臺(tái)灣、英國(guó)初中數(shù)學(xué)教材比較研究*——以英國(guó)AQA數(shù)學(xué)GCSE課本和臺(tái)灣“部編”初中數(shù)學(xué)課本為例

☉海南省瓊州學(xué)院理工學(xué)院 王奮平

☉海南省瓊州學(xué)院理工學(xué)院 王冰玉

☉海南省海南中學(xué) 王湛卓

臺(tái)灣、英國(guó)初中數(shù)學(xué)教材比較研究*
——以英國(guó)AQA數(shù)學(xué)GCSE課本和臺(tái)灣“部編”初中數(shù)學(xué)課本為例

☉海南省瓊州學(xué)院理工學(xué)院 王奮平

☉海南省瓊州學(xué)院理工學(xué)院 王冰玉

☉海南省海南中學(xué) 王湛卓

前言

我國(guó)臺(tái)灣地區(qū)自上世紀(jì)末開始的基礎(chǔ)教育階段課程改革為島內(nèi)數(shù)學(xué)教育帶來了很大變化，九年一貫制數(shù)學(xué)教材是臺(tái)灣教育主管部門組織專家統(tǒng)一編寫的建議全島統(tǒng)一使用的教材，吸收了基礎(chǔ)與課程改革新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念和內(nèi)容要求，很有特色；英國(guó)第四學(xué)段后的GCSE考試相當(dāng)于中國(guó)的“中考”，所以第四學(xué)段和臺(tái)灣地區(qū)國(guó)中相當(dāng).臺(tái)灣地區(qū)國(guó)中每個(gè)年級(jí)數(shù)學(xué)教材分為學(xué)生用教科書和學(xué)生用練習(xí)書兩本；英國(guó)第四學(xué)段數(shù)學(xué)教材一般根據(jù)不同學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分為基礎(chǔ)水平數(shù)學(xué)教材、中等水平數(shù)學(xué)教材、高級(jí)水平數(shù)學(xué)教材三類，供不同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生選擇使用.英國(guó)中小學(xué)教材編寫出版來源很多，教材五花八門，即使是AQA考試委員會(huì)也有很多版本的GCSE教材，本文就英國(guó)AQA考試委員會(huì)使用的由Harper Collns Publisher Limited2007年出版的高級(jí)水平數(shù)學(xué)教材和我國(guó)臺(tái)灣地區(qū)九年制義務(wù)教育國(guó)中階段數(shù)學(xué)教材，從內(nèi)容、知識(shí)編排順序和知識(shí)呈現(xiàn)方式幾個(gè)方面加以比較.

一、臺(tái)灣、英國(guó)初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容比較

臺(tái)灣國(guó)中階段數(shù)學(xué)教材學(xué)生用教科書按照不同年級(jí)分為六本，每個(gè)年級(jí)兩本，六本書共20章1084頁；英國(guó)初中數(shù)學(xué)教材就用一本書，共27章641頁.表1就兩地初中數(shù)學(xué)內(nèi)容加以列舉比較.

