經(jīng)歷問題生成，深刻理解教材*——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學(xué)劉東升

經(jīng)歷問題生成，深刻理解教材*
——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學(xué)劉東升

一、寫在前面

華東師大鐘啟泉教授在文1中認(rèn)為：“‘減負(fù)’不是單純的技術(shù)性問題，也不是單純的行政問題.但這不等于說，學(xué)校和教師層面無可奈何、無能為力.”并就教師系統(tǒng)開發(fā)作業(yè)提出要求：“對于一線教師而言，則在于如何通過‘練習(xí)’的系統(tǒng)開發(fā)，把自身的教育、教學(xué)工作從動物訓(xùn)練的層面提升到真正人性的高度.”受此啟發(fā)，筆者在2013~2014學(xué)年第一學(xué)期教學(xué)期間，從教材（人教版八年級上冊［2］）例習(xí)題出發(fā)，設(shè)計開發(fā)了“每日一題”活動，每天都安排時間讓學(xué)生限時獨立完成，并及時批閱、評價（分A+、A、B、C、D五個等級），而且當(dāng)日發(fā)布博客（http：//blog.sina.com.cn/s/articlelist_3514720663_14_1.html），堅持一學(xué)期，共開展81次“每日一題”活動，引發(fā)了不少同行、博友的關(guān)注和轉(zhuǎn)載.本文結(jié)合典型的“每日一題”命題案例，解讀命題意圖，希望與更多的同行交流研討.

二、經(jīng)歷問題生成，指向?qū)W會解題

1.將簡單問題自然生長，追求成果擴(kuò)大

例1（編號20131120，注：編號是按學(xué)生練習(xí)的日期來設(shè)置的，編號“20131120”是指2013年11月20日練習(xí)，下同）已知a＋b＝5，ab＝3，求下列各式的值.

改編來源：教材第112頁，第7題改編.

命題意圖：教材習(xí)題只要學(xué)生求“（2）a2＋b2”，增加第（1）問的目的在于，讓求解有困難的學(xué)生有臺階可上，而增加出第（3）、（4）問的目的就是將問題自然生長，追求成果擴(kuò)大，做一題、會一類、通一片.

例2 （編號20130920）如圖1，已知，△ABO關(guān)于x軸對稱，點A的坐標(biāo)為（1，-2）.

（1）寫出點B的坐標(biāo)；

（2）若在x軸上有一點P，滿足S△BOP＝2，求點P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，直線BP交y軸于Q點，試比較OQ與BP的大小關(guān)系；

（4）若點M（0，m），當(dāng)△AMB的周長最小時，求m的值.

改編來源：人教八上教材第71頁，練習(xí)2改編.

圖1

命題意圖：這道題沒有僅僅局限于對平面直角坐標(biāo)系的簡單認(rèn)識，而是引入面積探究、軸對稱最小值的研究.有人曾把學(xué)習(xí)比喻成是一次森林之旅，上題其實也可看成是從坐標(biāo)系下的對稱探究出發(fā)，層層遞進(jìn)，有意思的是，最后一問的答案富含詩意：回到原點；而第（3）問是在第（2）問的基礎(chǔ)上遞進(jìn)式展開的，比較大小的方法很多，學(xué)生可以直觀比較、發(fā)現(xiàn)，在八年級下學(xué)期隨著勾股定理等知識學(xué)完，還有不同的方法，有點眺望后續(xù)知識的意味；需要指出的是，筆者開展的“每日一題”都是從教材例習(xí)題出發(fā)，而這些例習(xí)題的原題在新授課期間已獨立練習(xí)，所以每日一題跟新授進(jìn)度并不是同步的，這樣就有復(fù)習(xí)前面所學(xué)知識的功能.

2.將較難問題鋪設(shè)臺階，指導(dǎo)破題策略

例3 （編號20130913）如圖2，在△ABC中，AD是它的角平分線.

（1）若AB＝8cm，AC＝5cm，點D到AC的距離是2cm，求△ACD的面積.

圖2

改編來源：人教八上教材56頁，第12題改編.

例4 （編號20131111）已知2m＝a，32n＝b，m，n為正整數(shù).

（3）求22m＋5n和24m＋15n的值；

（4）你能再設(shè)計一個問題嗎？

改編來源：人教八上教材第106頁，第13題改編.

