情境“提純”——函數(shù)壓軸題求解的有效策略

☉江蘇省如皋市港城實驗學校 吳光華

情境“提純”
——函數(shù)壓軸題求解的有效策略

☉江蘇省如皋市港城實驗學校 吳光華

一、寫在前面

在中考中，壓軸題一般是指試卷的最后一題，而真正“壓軸”的往往是這一題的最后一問或兩問，這一兩問也就成為了壓軸題教學的重點.近幾年來，以函數(shù)為背景的壓軸題層出不窮，此類試題的壓軸問題有著復雜的數(shù)學背景，靈動的圖形變換，豐富的知識內(nèi)涵.在解答時，很多學生會被試題的豐富情境所“擾”，無法捕捉到有用的解題信息，讓這些壓軸問題成為難以逾越的“鴻溝”.面對學生迷離的眼神，筆者一直在探索函數(shù)壓軸題的求解策略，但由于壓軸題變化很多，根本沒有統(tǒng)一而有效的解題策略.在筆者探究過程中，發(fā)現(xiàn)解答此類試題的“壓軸問題”都必須經(jīng)歷一個重要的環(huán)節(jié)——情境“提純”，也就是隨著解題的進程，需要將與解決“壓軸問題”無關的信息從原來的圖形與文字中分離出去，留下有用的、可用的文字和圖形兩方面的信息.為了將這一解題策略進行推廣，本文就結合一道函數(shù)壓軸題的解答過程談談情境“提純”策略，以期對您的教學或解題有所幫助，不當之處，敬請指正.

二、一道壓軸題的解題分析

1.原題呈現(xiàn)

圖1

（1）請直接寫出點D的坐標：________；

（2）當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；

（3）是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

2.試題分析

本題是2013年江蘇省徐州市中考最后一題，處于全卷的壓軸位置，是一道建構在二次函數(shù)背景上的綜合題.重點考查了待定系數(shù)法、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等知識，還考查了數(shù)形結合、分類討論、建模等數(shù)學思想.細細分析本題，第（1）問涉及的知識點不多，難度不大，學生很容易給出答案，該小題很明顯起不到壓軸作用，真正起到能區(qū)分作用的是第（2）、（3）問.尤其是第（3）問，既要判斷“P點的存在性”，還要“求出點P的坐標”及“兩個圖形重疊部分的面積”，對學生的知識提取和應用能力要求較高，凸顯試題的壓軸作用.高難度的求解要求，加之復雜的問題情境，在豐富的圖形和文字信息的“幫襯下”，讓題目的解答顯得非常困難.對學生來說，化解這道試題的壓軸問題，充足的知識、扎實的技能和良好的習慣都是不可缺失的.弱化無關條件干擾的能力，將直接影響著試題解答的效果.

3.情境“提純”

基于上述分析，在教學過程中，為了培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，筆者在解決問題（2）和問題（3）前引導學生分別對這兩個問題進行了情境“提純”.現(xiàn)將“提純”后的情境呈現(xiàn)如下：

（2）如圖2，A（－3，0），D（－3，4），O為坐標原點.點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動，過點P作DP的垂線與y軸交于點E.當點P運到至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值.

（3）如圖3，基于（2）的條件，若點P在x軸上運動，過點P作DP的垂線與y軸交于點E.是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

4.“提純”說明

解答第（2）問，顯然不需要用到題干中所給的二次函數(shù)，因此，提純情境時，在從文字中刪除了二次函數(shù)的解析式的同時，還從圖形中刪除了拋物線.由于“點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動”，運動過程與點B沒有任何關系，與線段BC和CD也沒有關系.因此，在解答第（2）問之前，筆者將與這些信息相關的文字和圖形一并刪去，只留下“提純”后的問題情境和圖2中的圖形信息.

圖2

解答第（3）問，同樣用不到二次函數(shù)，圖3中沒有出現(xiàn)題干中的拋物線也就是這個原因.基于對第（3）問的閱讀與分析，該小題是第（2）問的變式，也是第（2）問解法的自然延伸，點P由“在線段AO（點P不與A、O重合）上運動”拓展到了“在x軸上運動”，P點運動范圍的擴大，讓符合題意的“等腰三角形△PED”會有多種可能，也就決定了P點會出現(xiàn)多個符合題意的位置.此外，題目還提出了求“△PED與正方形ABCD重疊部分的面積”的解題要求，這就要求正方形ABCD應全部出現(xiàn)，才能準確找出重疊部分的形狀并求出其面積.這樣一來，第（3）問的文字信息和圖形信息也就會比第（2）問要復雜一些了.

5.解題過程

（3）存在.根據(jù)點P所在的位置，分兩種情況討論：

圖4

圖5

②如圖5，當點P在y軸右側時，點P的坐標為（4，0），參照①的步驟可求得重疊部分的面積為.