表1：臺(tái)灣和英國(guó)初中數(shù)學(xué)內(nèi)容

知識(shí)點(diǎn)臺(tái)灣教材主要內(nèi)容 英國(guó)教材主要內(nèi)容幾何、圖形與證明幾何圖形的角、三角形的基本性質(zhì)(包括全等概念和SSS定理)、其他幾何圖形及其性質(zhì) （周長(zhǎng)、面積和體積）、相似三角形、圓三角圖形（圓的周長(zhǎng)與面積、梯形的面積、扇形、棱柱的體積、圓柱、棱錐的體積、圓錐、球體）、特殊三角形和四邊形、多邊形的角、圓的理論、四邊形的旋轉(zhuǎn)、切線和弦、弦切角定理、幾何證明和代數(shù)證明、變換幾何（全等三角形、平移變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、放大變換、組合變換）概率統(tǒng)計(jì)直角三角形中的正弦、余弦、正切比例，已知三角函數(shù)值求角、用三角函數(shù)求三角形邊長(zhǎng)、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像、利用正弦和余弦定理求三角形的邊和角、用正弦定理求三角形的面積均值、頻數(shù)表、數(shù)據(jù)的分類、調(diào)查、社會(huì)統(tǒng)計(jì)、抽樣、線性圖、散點(diǎn)圖、莖葉圖、累計(jì)頻數(shù)圖、箱式圖、離差的測(cè)量、互斥事件和對(duì)立事件、數(shù)學(xué)期望、組合事件、樹形圖、雙向表、獨(dú)立事件、條件概率向量 向量的性質(zhì)、向量的加減、幾何中的向量函數(shù)、方程與圖形變換資料的統(tǒng)計(jì)與分析、資料（數(shù)據(jù)）的分布、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、累計(jì)次數(shù)、盒狀圖、百分位數(shù)、組距、概率的定義、樹形圖、不等式一元一次方程式的解法、一元一次方程式的應(yīng)用、二元一次方程組（代入消元法、加減消元法）、二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的圖形函數(shù)畫線性方程的圖形、方程的斜率、通過圖形求方程、直線圖形的實(shí)踐應(yīng)用、直線的平行和垂直、直接變換和逆變換不等式以及不等式的性質(zhì)、數(shù)軸、一元一次不等式解不等式、不等式的圖形表示（幾何意義）、不等式解決實(shí)際問題函數(shù)及其簡(jiǎn)單性質(zhì)、函數(shù)與圖形、常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)

從表1內(nèi)容可以看到，不管是臺(tái)灣教材還是英國(guó)教材，上述內(nèi)容基本可以分為四個(gè)模塊內(nèi)容：數(shù)與量、代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì).英國(guó)教材中“數(shù)”的學(xué)習(xí)比較細(xì)致，內(nèi)容較多，前面三章的內(nèi)容分別是：數(shù)、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)、比率與比例，第一章主要內(nèi)容又分為解決實(shí)際問題、小數(shù)的除法、估算、倍數(shù)和因數(shù)以及質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)、負(fù)數(shù)等.英國(guó)教材沒有專門針對(duì)代數(shù)式的學(xué)習(xí)，臺(tái)灣教材中，代數(shù)式的學(xué)習(xí)卻是一個(gè)重點(diǎn).臺(tái)灣和英國(guó)教材中“數(shù)”的內(nèi)容基本相似.臺(tái)灣教材中沒有向量、數(shù)列和三角函數(shù)，這三項(xiàng)內(nèi)容在中國(guó)大陸數(shù)學(xué)教材中也在高中才學(xué)習(xí)，英國(guó)教材中卻已經(jīng)開始學(xué)習(xí)其基本概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)，對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)范圍相對(duì)更加寬廣，包括正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用，高中再繼續(xù)深入學(xué)習(xí)，時(shí)間跨度很大.英國(guó)教材中沒有二元一次方程組，令人詫異的是臺(tái)灣教材中仍然保留了繁分?jǐn)?shù)的概念和運(yùn)算，繁分?jǐn)?shù)在大陸地區(qū)已經(jīng)作為“繁難偏舊”內(nèi)容而不再學(xué)習(xí).英國(guó)教材中沒有函數(shù)概念和性質(zhì)，留在高中（第五學(xué)段）來學(xué)習(xí)，而臺(tái)灣教材中很明確地學(xué)習(xí)函數(shù)，且有常數(shù)函數(shù)的定義，通過二元一次式和一次函數(shù)之間的關(guān)系給出線性函數(shù)與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、二元一次方程組與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系等.英國(guó)教材中沒有不等式及其性質(zhì)，而在臺(tái)灣教材中，不等式及其性質(zhì)是重點(diǎn).幾何內(nèi)容中，英國(guó)教材主要學(xué)習(xí)立體幾何和圓的知識(shí)，而臺(tái)灣教材中不學(xué)習(xí)三角形及其性質(zhì)、向量及其性質(zhì)，臺(tái)灣教材的內(nèi)容和我國(guó)大陸地區(qū)各個(gè)版本新教材內(nèi)容比較接近，臺(tái)灣教材中的證明只針對(duì)幾何證明，證明方法的學(xué)習(xí)融合在幾何概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，而英國(guó)教材中的證明卻有代數(shù)和幾何證明兩種，而且專門有一章內(nèi)容來學(xué)習(xí)證明，代數(shù)證明在臺(tái)灣教材中沒有專門學(xué)習(xí).

