引入符號(hào)表征，重視推理表達(dá)——以七年級(jí)“三角形的高、中線與角平分線”的教學(xué)為例

☉江蘇省東?？h安峰初級(jí)中學(xué) 楊海寧

引入符號(hào)表征，重視推理表達(dá)
——以七年級(jí)“三角形的高、中線與角平分線”的教學(xué)為例

☉江蘇省東?？h安峰初級(jí)中學(xué) 楊海寧

近讀史寧中教授《數(shù)學(xué)思想概論》（第1~5輯）［1］，享受于史教授對(duì)基本數(shù)學(xué)思想（抽象、推理、模型）的概括和闡釋.特別是，作為第1~2輯講述的重點(diǎn)，關(guān)于“抽象”，史教授特別指出了符號(hào)表達(dá)的重要意義，這引發(fā)筆者對(duì)新近在七年級(jí)執(zhí)教“三角形的高、中線與角平分線”的思考，本文主要展示該課的教學(xué)設(shè)計(jì)、生成片斷，并給出三點(diǎn)反思，與同行交流.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)案

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷折紙、畫圖等實(shí)踐過程，認(rèn)識(shí)三角形的高、中線與角平分線.

2.會(huì)用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與角平分線，通過畫圖了解三角形的三條高（及所在直線）交于一點(diǎn)，三角形的三條中線、三條角平分線都交于一點(diǎn).

3.通過學(xué)生作圖、觀察、比較、描述圖形等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，圖形中蘊(yùn)含的規(guī)律性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情及大擔(dān)探究新知識(shí)的創(chuàng)新能力.

（二）教學(xué)流程

1.閱讀教材相關(guān)概念并對(duì)話交流.

2.師生合作整理三角形中三種重要線段，從概念、圖形、符號(hào)語(yǔ)言的角度理解與掌握.

3.畫圖活動(dòng).

活動(dòng)1：在練習(xí)本上畫出三角形，并在這個(gè)三角形中畫出它的三條高.

預(yù)設(shè)追問1：如果他們所畫的是銳角三角形，接著提出直角三角形的三條高在哪里？鈍角三角形的三條高在哪里？

預(yù)設(shè)追問2：觀察這三條高所在直線的位置有何關(guān)系.

預(yù)設(shè)答案：三角形的三條高交于一點(diǎn)，銳角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，直角三角形三條高線的交點(diǎn)為三角形直角頂點(diǎn)，而鈍角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形的外部.

活動(dòng)2：在練習(xí)本上畫三角形，并在這個(gè)三角形中畫出它的三條中線.

預(yù)設(shè)追問1：如果我們所畫的是銳角三角形，接著我們畫出直角三角形和鈍角三角形，看看這些三角形的中線在哪里？

預(yù)設(shè)追問2：觀察這三條中線的位置有何關(guān)系？三角形的一條中線把三角形的面積分成兩個(gè)面積相等的三角形.

預(yù)設(shè)答案：三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部，它們交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)在三角形內(nèi)部.

活動(dòng)3：在練習(xí)本上畫一個(gè)三角形，并在這個(gè)三角形中畫出它的三條角平分線，觀察這三條角平分線的位置有何關(guān)系？

預(yù)設(shè)答案：無(wú)論是銳角三角形還是直角三角形或鈍角三角形，它們的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且交于一點(diǎn).

4.例題鞏固.

例1 如圖1，是甲、乙、丙、丁四位同學(xué)畫的鈍角△ABC的高BE，其中畫錯(cuò)的是_________.

圖1

預(yù)設(shè)意圖：這是學(xué)生在解題時(shí)的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，通過例題強(qiáng)化理解畫高時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn)：一是過哪個(gè)點(diǎn)；二是垂直于哪條邊.

圖2

例2 如圖2，BD、CD分別平分∠ABC和∠ACB.

（1）若∠A=70°，求∠BDC的度數(shù)；

（2）試判斷∠BDC與∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

預(yù)設(shè)意圖：這道題在三角形的角平分線問題中具有典型性，體現(xiàn)由特殊到一般的思想，本題是已知兩條內(nèi)角平分線，探索其夾角與第三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系，為后面研究一外角平分線與一內(nèi)角平分線與第三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系，兩外角平分線與第三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系作鋪墊.

預(yù)設(shè)追問：通過以上求解發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律？請(qǐng)總結(jié)且與同伴交流.

預(yù)設(shè)意圖：第（1）、（2）題體現(xiàn)由特殊到一般的規(guī)律，即由已知∠A的度數(shù)求出∠BDC的度數(shù)，再由不告知∠A的度數(shù)，求出∠BDC與∠A的關(guān)系，體現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律.