三、“提純”感悟

1.去繁余簡，留下關鍵信息

在中考命題時，壓軸題的問題設置一般為遞進式和并列式兩種.不管問題的呈現(xiàn)采用哪一種方式，問題之間總存在著一些關聯(lián).這些關聯(lián)，也就讓試題的解答有著明顯的梯度，在問題“漸進”化解的過程中，那些成為“歷史”的條件，不應成為學生深入探究的“障礙”.因此，在解決壓軸問題時，我們應詳細研讀所給的條件和問題，理清條件與前后問題之間的關系，將解決“壓軸問題”需要用到的條件重新整理，形成新的問題情境.新的問題情境，應建立在原有情境基礎之上，是對原有問題情境的一種“揚棄”，留下的條件應是化解問題所必須的，這些條件有的是原題中的條件，有的是已經(jīng)得出的結論，有些是設問新增的.這樣的“提純”，是學生解讀試題、獲取思路的過程.以上面的第（2）問為例，原題干中的條件很多，既有二次函數(shù)又有正方形ABCD，而解答第（2）問實際只需要點A，D的坐標即可，因此，在提純的情境中，學生可以將原來的題干進行了刪減，將“A（－3，0），D（－3，4），O為坐標原點”作為條件呈現(xiàn)，去除了原來的繁雜的題干條件，排除了無關條件的“干擾”，留下的條件直接指向了本題的解題目標，為學生獲得解決問題的方法打開了一扇門.

2.原圖新作，刪去多余圖形

壓軸題解答，復雜的圖形中每一根線都會影響著學生的思維.有時，圖形中一條對解題起不到作用的線的存在，就會影響解題思路的形成，給問題的分析帶來無盡的“煩惱”.因此，在解答壓軸問題時，我們應對原圖中的點與線進行合理選擇，將與問題情境無關的點與線從圖形中刪除，留下必須的.這樣一來，必要的圖形重建是必須的，重新作圖，讓新的圖形緊貼問題情境，便于學生形成正確的解題思路.以上面的圖2，3為例，第（2），（3）問的解答與二次函數(shù)沒有關系，因此，在情境提純時，筆者引導學生刪去了原來的拋物線.在圖2中，由于解決第（2）問根本不需要用到這個正方形除DA以外的其他邊，所以筆者引導學生刪去了用不到的邊和頂點，呈現(xiàn)出了正方形ABCD的局部，因而在新圖形中，其余三條邊也就沒有呈現(xiàn)；但是到了第（3）問中，求“△PED與正方形ABCD重疊部分的面積”，需要用到正方形ABCD，因此圖3中，又將正方形補全了.顯見，圖形的呈現(xiàn)完全取決于解題的需要，不同的解題要求下，需要什么樣的圖形，我們就應將與具體情境配套的圖形完整呈現(xiàn)出來，所給出的點和線不能多，多了給解題帶來不必要的麻煩，當然也不能少，少了我們就無法求解.

3.思想引領，強調(diào)數(shù)形結合

數(shù)學思想是數(shù)學教學的重要內(nèi)容，在日常學習中，我們就應該高度關注.幾乎所有的壓軸題都有著非常豐富的“思想內(nèi)涵”，因此，在壓軸問題的分析與求解過程中，我們應高度重視其中可能滲透到的數(shù)學思想，用思想引領解題思路的分析.情境“提純”的過程，實際上就是學生應用各種數(shù)學思想去分析問題的過程.在以函數(shù)為背景的壓軸題中，一般都會滲透數(shù)形結合、分類討論、方程、函數(shù)、運動變換等數(shù)學思想.情境“提純”，用到最多的也就是上述思想中的“數(shù)形結合”.在學生求解過程中，只有將壓軸問題中的文字語言與圖形信息結合起來分析，充分利用“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩種策略，將問題的情境不斷“提純”，才能順利獲得問題解決的思路，讓壓軸問題的“壓軸價值”真正實現(xiàn).本文中所述的這道壓軸題，蘊含著豐富的數(shù)學思想，每一個問題的解決，都涉及路徑的化歸和模型的建構.作為例題，筆者突出了其中的數(shù)形結合思想，讓學生的探究在這一思想的引領下不斷深入下去.提純的過程，不斷鞏固著學生對題中蘊含思想方法的認知，學生經(jīng)歷了問題情境的提純，對解題所需要的條件與最終要達成的解題目標有了深刻的認知，合適的解題方法自然會在學生腦海中及時生成.

四、結束語

壓軸問題的解答雖然棘手，但只要解題時能精心研讀問題，對問題的情境進行必要的“技術處理”，做好精準的取舍整合，就一定能發(fā)現(xiàn)解決問題的路徑.情境“提純”作為一個解題技術，需要在強化訓練中不斷鞏固提升.在日常教學中，我們應借助壓軸題的教學，多呈現(xiàn)此類范例，鼓勵學生通過解題的實戰(zhàn)演練，反復應用以促進解題經(jīng)驗的積累.“提純”，剔除了干擾情境，讓生成的新情境直接指向解題目標，提純過程中，很多學生能透過“復雜情境”獲得問題解決的“路徑”，這就是“提純”的作用.以上所述，雖然經(jīng)歷筆者的多輪嘗試，取得了一定的教學成效，但基于不同學情進行教學應用可能會產(chǎn)生不同的成效，本文中所述的方法權作壓軸題教學的“引玉之磚”吧，歡迎各位同行專家對筆者的做法提出意見和建議.

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