英國(guó)和臺(tái)灣教材對(duì)歐式幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)各有側(cè)重，臺(tái)灣教材繼承了中國(guó)的傳統(tǒng)特點(diǎn)，以學(xué)習(xí)平面幾何中包括三角形全等、圓的性質(zhì)等中國(guó)初中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)幾何內(nèi)容為主，而英國(guó)教材中平面幾何內(nèi)容很少，除了圓、梯形、扇形的面積外，基本上都是立體幾何內(nèi)容再加上現(xiàn)代幾何中的幾何變換內(nèi)容，能明顯感受到幾何發(fā)展的現(xiàn)代步伐.

數(shù)列和級(jí)數(shù)在臺(tái)灣和英國(guó)初中教材中均出現(xiàn)，臺(tái)灣教材中還專門學(xué)習(xí)等差數(shù)列，英國(guó)教材中學(xué)習(xí)通項(xiàng)公式，這些內(nèi)容在中國(guó)大陸屬于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的范疇.

二、臺(tái)灣、英國(guó)初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)編排順序比較

英國(guó)初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容基本順序：數(shù)與代數(shù)1（多項(xiàng)式、解方程、用解方程的方法轉(zhuǎn)換代數(shù)式）→簡(jiǎn)單三角1→幾何與圖形→統(tǒng)計(jì)1（平均數(shù)、頻數(shù)表、頻數(shù)圖、條形圖表示頻數(shù)、社會(huì)調(diào)查、抽樣）→代數(shù)2（展開括號(hào)、二次多項(xiàng)式、利用求根公式解二次方程、用完全平方法解二次方程）→三角2（平面和立體圖形中的三角、解三角形、特殊角三角函數(shù)、求三角形面積）→統(tǒng)計(jì)2（折線圖、莖葉圖、散點(diǎn)圖、累計(jì)頻數(shù)圖、箱式圖、離差測(cè)量）→概率→代數(shù)3（代數(shù)分?jǐn)?shù)、線性和非線性方程組、二次數(shù)列）→變量→向量→圖形變化→證明，由此可見，英國(guó)數(shù)學(xué)教材各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的安排順序是按照難度螺旋式上升的，同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)不斷地出現(xiàn)，難度逐步增加，這種按照知識(shí)難度螺旋式上升安排的模式在全世界各個(gè)國(guó)家的教材編寫方式中比較常見.還有一種叫“塊狀式”（臺(tái)灣稱為“直線式”）教材，就是一本書中集中一章或幾章一次性學(xué)完一個(gè)知識(shí)點(diǎn)所有內(nèi)容.英國(guó)也有很多這樣的“直線式”教材，比如，很多出版社出版的高中用微積分教材、三角教材、概率統(tǒng)計(jì)教材等，都是本模塊內(nèi)容獨(dú)立編寫成一本書，一次性學(xué)習(xí)完該模塊所有內(nèi)容.

臺(tái)灣教材中各個(gè)知識(shí)點(diǎn)編排順序：數(shù)（倍數(shù)、因數(shù)）→一元一次方程→二元一次方程組→函數(shù)與坐標(biāo)系→一元一次不等式→多項(xiàng)式及其運(yùn)算→勾股定理→數(shù)列與級(jí)數(shù)→幾何圖形及其性質(zhì)→二次函數(shù)→概率統(tǒng)計(jì).