5.練習(xí)鞏固（略）.

6.小結(jié)作業(yè)（略）.

二、課堂生成片斷

生成片斷1：新知引入階段.

師：同學(xué)們?cè)谛W(xué)階段都學(xué)過了三角形的高，那么什么叫三角形的高？三角形的高與垂線有何區(qū)別和聯(lián)系？

生1：（搶著站起來(lái)）三角形的高是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它對(duì)邊所在的直線作垂線，是頂點(diǎn)和垂足之間的線段，而從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它對(duì)邊所在的直線作垂線，這條垂線是直線.

師：什么叫三角形的中線？連接兩點(diǎn)的線段與過兩點(diǎn)的直線有何區(qū)別和聯(lián)系？

生2：三角形的中線是連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段，而與過兩點(diǎn)的直線有著本質(zhì)的不同，一個(gè)代表的是線段，另一個(gè)卻是直線.

師：什么叫三角形的角平分線？三角形的角平分線與角的平分線有何區(qū)別和聯(lián)系？

生3：三角形的角平分線是三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與它的對(duì)邊相交，是這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段，而角的平分線指的是一條射線.

師：三角形的高、中線和角平分線是代表線段還是代表射線或直線？

集體回答：線段.

生4：三角形的高、中線和角平分線都是線段，這些線段的一個(gè)端點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊上.

師：小學(xué)階段學(xué)習(xí)三角形中這三種重要的線段時(shí)，我們往往憑著直覺可以直接進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算或解題，進(jìn)入初中后，我們需要更加規(guī)范、簡(jiǎn)練地說(shuō)理和表達(dá)，所以下面我們一起來(lái)整理下表（見表1）.

表1：三角形的重要線段一覽表

生成片斷2：畫圖活動(dòng)后的對(duì)話.

師：同學(xué)們都在三角形中畫出了三角形的三條高了，看看三條高的位置有怎樣的關(guān)系？

生5：我在小學(xué)里就知道，銳角三角形的三條高都在內(nèi)部，交于一點(diǎn).直角三角形兩條高在邊上，一條高在內(nèi)部，且交于直角的頂點(diǎn).鈍角三角形兩條高在外部，一條高在內(nèi)部，且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn).

師：總結(jié)得很好！

師：再看不同的三角形三條中線的位置有何特點(diǎn)？

生6：三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部，且它們交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)在三角形內(nèi)部.

師：三角形的一條中線把三角形的面積怎樣了？

生7：平分（等底同高）.

師：繼續(xù)思考，不同三角形中三條角平分線的位置關(guān)系如何？

生：銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形，它們的三條角平分線都在三角形內(nèi)，并且交于一點(diǎn).

師：很好！完全正確.如果把它們恰好交于一點(diǎn)稱為數(shù)學(xué)的奇異性的話，隨著我們學(xué)習(xí)的深入，以后我們還會(huì)研究、解釋并證明這種奇異現(xiàn)象.

三、教學(xué)反思

（一）引入符號(hào)表征，滲透多元表征

日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏在總結(jié)數(shù)學(xué)的兩大特征時(shí)，曾指出：“為了有助于‘人類思想表達(dá)的經(jīng)濟(jì)化’（這里的經(jīng)濟(jì)化是指變得簡(jiǎn)潔，省事），數(shù)學(xué)使用了比其他任何科學(xué)都要多得多的術(shù)語(yǔ)和記號(hào).”［2］米山認(rèn)為：“若不用這些數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)相似的意義，而要用普通的語(yǔ)言來(lái)完整地表達(dá)它，那就一定會(huì)變得冗長(zhǎng)復(fù)雜難于理解，其內(nèi)容也一定混淆不清.用簡(jiǎn)潔的文字表達(dá)具有復(fù)雜內(nèi)容的事物或關(guān)系的同時(shí)，還采用簡(jiǎn)單的記號(hào)來(lái)表示它們，如≌或∽符號(hào).”事實(shí)上，這也正是中小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要不同，相對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，初中階段的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言更加豐富、簡(jiǎn)潔，上文課例中，在“生成片斷1”師生一起整理“表1”，其中特別小結(jié)出了符號(hào)語(yǔ)言表示，就是要引導(dǎo)學(xué)生重視符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá).此外，“表1”中還體現(xiàn)了對(duì)于同一概念的不同表征，也即當(dāng)前受到重視的“多元表征”理論，就是指“人們關(guān)于數(shù)學(xué)概念（或數(shù)學(xué)問題）的心理表征往往包含多個(gè)不同的方面或成分，而且這些成分對(duì)于概念的正確理解都具有重要的作用，我們應(yīng)高度重視這些成分之間的聯(lián)系.”［3］

