基于ARMA模型的加速退化試驗(yàn)可靠性評估

黃運(yùn)來,張國龍,鄧 陳,柏 航

（1.63981部隊(duì)，湖北 武漢 430311；2.軍械工程學(xué)院光學(xué)與電子工程系，河北 石家莊 050003）

基于ARMA模型的加速退化試驗(yàn)可靠性評估

黃運(yùn)來1,張國龍2,鄧 陳1,柏 航1

（1.63981部隊(duì)，湖北 武漢 430311；2.軍械工程學(xué)院光學(xué)與電子工程系，河北 石家莊 050003）

有限時(shí)間內(nèi)很難獲得大量電子產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)可靠性評估方法存在一定局限。在分析傳統(tǒng)加速退化試驗(yàn)可靠性評估的基礎(chǔ)之上，提出利用時(shí)間序列對產(chǎn)品加速退化過程描述的方法，使用自回歸滑動(dòng)平均混合（ARMA）模型對退化數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，通過參數(shù)估計(jì)得到其退化規(guī)律的表達(dá)式，從而外推出其失效壽命，進(jìn)而利用極大似然估計(jì)理論進(jìn)行可靠性評估。最后以某電源電路板加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，分時(shí)間序列建模和可靠性評估兩大步驟，分別對95℃、105℃、115℃下加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，得出可靠性評估結(jié)果，驗(yàn)證該方法的有效性和實(shí)用性。

可靠性評估；加速退化試驗(yàn)；ARMA模型；時(shí)間序列

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，電子產(chǎn)品的壽命、可靠性也變得愈來愈高，采用傳統(tǒng)的可靠性壽命或加速壽命試驗(yàn)，在有限的時(shí)間內(nèi)很難獲得大量的失效數(shù)據(jù)，這給傳統(tǒng)的可靠性分析方法帶來了困難。利用產(chǎn)品的加速退化數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性評估與壽命預(yù)測是可靠性分析的一個(gè)新的發(fā)展方向[1]。加速退化試驗(yàn)是基于加速壽命試驗(yàn)的思想，通過加速應(yīng)力水平下的退化數(shù)據(jù)來外推出正常應(yīng)力水平下可靠性。利用退化數(shù)據(jù)進(jìn)行產(chǎn)品的可靠性評估，其關(guān)鍵是尋找退化數(shù)據(jù)的退化規(guī)律。目前利用加速退化數(shù)據(jù)對產(chǎn)品進(jìn)行可靠性評估主要基于退化軌跡和退化量分布兩

種思路，而基于退化軌跡進(jìn)行可靠性推斷是一種比較直觀和成熟的方法，選擇合適的退化軌跡模型，可較好地描述產(chǎn)品的退化特征，提高可靠性評估精度。

文獻(xiàn)[2]～[4]等利用不同方法對產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行分析和評估，文獻(xiàn)[5]和[6]還給出了基于性能退化數(shù)據(jù)的可靠性分析的方法與步驟，并建立性能退化可靠性模型，但這些對退化軌跡未知的產(chǎn)品具有一定局限性。本文提出利用時(shí)間序列建立退化軌跡模型的一般方法，應(yīng)用ARMA模型對退化數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，預(yù)測產(chǎn)品的退化數(shù)據(jù)，根據(jù)失效閾值外出產(chǎn)品的偽壽命，再對失效時(shí)間進(jìn)行分布的擬合檢驗(yàn)，求出分布的參數(shù)估計(jì)，從而進(jìn)行產(chǎn)品可靠性評估與壽命預(yù)測。

1 基于ARMA時(shí)間序列的加速退化數(shù)據(jù)建模

1.1 問題的描述與假設(shè)

假設(shè)在應(yīng)力水平Sk（k=1，2，…，r）下nk個(gè)樣本進(jìn)行加速退化試驗(yàn)，分別在t1，t2，…，tm（t1≤t2≤…≤tm）進(jìn)行等時(shí)間間隔監(jiān)測，測得第i個(gè)樣本下的m個(gè)性能退化值y=[yi1，yi2，…，yim]；然后根據(jù)性能退化值構(gòu)造時(shí)間序列并進(jìn)行ARMA建模。假設(shè)如下：