臺(tái)灣教材中簡(jiǎn)單的代數(shù)知識(shí)在倍數(shù)、因數(shù)、質(zhì)數(shù)、負(fù)數(shù)等概念之前出現(xiàn)，而英國(guó)教材中代數(shù)內(nèi)容均在數(shù)的各種概念之后，臺(tái)灣教材把代數(shù)式和方程安排在一起學(xué)習(xí)，和中國(guó)大陸數(shù)學(xué)教材的安排模式相似，而英國(guó)直接學(xué)習(xí)方程，幾乎沒有代數(shù)式內(nèi)容作為前奏和鋪墊.

對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，英國(guó)教材和臺(tái)灣教材一樣，統(tǒng)計(jì)學(xué)在前，概率在后，第十一章和第十八章分別學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)1和統(tǒng)計(jì)學(xué)2，到第十九章才開始學(xué)習(xí)概率，臺(tái)灣教材中雖然概率和統(tǒng)計(jì)內(nèi)容在同一章學(xué)習(xí)，但是安排順序仍然是統(tǒng)計(jì)內(nèi)容在前，概率內(nèi)容在后，這樣的安排順序和中國(guó)大陸大學(xué)階段各個(gè)版本概率統(tǒng)計(jì)教材的知識(shí)點(diǎn)安排方式相反.

三角函數(shù)的學(xué)習(xí)順序：先通過勾股定理學(xué)習(xí)直角三角形的性質(zhì)，再通過直角三角形中三邊的不同比例來定義正弦、余弦、正切，接著學(xué)習(xí)用三角函數(shù)求三角形的邊長(zhǎng)，再到平面圖形中的三角函數(shù)、立體幾何圖形中的三角函數(shù)、求任意角大小、特殊角的三角函數(shù)、利用正弦函數(shù)求三角形的面積，用兩章的容量學(xué)習(xí)三角函數(shù)，難度螺旋式上升.

三、臺(tái)灣、英國(guó)初中數(shù)學(xué)教材知識(shí)呈現(xiàn)方式比較

1.英國(guó)教材引導(dǎo)—總結(jié)型知識(shí)呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)有利于提高學(xué)習(xí)效率

英國(guó)教材每章知識(shí)內(nèi)容呈現(xiàn)模式基本相同，章首知識(shí)導(dǎo)入：列出本章主要內(nèi)容概要（overview）→列出本章知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖→列出與本章內(nèi)容相關(guān)的已學(xué)知識(shí)→通過一個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單的問題幫助學(xué)生回憶已學(xué)相關(guān)知識(shí)→進(jìn)入新知識(shí)學(xué)習(xí).每節(jié)新知識(shí)呈現(xiàn)方式也基本相同：本節(jié)主要內(nèi)容和學(xué)習(xí)目標(biāo)列舉→基本概念或基本定理陳述→相應(yīng)的例題→相應(yīng)的練習(xí)題→下一個(gè)基本概念或定理陳述→相應(yīng)的例題→相應(yīng)的練習(xí)題，如此反復(fù)，最多一節(jié)一般不會(huì)超過三個(gè)基本概念或性質(zhì)、定理的學(xué)習(xí).

臺(tái)灣初中數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)方式和大陸北師大版新數(shù)學(xué)教材相似，章首沒有提前為學(xué)生展示本章知識(shí)引導(dǎo)或?qū)W習(xí)目標(biāo)，直接開門見山進(jìn)入新知識(shí)學(xué)習(xí)，基本結(jié)構(gòu)如下：以一兩個(gè)與本節(jié)新知識(shí)有關(guān)的設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入新概念、新定理、新性質(zhì)的思考→新概念呈現(xiàn)→相應(yīng)的例題→相應(yīng)的隨堂練習(xí)→下一個(gè)新概念或新定理呈現(xiàn)→相應(yīng)的例題→相應(yīng)的隨堂練習(xí)，如此反復(fù)，每節(jié)學(xué)習(xí)的新概念、新定理或性質(zhì)相對(duì)英國(guó)教材而言較多，有時(shí)候達(dá)到五六個(gè)概念、性質(zhì)或定理，有些相對(duì)簡(jiǎn)單的概念，不需要經(jīng)過例題的學(xué)習(xí)理解，只需要用一道“動(dòng)腦筋”的簡(jiǎn)單思考題來引導(dǎo)學(xué)生探究思考后就開始練習(xí)；每一節(jié)結(jié)束后都有一份測(cè)試題，題型一般有選擇題、填空題、計(jì)算題、應(yīng)用題等四種類型，題量在6～8個(gè)左右不等.