（二）重視推理表達(dá)，從直觀到理性

初中階段是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)歐氏平面幾何的開始，是學(xué)生在圖形學(xué)習(xí)時(shí)以直觀、直覺、猜想、合情推理為主逐漸轉(zhuǎn)向理性、說(shuō)理、證明、思辨.初中幾何系統(tǒng)學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、三角形、四邊形、圓、圖形變換等內(nèi)容，應(yīng)該指出，歐幾里德在《幾何原本》中給出五個(gè)公設(shè)［4］與五個(gè)公理，即是以此出發(fā)，演繹推理出“一座大廈”，當(dāng)下初中數(shù)學(xué)多種教材中給出的公理、定理、推論，都是基于“五個(gè)公設(shè)”、“五個(gè)公理”演繹出來(lái).這樣來(lái)看，從七年級(jí)開始，像上文提及的三角形中重要線段的課例中，不滿足于簡(jiǎn)單的性質(zhì)再現(xiàn)，而是重視符號(hào)語(yǔ)言、簡(jiǎn)單推理表達(dá)，就是追求從直觀到理性的過程.此外，上文“生成片斷”的教學(xué)對(duì)話中，涉及教師對(duì)學(xué)生的有效追問，這里也可提及日本著名教育學(xué)者佐滕學(xué)的觀點(diǎn)：“教師的關(guān)鍵不在于說(shuō)而在于聽.我也認(rèn)識(shí)到當(dāng)今世界很多優(yōu)秀的教師，大家都認(rèn)為教師的工作重心是傾聽.對(duì)學(xué)生來(lái)講同樣如此，只有更好地傾聽，才能達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果.我們需要明確的是‘互相學(xué)習(xí)’和‘互相說(shuō)’是完全不同的兩件事.”［5］顯然，課堂教學(xué)中的互相傾聽需要教師的耐心，而不是急著打斷、幫助優(yōu)化.

（三）注意中小銜接，思辨解題表達(dá)

美國(guó)教育心理學(xué)家戴維·奧蘇貝爾曾說(shuō)：“影響學(xué)習(xí)的最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要根據(jù)學(xué)生的原有知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué).”所以在上文的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)對(duì)話中，能看到中小學(xué)之間的銜接，無(wú)論是教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，還是學(xué)生在回答問題時(shí)提及的“小學(xué)里就已經(jīng)知道”，說(shuō)明重視中小學(xué)銜接是十分重要的.在這里，需要提及，當(dāng)前有些初中教材在編寫過程中缺少對(duì)相應(yīng)小學(xué)數(shù)學(xué)教材的關(guān)注，造成了“各自為戰(zhàn)”，如在三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)時(shí)，不少教師“嚴(yán)守”某些教材的情境，安排不少教學(xué)時(shí)間讓學(xué)生剪拼，為了得到一個(gè)180度的結(jié)論，卻忘了問一下學(xué)生“你們知道三角形內(nèi)角和嗎？”這里可提及美國(guó)學(xué)者巴拉布與達(dá)菲對(duì)預(yù)設(shè)“好的問題”的建議：“教師的工作是通過向?qū)W生問他們應(yīng)當(dāng)自己?jiǎn)栕约旱膯栴}來(lái)對(duì)學(xué)習(xí)和問題解決進(jìn)行指導(dǎo)，這是參與性的，不是指示性的；其基礎(chǔ)不是要尋找正確答案，而是針對(duì)專業(yè)的問題解決者當(dāng)時(shí)會(huì)向自己提出的那些問題.”［6］這就是指，能夠提出恰當(dāng)?shù)膯栴}正是喚起數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效保證.

1.史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1~5輯）［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2008、2009、2009、2010、2012.

2.［日］米山國(guó)藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法［M］.成都：四川教育出版社，1986.

3.鄭毓信.教師專業(yè)成長(zhǎng)的主要目標(biāo)與重要內(nèi)容（下）［J］.小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版)，2013（12）.

4.齊民友.數(shù)學(xué)與文化［M］.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1991.

5.［日］佐滕學(xué).21世紀(jì)學(xué)校改革的方向［J］.人民教育，2014（1）.

6.喬納森，等，主編.學(xué)習(xí)環(huán)境的理論基礎(chǔ)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2002.FH