（1）在各加速應(yīng)力水平下，產(chǎn)品的失效機(jī)理（模式）保持不變。

（2）產(chǎn)品的退化量具有穩(wěn)定的上升或下降趨勢，假設(shè)產(chǎn)品的失效閾值為yc，則產(chǎn)品的偽失效時(shí)間為退化量到達(dá)失效閾值yc的時(shí)間。

（3）在各加速應(yīng)力水平下，產(chǎn)品的退化過程服從同族隨機(jī)過程，即應(yīng)力水平變化時(shí)，產(chǎn)品退化隨機(jī)過程保持不變，改變的只是過程參數(shù)。

（4）對樣本i等時(shí)間監(jiān)測的退化數(shù)據(jù)，依時(shí)間順序，構(gòu)造時(shí)間序列{Yt，t1，t2，…，tm（t1≤t2≤…≤tm）}。

1.2 基于ARMA的加速退化數(shù)據(jù)建模

時(shí)間序列分析是采用參數(shù)模型對觀測得到的有序隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的一種處理方法，通過時(shí)間序列可以對產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析，對未來的發(fā)展趨勢做出預(yù)測[7]。ARMA主要是利用大量的歷史數(shù)據(jù)來建模，經(jīng)過模型識(shí)別、參數(shù)估計(jì)、模型檢驗(yàn)來確定一個(gè)能夠描述所研究時(shí)間序列的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而推導(dǎo)出預(yù)測模型達(dá)到預(yù)測的目的。ARMA（p，q）的一般形式為

這一模型就稱作p階自回歸-q階滑動(dòng)平均混合模型，記為ARMA（p，q）模型。特殊地，若p=0，記為MA（q）；若q=0記為AR（p）；若p=q=0，模型退化為Xt=Zt，即{Xt}為白噪聲序列。

基于ARMA的加速退化數(shù)據(jù)建模步驟如下：

（1）ARMA模型所適合描述的對象是平穩(wěn)的隨機(jī)序列，因此首先判斷退化數(shù)據(jù)序列的平穩(wěn)性，若序列非平穩(wěn)，則需對原數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，對數(shù)據(jù)求差分使其平穩(wěn)。

（2）ARMA模型識(shí)別，模型識(shí)別有兩種方法，一是根據(jù)序列的自相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)來判斷，若自相關(guān)函數(shù)ACF在滯后數(shù)p后截尾和偏相關(guān)系數(shù)PACF在滯后數(shù)q后截尾，則截?cái)?shù)分別為p和q。二是利用赤池準(zhǔn)則（AIC）和貝葉斯準(zhǔn)則（BIC），通過比較判斷不同階模型的AIC或BIC值來確定p和q，它們越小，模型擬合越優(yōu)。

（3）用時(shí)間序列的數(shù)據(jù)，估計(jì)模型的參數(shù)，并通過退化數(shù)據(jù)序列的前k個(gè)值進(jìn)行預(yù)測后m-k個(gè)退化值，進(jìn)行檢驗(yàn)，以判定模型是否恰當(dāng)。

（4）根據(jù)時(shí)間序列模型，預(yù)測性能退化量，并根據(jù)事先假定的失效閾值來推出產(chǎn)品的失效時(shí)間。

2 加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)可靠性評估

2.1 壽命分布的擬合檢驗(yàn)

通過時(shí)序模型得到產(chǎn)品的偽失效壽命之后，需對其分布進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，利用最小二乘法求出壽命數(shù)據(jù)的線性回歸曲線及其相關(guān)系數(shù)，分別用產(chǎn)品可能服從的壽命分布對其分布檢驗(yàn)，可以采用相關(guān)系數(shù)r→1的程度判斷哪種分布更好。