由此可見，英國(guó)數(shù)學(xué)教材更加重視學(xué)生學(xué)習(xí)前期的引導(dǎo)，臺(tái)灣數(shù)學(xué)教材更加重視后期的檢測(cè).相對(duì)而言，筆者認(rèn)為，英國(guó)教材更加有利于學(xué)生較高效率的學(xué)習(xí)，尤其是本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖和每節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)的展示，有利于學(xué)生一開始就一目了然把握本章的知識(shí)脈絡(luò)和各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系.

英國(guó)教材代數(shù)1中章首就有這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：

同時(shí)在第三節(jié)“解線性方程”列出學(xué)習(xí)目標(biāo)：

在這一節(jié)你將會(huì)學(xué)到：

●解未知數(shù)作為分?jǐn)?shù)分子的方程；

●解帶有括號(hào)的方程；

●解等式兩邊都帶未知數(shù)的方程；

●根據(jù)已知信息建立方程并解方程.

同時(shí)列出與該章內(nèi)容相關(guān)的已學(xué)知識(shí)內(nèi)容：

●基本的代數(shù)語言；

●合并同類項(xiàng)的方法；

●兩項(xiàng)代數(shù)式的乘積2m×3n.

每節(jié)節(jié)首也都列出本節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，同時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)旁邊也列出本章學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)鍵詞（Key words），例如在代數(shù)1第五章第三節(jié)解線性方程中就列舉出其學(xué)習(xí)目標(biāo)和關(guān)鍵詞.

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

●解分?jǐn)?shù)的分子中含有變量的方程；

●解含有括號(hào)需要展開的方程；

●解等式兩邊均含有指數(shù)的方程；

●根據(jù)已知條件建立方程并解這個(gè)方程.

同時(shí)在學(xué)習(xí)目標(biāo)右側(cè)列出關(guān)鍵詞：括號(hào)、兩邊同時(shí)進(jìn)行相同的運(yùn)算、方程、方程的解、解決問題.

英國(guó)教材每章章末還有一個(gè)總結(jié)或概括（Summary），概括分為兩部分，其一是學(xué)習(xí)效果分級(jí)，其二是應(yīng)該掌握的知識(shí)，例如在線性圖像和方程一章就有這樣的兩部分內(nèi)容.

對(duì)你評(píng)級(jí)（Grade yourself）：

D.能夠通過描點(diǎn)繪制直線圖像；

C.能夠用點(diǎn)斜式的方法繪制直線；

B.能夠繪制一個(gè)方程組兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的圖像；

A.能夠根據(jù)通過一些特殊點(diǎn)的相互平行或相互垂直的兩直線確定對(duì)應(yīng)的圖像的方程.

你應(yīng)該知道的知識(shí)（What you should know now）：

●如何繪制直線圖形；

●通過應(yīng)用方程組兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)求方程組的解；

●如何利用斜率來求出相互平行和相互垂直的直線的方程.

學(xué)生根據(jù)章首的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖和學(xué)習(xí)目標(biāo)，結(jié)合每節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)、關(guān)鍵詞，能夠?qū)訉佑忻}絡(luò)、步步有指引，有的放矢地學(xué)習(xí)，按圖索驥，根據(jù)已經(jīng)給出的知識(shí)脈絡(luò)學(xué)習(xí)，同時(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也可以不斷地按照知識(shí)結(jié)構(gòu)圖領(lǐng)會(huì)本章數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，復(fù)習(xí)過程中也能夠按照知識(shí)結(jié)構(gòu)圖來組織各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有利于加深對(duì)整體知識(shí)內(nèi)容的理解，能提高學(xué)習(xí)效率.因此英國(guó)教材的知識(shí)呈現(xiàn)方式應(yīng)該比臺(tái)灣教材更加有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，值得借鑒.