命題意圖：教材上是直接求“23m＋10n的值”，而且此前教材上的例題并沒有相關(guān)的講解訓(xùn)練，一般學(xué)生完成是有一定難度的.筆者設(shè)計了前兩問，鋪設(shè)臺階，方便思考，也是傳遞這類問題的破題策略.而且最后還增設(shè)一個開放性問題，讓學(xué)生嘗試提出問題，加深對這類問題的理解，從學(xué)生的解答情況來看，大部分學(xué)生都能獲得A+的評價（順便指出，本文“每日一題”均有學(xué)生解答的掃描件發(fā)布博客上，限于篇幅不作列舉）.

3.將相近問題歸類呈現(xiàn)，促進(jìn)舉一反三

例5 （編號20131115）計算：

通過上述練習(xí)后，你能積累怎樣的運算經(jīng)驗？

改編來源：人教八上教材第111頁，例5改編.

命題意圖：根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，至少有一半及以上的學(xué)生在初學(xué)這種類型問題的運算時，容易出現(xiàn)“重組失敗”、“計算出錯”等問題，所以選擇把可能的一些符號變化都集中在一起，歸類呈現(xiàn)，讓學(xué)生在計算中辨析和積累運算經(jīng)驗.在計算之后，還要求學(xué)生寫出積累的經(jīng)驗，如有學(xué)生寫道：“有些整式相乘需要先作適當(dāng)變形，然后再用公式”、“運算時要注意有目的地變形，以提高正確率”、“添括號時要注意符號”等.

例6 （編號20130906）如圖3，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P.

（1）作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證PD＝PE＝PF.

（2）作射線AP，AP平分∠BAC嗎？請判斷并說明理由.

（3）練習(xí)（1）、（2）后，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖3

（4）再看看第50頁的“練習(xí)2”，你能總結(jié)怎樣的經(jīng)驗？

改編來源：人教八上教材50頁，例題改編.

命題意圖：第（1）問的本質(zhì)就是例題，主要訓(xùn)練角平分線的性質(zhì)的推理格式.第（2）問是訓(xùn)練角平分線的判定的推理格式.第（3）問是引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)三角形的角平分線原來交于一點.這是對三角形中一種奇異性的證明，換言之，若改成文字命題“求證：三角形的三條角平分線交于一點.”能給出完整證明（包括畫圖、已知、求證、證明）的學(xué)生就少很多了.第（4）問是結(jié)合教材上的“練習(xí)2”，追求解題境界“做一題·會一類·通一片”，這樣再練習(xí)與三角形內(nèi)、外角平分線的交點問題就沒有問題了.

三、深刻理解教材，引導(dǎo)研究視角

1.研究教材例習(xí)題的設(shè)置意圖，確保訓(xùn)練的效果例7 （編號20131231）（1）計算：

改編來源：人教八上教材第148頁，“閱讀與思考”改編.

命題意圖：不少學(xué)生（包括有些教師）對教材上的“閱讀與思考”、“數(shù)學(xué)活動”等欄目往往不夠重視，挖掘不夠，為了引起大家的關(guān)注，拓展對教材研究的視角，特別圍繞“容器中的水能倒完嗎”開發(fā)了一道分?jǐn)?shù)規(guī)律運算的問題.從形式上說，該題有班級人數(shù)信息（筆者班上恰39名學(xué)生）、年份更替等元素體現(xiàn)；從數(shù)學(xué)味來說，這道題體現(xiàn)了不同數(shù)學(xué)運算的奇異現(xiàn)象，數(shù)學(xué)上奇異現(xiàn)象是很多的，正是對很多奇異美的好奇與興趣，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展；最后一問滲透了高中數(shù)學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)的極限意識或思想，最好回答當(dāng)然是“隨著n的不斷增大，將越來越趨近1”.

2.關(guān)注教材例習(xí)題的前后呼應(yīng)，對比解法的變化

例8 （編號20130919）如圖4，已知△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點P.

（1）求證PA＝PB＝PC；

（2）點P是否也在邊AC的垂直平分線上？

（3）能否以點P為圓心畫一個圓，使⊙P同時過A，B，C三點？

（4）由上面的練習(xí)你能得出什么結(jié)論？

改編來源：人教八上教材第66頁，第13題改編.