2.2 壽命分布參數(shù)估計(jì)

利用2.1節(jié)確定壽命的分布類型后，可利用參數(shù)估計(jì)理論對其參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，可用于產(chǎn)品壽命分布參數(shù)估計(jì)理論有極大似然估計(jì)（MLE）、圖估計(jì)法、最小二乘估計(jì)（LSE）、逆矩估計(jì)、最佳線性無偏估計(jì)（BLUE）、簡單線性無偏估計(jì)（GLUE）、近似無偏估計(jì)（AUE）、線性不變估計(jì)（LIE）等方法。這些方法中，除MLE外的其他估計(jì)方法均需要人為干預(yù)，如系數(shù)查表等。MLE應(yīng)用于加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析通用性好，不僅適用于絕大部分理論分析，而且MLE估計(jì)量有非常好的統(tǒng)計(jì)特征。因此，本文利用極大似然估計(jì)法（MLE）對壽命分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

假定產(chǎn)品壽命服從正態(tài)分布，利用極大似然估計(jì)方法對其壽命分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，樣本的對數(shù)似然函數(shù)為

將lnL（μ，σ2）分別關(guān)于兩個(gè)分量求偏導(dǎo)并令其為零得到似然方程組，解此方程組可得μ和σ的極大似然估計(jì)分別為

由此，產(chǎn)品在給定時(shí)間t的可靠度估計(jì)為

其他壽命分布的的極大似然估計(jì)與正態(tài)分布相似，文獻(xiàn)提及的也較多，在這里不再贅述。

3 算 例

以文獻(xiàn)[8]中功能電路加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，該試驗(yàn)以某型雷達(dá)供電裝置內(nèi)24 V-2 A穩(wěn)壓電源板為試驗(yàn)對象，分別在95，105，115，125℃下進(jìn)行加速退化試驗(yàn)，每組試驗(yàn)用8塊相同的電路板，對每塊電路板中的一個(gè)電壓輸出幅值進(jìn)行監(jiān)控，各應(yīng)力下性能退化量（幅度）隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖1所示。

電路在125℃條件下，試驗(yàn)過程中出現(xiàn)工作狀態(tài)不穩(wěn)定、數(shù)據(jù)波動(dòng)大、故障頻率高、規(guī)律性差等現(xiàn)象，研究意義不大，因此，不對該試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。利用本文方法對前3組加速退化數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性評估步驟如下：

3.1 時(shí)間序列建模

（1）以不同應(yīng)力下各樣品性能特征量的均值構(gòu)造時(shí)間序列{μt}

（2）模型定階與參數(shù)估計(jì)

以95℃下的幅度均值時(shí)間序列進(jìn)行分析，其自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)如圖2所示。其中，ACF是3步截尾，PACF是2步截尾，故確定ARMA模型為ARMA（3，2），同上所述，可通過分析自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)的方法確定105，115，125℃下的幅度均值時(shí)間序列模型為 ARMA（2，2），ARMA（2，2），利用Matlab系統(tǒng)辨識(shí)工具箱進(jìn)行模型識(shí)別。

（3）外推失效時(shí)間

通過試驗(yàn)，95℃下只失效1塊電路板，105℃下失效3塊，15℃失效5塊，只對未失效的電路板進(jìn)行偽失效壽命預(yù)測。根據(jù)上述得到的ARMA模型表達(dá)式以及已有的退化數(shù)據(jù)和預(yù)測的退化數(shù)據(jù)，可以獲得樣品達(dá)到失效閾值的退化數(shù)據(jù)，其所對應(yīng)的時(shí)間即為失效時(shí)間：

用本例所得到偽失效壽命如表1所示。

3.2 可靠性評估

（1）分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)。得到偽失效壽命后，先進(jìn)行分布假設(shè)檢驗(yàn)，經(jīng)分布的假設(shè)檢驗(yàn)，符合正態(tài)分布，得到均值、方差如下。利用極大似然估計(jì)方法，得到95℃下偽失效壽命服從正態(tài)分布，參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)為：u1=11354，σ1=1.7126×103；105℃下參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)：u2=7 912，σ2=1.120 1×103；115℃下參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)u3=2552，σ3=1.0643×103。