2.英國(guó)教材中數(shù)形結(jié)合思想貫穿各個(gè)知識(shí)點(diǎn)

數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用有利于小學(xué)和初中等年齡較小、抽象思維能力尚未成熟的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，英國(guó)教材中有大量數(shù)形結(jié)合思想滲透在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，例如，在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)，一開始就學(xué)習(xí)繪制直線在坐標(biāo)系內(nèi)的圖形，讓學(xué)生了解直線和一元一次方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再學(xué)習(xí)根據(jù)直線圖形來確定方程，接著學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解二元一次方程組的方法，最后學(xué)習(xí)平行直線和垂直直線對(duì)應(yīng)的方程的斜率之間的關(guān)系并會(huì)求這兩種特殊關(guān)系的直線對(duì)應(yīng)的直線方程，緊接著繼續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖像以及其他函數(shù)的圖像.在學(xué)習(xí)解不等式時(shí)也用數(shù)形結(jié)合的方法，一元不等式用數(shù)軸上有方向的箭頭圖形表示不等式范圍，二元不等式采用直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線上、下方彩色區(qū)域來表示不等式表示的范圍，一方面形象而生動(dòng)，有利于學(xué)生正確理解不等式的實(shí)質(zhì)，另一方面也為今后學(xué)習(xí)線性規(guī)劃奠定了基礎(chǔ).數(shù)形結(jié)合思想在英國(guó)教材中大量使用，但是在臺(tái)灣教材中很少看到，解一元一次方程還是用典型的消元法思想，這和我國(guó)兩岸傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)思想有關(guān)，大陸原來使用的舊大綱教材基本上看不到數(shù)形結(jié)合解決問題的內(nèi)容，新課程標(biāo)準(zhǔn)頒布后出版的各版本新教材有所改觀，有部分內(nèi)容用數(shù)形結(jié)合思想處理，是一個(gè)好的開端.

四、例題、習(xí)題的結(jié)構(gòu)和配置比較

1.兩種教材均根據(jù)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)需要隨時(shí)配置例題和習(xí)題

英國(guó)和臺(tái)灣教材例題、習(xí)題配置模式基本相同：新概念呈現(xiàn)→相關(guān)例題→相關(guān)練習(xí)題→下一個(gè)新概念→相關(guān)例題→相關(guān)練習(xí)題……，如此反復(fù)，直到一節(jié)所有新概念和新性質(zhì)、新定理學(xué)習(xí)結(jié)束.英國(guó)教材中每個(gè)新概念、新性質(zhì)、新定理配置2個(gè)左右的例題，臺(tái)灣教材中每個(gè)新概念、新性質(zhì)、新定理配置4個(gè)左右的例題，但是英國(guó)教材例題的解題過程非常詳細(xì)，同時(shí)配以文字解說，有時(shí)甚至增加形象的圖解說明，而臺(tái)灣教材中的例題基本上局限于形式化的推理步驟，沒有對(duì)解題步驟進(jìn)行過多的文字解釋說明，臺(tái)灣相關(guān)練習(xí)題稱為“隨堂練習(xí)題”，而英國(guó)的新概念相關(guān)練習(xí)題稱為“練習(xí)（exercise）”，不同之處是：臺(tái)灣教材中每節(jié)都有一個(gè)測(cè)試卷，稱為“自我評(píng)量”，題型有選擇題、填空題、計(jì)算題、證明題等，而英國(guó)教材中只是每章有一個(gè)考試卷，稱為“考試題（examquestions）”，一般都是計(jì)算題和證明題，沒有選擇題、填空題這樣的客觀題.