命題意圖：優(yōu)秀的導(dǎo)游在黃山上導(dǎo)游時，總會不時提醒游客向遠(yuǎn)處眺望風(fēng)景，因為一會兒山路之后，可能就會到達(dá)那個風(fēng)景，在這個意義上，這道題在第（3）問，就是想帶領(lǐng)學(xué)生一起眺望一下九年級圓的有關(guān)知識.此外，教材上有很多例習(xí)題有著很好的前后關(guān)聯(lián)、呼應(yīng)，上面的“例6”可以看成是靠得很“近”的習(xí)題呼應(yīng)；還有些離遠(yuǎn)很“遠(yuǎn)”的呼應(yīng)，如人教版七年級上冊“圖形初步知識”的練習(xí)曾有度量并比較平行四邊形的邊長的問題，而這會對應(yīng)著八年級平行四邊形的學(xué)習(xí)；當(dāng)然，還有些例習(xí)題可能還會蘊含著更豐富的、高等的數(shù)學(xué)性質(zhì)（如“面積一定時，求圍成矩形的周長最小值問題”等）.

3.思辨教材例習(xí)題的解法表達(dá)，追求火熱的思考

例9 （編號20131225）如圖5，“豐收1號”小麥的試驗田的邊長為am（a＞1）的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田的邊長為（a－1）m的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了500kg.設(shè)“豐收1號”、“豐收2號”小麥試驗田的單位面積產(chǎn)量分別為F1、F2.

圖4

圖5

（1）F1＝________，F(xiàn)2＝________.（用含a的式子表示）

（4）當(dāng)a＝39時，高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？

改編來源：人教八上教材第136~137頁，例3改編.

命題意圖：教材上對這道例題的表達(dá)顯得繁雜，教學(xué)時不少學(xué)生表示難懂，這道“每日一題”就是在此背景下設(shè)計出來的.筆者增設(shè)出“F1，F(xiàn)2”就是想使問題的表達(dá)和演算更簡明、方便，通過第（2）問幫助學(xué)生突破難點之一（比較兩塊小麥試驗田的單位面積產(chǎn)量）；第（3）問求兩塊試驗田的單位面積產(chǎn)量之比，到這里可以發(fā)現(xiàn)，最初增設(shè)出“F1，F(xiàn)2”就是為后續(xù)探究時表達(dá)的簡明，而這恰恰也是數(shù)學(xué)的又一特征：“為了有助于‘人類思想表達(dá)的經(jīng)濟(jì)化’（這里經(jīng)濟(jì)化是指變得簡潔，省事），數(shù)學(xué)使用了比其他任何科學(xué)都要多得多的術(shù)語和記號.”［3］為了呼應(yīng)教材例題的問題“高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍”，也為了加強(qiáng)第（3）問的辨析和利用，筆者結(jié)合班級學(xué)生數(shù)39，設(shè)計了第（4）問，從學(xué)生的答題來看，利用了（3）中的結(jié)論的學(xué)生完成得既準(zhǔn)確又快捷，充分體現(xiàn)了“簡單的計算方法往往需要付出邏輯思維的代價”［4］這一道理.

四、寫在最后

章建躍教授在文5中指出，“教材不同于一般出版物，教材是要經(jīng)得起反復(fù)讀的”，“教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的.”一學(xué)期來，筆者開發(fā)的“每日一題”全部是基于教材例習(xí)題開發(fā)，還是想引導(dǎo)廣大同行重視對教材的研究.此外，隨著網(wǎng)絡(luò)的普及，網(wǎng)上隨處可見歷年中考試題、各地區(qū)期末、期中、月考卷，我們堅持獨立命題也是一種堅守和抵制：堅守對教材的研究，抵制隨手復(fù)制以及簡單的“拿來主義”.

1.鐘啟泉.減負(fù)背后的思考［N］.光明日報，2013-08-28.

2.人教社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.［日］米山國藏，著.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法［M］.毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

4.史寧中，主編.基本概念與運算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題［M］.北京：高等教育出版社，2013.

5.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3~5）.FH

*本文為江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度重點資助課題《“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)生態(tài)中的學(xué)生發(fā)展質(zhì)態(tài)研究》（課題編號為E-a/2013/001）階段性成果之一，課題主持人為李庾南、王笑君.本文作者劉東升為課題組核心成員.