破題策略：特殊直角三角形意識(shí)——由2013年河北省中考數(shù)學(xué)卷第26題說起

☉河北省唐山市路南區(qū)中學(xué)教研室 李姝俠

破題策略：特殊直角三角形意識(shí)
——由2013年河北省中考數(shù)學(xué)卷第26題說起

☉河北省唐山市路南區(qū)中學(xué)教研室 李姝俠

一、2013年河北省中考卷第26題的思路突破

例1（2013年河北中考第26題，有刪減）一透明的敞口正方體容器ABCD－A′B′C′D′裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α（∠CBE=α，如圖1所示）.

圖1

圖2

探究 如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB′交于點(diǎn)Q，此時(shí)液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖2所示.解決下列問題.

（1）CQ與BE的位置關(guān)系是___________，BQ的長(zhǎng)是____________dm.

（2）求液體的體積.（參考算法：直棱柱體積V液=底面積SBCQ×高AB）

（4）在圖1的基礎(chǔ)上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出，圖3或圖4是其正面示意圖.若液面與棱C′C或CB交于點(diǎn)P，設(shè)PC=x，BQ=y.分別就圖3和圖4求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的α的范圍.

圖3

圖4

思路突破：

（1）由常識(shí)知道CQ與水平桌面是平行的.

根據(jù)所給的三視圖，有CQ=5，CB=4，于是由勾股定理易知BQ=3（注意：這是一個(gè)“3，4，5”的特殊直角三角形）.

（2）此時(shí)的液體形狀是三棱柱，體積用底面積（Rt△BCQ的面積）與高BA（正方體的棱長(zhǎng)）相乘即可得.

（4）分兩種情況考慮.

當(dāng)容器向左旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖3，此時(shí)0°≤α<37°.由于液體體積不變，此時(shí)底面圖形由上一問中的三角形變成截面為梯形，可以用含x、y的式子表示底面積：1 2（x+y）·4，接著根據(jù)體積為24，可得關(guān)于x、y的等式，從而y與x的函數(shù)關(guān)系可獲得.

當(dāng)容器向右旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖4，此時(shí)α≥37°，但是上限不容易確定，需要考慮Q與B′重合的臨界情況（如圖5）.利用液體體積公式，有（4－x）y·4=24，變形得y=.由剛剛分析“Q與B′重合”，

圖5

即y=4時(shí)，x=1，BP=3. 此時(shí)在Rt△BPQ中，tan∠BQP=，得∠BQP=37°.相應(yīng)的α=53°.于是37°≤α≤53°.

解后反思：想起了中國(guó)繪畫藝術(shù)，講究“三遠(yuǎn)”，即：平遠(yuǎn)、高遠(yuǎn)、深遠(yuǎn).這就相當(dāng)于“角度”和“透視”的道理.但又與西洋的透視學(xué)不同.后者總是以一個(gè)固定的“立足點(diǎn)”為本，還要尋求科學(xué)的“焦距”，然后方能展示全畫面.中國(guó)則不然，是采用“分散立足點(diǎn)與焦點(diǎn)”的特殊表現(xiàn)法則.我們還想到了“一架高性能的攝像機(jī)”，可以發(fā)現(xiàn)上面圖1~圖5，都需要發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造、識(shí)別、切換、利用特殊直角三角形（有三邊比為3∶4∶5，有含30°的直角三角形），能否選準(zhǔn)這些特殊直角三角形，對(duì)思路的獲取有很大的幫助.

根據(jù)筆者多年解題教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)這類問題的求解障礙往往是沒有用好“特殊直角三角形”，或者說缺少“特殊直角三角形”意識(shí)，導(dǎo)致解題思路指向不精準(zhǔn)，思路混亂，推證無力，下面再選編兩道2013年中考題講解思路，解后反思.

二、利用“含30°的直角三角形”意識(shí)解題

例2 （2013年江蘇宿遷第26題） 如圖6，在△ABC中∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE.

（1）若∠C=30°，求證：BE是△DEC外接圓的切線；

思路講解：（1）受條件“∠C=30°”的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)圖6中應(yīng)該有“含30°的特殊直角三角形”，如Rt△ABC、Rt△CDE.于是取CD的中點(diǎn)O，連接OE.