2.兩地教材例題、習(xí)題數(shù)量各有特色

總體上看，臺(tái)灣教材中每個(gè)知識(shí)點(diǎn)配置的例題數(shù)量比英國(guó)教材多，但是英國(guó)教材中習(xí)題數(shù)量遠(yuǎn)多于臺(tái)灣教材，臺(tái)灣每節(jié)的“自我評(píng)量”，題量在10個(gè)以內(nèi)，英國(guó)的“考試題（exam questions）”大題題量一般在10個(gè)左右，部分大題包含幾個(gè)小題，小題題量在20個(gè)左右.以兩種教材均有的“負(fù)數(shù)的乘法和除法”一節(jié)為例，英國(guó)教材中有4個(gè)例題，負(fù)數(shù)乘法和除法各有2個(gè)例題，而臺(tái)灣教材中僅負(fù)數(shù)乘法就有9個(gè)例題，負(fù)數(shù)除法有6個(gè)例題，英國(guó)教材中復(fù)數(shù)乘法和除法的練習(xí)題數(shù)量為41個(gè)，本章最后“考試題（exam questions）”中沒有關(guān)于負(fù)數(shù)乘法和除法的習(xí)題，而臺(tái)灣教材中有關(guān)負(fù)數(shù)的乘法和除法的練習(xí)題有21個(gè)，再加上本節(jié)的“自我評(píng)量”試卷中包含的5個(gè)關(guān)于負(fù)數(shù)乘法和除法考試題，一共26個(gè)練習(xí)題，遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于英國(guó)教材中相同知識(shí)點(diǎn)的練習(xí)題.英國(guó)教材中習(xí)題數(shù)量多的特點(diǎn)恰恰體現(xiàn)了中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常提到的“精講多練”的理念.

五、結(jié)論

1.臺(tái)灣和英國(guó)教材都很重視知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)和邏輯聯(lián)系

在臺(tái)灣教材中，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的安排順序非常重視相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯聯(lián)系.例如，臺(tái)灣教材中把學(xué)習(xí)二元一次方程和二元一次方程組的解法放在同一章中來學(xué)習(xí)，先學(xué)習(xí)二元一次函數(shù)及其圖形特征，然后根據(jù)二元一次函數(shù)的圖形特點(diǎn)來學(xué)習(xí)二元一次方程之間的幾何性質(zhì)，接著再通過兩個(gè)二元一次函數(shù)在坐標(biāo)系中的圖形之間的關(guān)系學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法；英國(guó)教材中在利用方程對(duì)應(yīng)的線性函數(shù)圖形交點(diǎn)的方法解二元一次方程組時(shí)，也是先學(xué)習(xí)直線圖形與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再學(xué)習(xí)通過圖形確定二元一次方程，接著學(xué)習(xí)利用兩個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像的交點(diǎn)來求二元一次方程組的解，學(xué)完線性函數(shù)與它的圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系后，再學(xué)習(xí)二次函數(shù)、雙曲線、三次函數(shù)、不規(guī)則函數(shù)等各類函數(shù)的圖像及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，層層推進(jìn)，難度逐步螺旋上升，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的延伸和升華，知識(shí)面廣泛而且符合初中學(xué)生的學(xué)習(xí)心理.

2.英國(guó)教材比臺(tái)灣教材更加“形式化”

從兩地教材知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)方式看，臺(tái)灣教材比英國(guó)教材中有更多的現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)情境例題和背景知識(shí)來支持相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，而英國(guó)教材中很少見到現(xiàn)實(shí)情境的例題.例如，臺(tái)灣教材中學(xué)習(xí)坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，就舉了教室里各位同學(xué)座位的縱向和橫向位置符號(hào)數(shù)組來說明點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，用投籃時(shí)籃球拋出后的軌跡來說明拋物線的幾何意義，學(xué)習(xí)相似形時(shí)，是通過講述古埃及流傳的科學(xué)家與哲學(xué)家泰利斯（Thales）通過測(cè)量自己的影子的長(zhǎng)度來度量金字塔的高度的故事來學(xué)習(xí)的.總體上看，不管是臺(tái)灣教材還是英國(guó)教材，都比大陸各個(gè)版本的數(shù)學(xué)新教材更加“形式化”.