（2）加速模型的確定。常用的加速壽命模型包括Arrhenius模型、逆冪率模型、Eyring模型、數(shù)學(xué)加速模型等。阿倫尼斯在大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上于1889年，提出如下適用于溫度應(yīng)力下的加速模型：

式中：ξ——產(chǎn)品的特征壽命，如中位壽命、平均壽命等；

A——常數(shù)，且A＞0；

E——激活能，與材料有關(guān)，eV；

K——波爾茲曼常數(shù)，為8.617×10-5eV/℃，從而

可知E/K的單位是溫度，故又稱E/K為激活溫度；

T——絕對溫度，等于攝氏溫度加273。

Arrhenius模型表明，壽命特征將隨著溫度上升而按指數(shù)下降，對式（5）兩邊取對數(shù)，可得

其中a=lnA，b=E/K。它們均是待定的參數(shù)，式（6）表明壽命特征的對數(shù)是溫度倒數(shù)的線性函數(shù)。因此，本例選用阿倫尼斯加速模型。

（3）加速模型中的參數(shù)估計(jì)。采用Arrhenius加速模型外推出產(chǎn)品在正常使用條件下的分布參數(shù)：

所以正常使用條件下（T=298K）的參數(shù)

從而得到產(chǎn)品在正常溫度下的可靠度曲線如圖3所示。

[8]證明了該可靠度曲線的合理性，從圖3中可以看出，本文方法與文獻(xiàn)[8]的結(jié)果非常接近。因此，基于時(shí)間序列ARMA建模的可靠性評估方法具有一定的有效性。

4 結(jié)束語

基于時(shí)間序列ARMA建模的加速退化數(shù)據(jù)可靠性分析方法對于高可靠退化型產(chǎn)品進(jìn)行可靠性評估具有良好的效果，并且具有較好的適用性。利用失效退化之前的數(shù)據(jù)建模在于探索失效規(guī)律，可以適用于失效退化階段預(yù)測，預(yù)測結(jié)果具有參考意義，但不一定很準(zhǔn)確。當(dāng)失效樣本數(shù)據(jù)不足時(shí)，只能是一種探索性的預(yù)測，不能保證建模精度和預(yù)測精度，在無失效樣本或樣本數(shù)據(jù)較少的情況下，需要探索新的有效方法對可靠性進(jìn)行評估。

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Accelerated degradation test reliability evaluation based on ARMA model

HUANG Yun-lai1，ZHANG Guo-long2，DENG Chen1，BAI Hang1
（1.Unit 63981，Wuhan 430311，China；2.Optical and Electronic Engineering Department of Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

As it is difficult to obtain the failure data of electronic products in limited time，the traditional methods of reliability evaluation are limited.On the basis of analysis on traditional accelerated degradation test reliability evaluation，the use of time series of accelerated degradation method of process description was proposed.Using degradation data to build the auto-regressive and moving average（ARMA）model and using parameter estimation to get expression degradation law.The failure life was launched from the outside and reliability evaluation was estimated using maximum likelihood theory.Finally，to verify the effectiveness and practicability of the method，power supply circuit board accelerated degradation test data were used as an example.Two steps of time series modeling and reliability evaluation are clarified and accelerated degradation test data at 95，105 and 115℃ were analyzed.

reliability evaluation；accelerated degradation test；auto-regressive and moving average model；time series

O213.1；TP274；TN911.6；TP206+.3

：A

：1674-5124（2014）04-0137-04

10.11857/j.issn.1674-5124.2014.04.034

2013-06-25；

：2013-08-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61271153）

黃運(yùn)來（1985-），男，湖南邵陽市人，工程師，碩士，研究方向?yàn)檠b備計(jì)量及系統(tǒng)性能測試。