于是∠A=∠ABE=90°-∠C=90°-30°=60°.

由OE=OC，得∠OEC=∠C=30°.

進(jìn)一步∠BEO=180°-∠AEB-∠OEC=90°，即BE⊥OE.

結(jié)合OE為⊙O的半徑，所以BE是△DEC外接圓的切線.

解后反思：這道考題并不是一道太難的題，如果考生有特殊直角三角形的意識(shí)，能快速貫通思路，為惜時(shí)如金的考場(chǎng)應(yīng)試帶來時(shí)間上的效益.

對(duì)于上面的例2來說，有特殊直角三角形意識(shí)還只是思路獲取上的快慢，對(duì)于下面的例3，如果有特殊直角三角形意識(shí)，則容易破解難題，獲取突破方向.

例3（2013年四川成都第27題，有刪減）如圖7，⊙O的半徑r=25，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)H，P為CA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠PDA=∠ABD.

（1）試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

思路講解：（1）PD與⊙O相切.理由如下.

如圖8，過點(diǎn)D作直徑DE，連接AE.則∠DAE=90°，即∠AED+∠ADE=90°. 由∠ABD=∠AED，∠PDA=∠ABD，得∠PDA=∠AED.所以∠PDA+∠ADE=90°.所以PD與⊙O相切.

解后反思：可以發(fā)現(xiàn)，第二問的求解需要對(duì)兩種不同的特殊直角三角形保持敏銳的識(shí)別能力，并且需要靈活切換、充分利用，這樣才能在復(fù)雜圖形中解決問題.

三、“特殊直角三角形意識(shí)”的破題意義

1.解題教學(xué)中教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，對(duì)強(qiáng)化條件保持足夠的敏感

數(shù)學(xué)解題一般都是由已知出發(fā)，向待求（待證）方向前行，在這個(gè)過程中，難題之難往往在于當(dāng)無法順利前進(jìn)時(shí)，需要退回題目，仔細(xì)看條件，特別是分析強(qiáng)化條件可能帶來什么信息，甚至某一個(gè)強(qiáng)化條件的價(jià)值能否被充分的發(fā)揮，這是很關(guān)鍵的.正如波利亞在名著《怎樣解題》［1］的“一段對(duì)話”下反復(fù)問“我應(yīng)該從哪兒開始？”.本文倡導(dǎo)關(guān)注“特殊直角三角形意識(shí)”，就是倡導(dǎo)在解題教學(xué)中教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，特別是對(duì)強(qiáng)化條件保持足夠的敏感.像例3第二問中，如果對(duì)“tan∠ADB=”不夠敏感，往往就不能很快想到“設(shè)AH=3k，有DH=4k，AD=5k”，而這將影響難題破解、思路打開的快慢.

2.引導(dǎo)學(xué)生思辨特殊與一般的關(guān)系，促進(jìn)對(duì)模式識(shí)別策略的理解

解題教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生由特殊條件發(fā)現(xiàn)、識(shí)別、構(gòu)造、充分利用特殊圖形（包括本文提出的“特殊直角三角形”），其實(shí)也是引導(dǎo)學(xué)生思辨特殊與一般的關(guān)系.往大了說，數(shù)學(xué)教學(xué)就是在一般和特殊中不斷地切換，有時(shí)需要在一般中發(fā)現(xiàn)特殊，有時(shí)又要由特殊走向一般.順便提及，羅增儒教授在《解題學(xué)引論》中指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工，會(huì)得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意識(shí)地記憶下來.當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來加以解決，這就是模式識(shí)別的解題策略.”可以發(fā)現(xiàn)，本文倡導(dǎo)的關(guān)注“特殊直角三角形”意識(shí)，其本質(zhì)也是引導(dǎo)學(xué)生重視模式圖形的發(fā)現(xiàn)、積累與利用，只是換了一種理解的方式，從不同的角度促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)解題，提高解題能力.往大了說，這也是一種變式教學(xué)、多元表征式的教學(xué).

1.［美］波利亞.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.