3.英國(guó)教材比臺(tái)灣教材更加體現(xiàn)出“精講多練”的教學(xué)思想

從兩種教材中配置的例題和習(xí)題的數(shù)量比較看，英國(guó)教材更加注重學(xué)生對(duì)相關(guān)問題的練習(xí)，英國(guó)教材設(shè)計(jì)出的練習(xí)題不但數(shù)量多，而且體現(xiàn)出“變式”訓(xùn)練思想，各種練習(xí)題題型多樣，通過多次習(xí)題的訓(xùn)練不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解.這種模式值得我國(guó)教材在完善過程中思考.

六、對(duì)我國(guó)教材改革的啟示

1.英國(guó)教材引導(dǎo)和總結(jié)結(jié)構(gòu)模式有利于學(xué)生自學(xué)和提高學(xué)習(xí)效率

英國(guó)教材中每章、每節(jié)都有學(xué)習(xí)目標(biāo)、關(guān)鍵詞等，章末有總結(jié)和概括，有利于引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，同時(shí)也有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中參照學(xué)習(xí)目標(biāo)和概括，掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，加深對(duì)各個(gè)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間基礎(chǔ)和遞進(jìn)關(guān)系的理解，提高學(xué)習(xí)效率.我國(guó)各個(gè)版本數(shù)學(xué)教材一般均有章末總結(jié)和概括，但是缺乏章首、節(jié)首學(xué)習(xí)目標(biāo)的列舉和引導(dǎo)，如果能夠?qū)W習(xí)英國(guó)教材模式，增加章首和節(jié)首的引導(dǎo)，應(yīng)該會(huì)有更好的學(xué)習(xí)效果.

2.教材中生活、生產(chǎn)實(shí)際情景與數(shù)學(xué)理論知識(shí)結(jié)合要恰當(dāng)和適時(shí)

英國(guó)教材部分章節(jié)結(jié)束后有“問題解決（solving problem）”一節(jié)，專門培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，臺(tái)灣教材中也有很多數(shù)學(xué)與實(shí)際問題結(jié)合的例子.對(duì)照我國(guó)大陸地區(qū)各個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材，實(shí)際情景與數(shù)學(xué)理論結(jié)合的程度要遠(yuǎn)高于臺(tái)灣和英國(guó)教材，實(shí)際情景的例子也更多，對(duì)于初中學(xué)生而言，能結(jié)合實(shí)際問題情境來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，但是要恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的實(shí)際問題，不能牽強(qiáng)附會(huì)，也不能數(shù)量過多，畢竟，“形式化”是數(shù)學(xué)的基本特征之一，不能為情景化而情景化，過猶不及.

3.英國(guó)教材中的學(xué)習(xí)內(nèi)容知識(shí)面寬廣的特點(diǎn)值得借鑒

從英國(guó)教材內(nèi)容看，英國(guó)教材中專門有“證明”一章，而且分為代數(shù)證明和幾何證明兩類，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，英國(guó)教材知識(shí)面比較寬泛，不但有平面幾何圖形中的三角函數(shù)，而且也同時(shí)學(xué)習(xí)立體幾何圖形中的三角函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用等，而且學(xué)習(xí)數(shù)列及其通項(xiàng)公式，英國(guó)教材的做法可以讓學(xué)生開闊視野，了解到三角函數(shù)寬廣的使用范圍，讓初中學(xué)生從總體上一次性領(lǐng)略三角函數(shù)的各種性質(zhì)，雖然可能容量過大，但是如果學(xué)習(xí)方法得當(dāng)，應(yīng)該會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)功底較扎實(shí)、數(shù)學(xué)興趣較高的同學(xué)有很大幫助，為他們今后的持續(xù)學(xué)習(xí)奠定寬廣的基礎(chǔ).

*該文是全國(guó)教育科學(xué) “十二五”規(guī)劃2012年度單位資助教育部規(guī)劃課題：“高中數(shù)學(xué)教科書整體知識(shí)結(jié)構(gòu)國(guó)際比較研究（FDB20423）”的成果之一.