關(guān)于高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題分析

郝連軍

摘 要：不等式恒成立問題是近年來高考數(shù)學(xué)的熱點，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點內(nèi)容。由于不等式恒成立問題涉及的知識面多、表現(xiàn)形式多樣化以及綜合能力強，所以導(dǎo)致學(xué)生無從下手，不知道怎樣解這一類型的題目。通過分析高中數(shù)學(xué)不等式恒成立中常見的例題，妙解不等式恒成立問題。

關(guān)鍵詞：不等式恒成立；換元思路；函數(shù)思路

根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)中的不等式恒成立問題成為高中熱點命題之一，針對不等式恒成立問題所涉及的知識載體眾多，高中數(shù)學(xué)的解題思路相對比較靈活，尤其是在多題型的情況下學(xué)生難以快速找到合適的解題思路，傳統(tǒng)單一的教學(xué)方法及解題方法不僅不能實現(xiàn)課改的創(chuàng)新要求，而且對學(xué)生的答題思路還有一定的限制。下面就將不等式恒成立問題多種解題思路進行系統(tǒng)全面的講解。

一、換元思路在不等式恒成立問題中的應(yīng)用

不等式恒成立問題中常見的就是出現(xiàn)參數(shù)與變量的結(jié)合，在這種情況下利用分離參數(shù)得出最大值與最小值就相對困難一些，根據(jù)問題的不同，學(xué)生在解題的過程中首先需要弄清楚題意中表示的誰是主元，這樣解題就有了目標性。然后根據(jù)主元構(gòu)成的函數(shù)來進行解題，一般的換元思路中多為一次函數(shù)，采取一次函數(shù)的直線形狀的特點，根據(jù)實際分析兩個端點的具體情況，這樣問題就容易了。

例如：已知f（x）=x3+4ax-l，g（x）=f′（x）-ax-6，對滿足-1≤a≤1的一切a的值，恒有g(shù)（x）<0，求實數(shù)x的取值范圍.

分析：理解題意，如果將這一例題看做為關(guān)于x的一元二次方程式化簡這個過程就會十分的復(fù)雜；如果能夠改變角度，將其中a的范圍看為主元變量問題，x作為做變量，那么這個問題就變成以a為變量的一次函數(shù)。

點評：這道題的核心問題在于，學(xué)生能夠?qū)視作參數(shù)，a視為自變量。

二、函數(shù)思路在不等式恒成立問題中的應(yīng)用

不等式恒成立問題中對于二次函數(shù)法的應(yīng)用主要是根據(jù)二次函數(shù)圖象的特性來解題的，如果能夠?qū)⒉坏仁絾栴}轉(zhuǎn)化成函數(shù)最大值、最小值問題，就需要結(jié)合分類討論思想來完成解題。

例如：已知函數(shù)f（x）=x3+ax+x+3，a∈R，若f（x）在區(qū)間（-1/3，

-2/3）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍。

分析：這一道題的解題思路主要是二次函數(shù)區(qū)間問題，在這個過程中學(xué)生的思路要考慮的就是只對變量討論，同時本題的關(guān)鍵在于考察二次函數(shù)零點的分布，學(xué)生需要注意對于特殊點函

數(shù)值的正負問題進行思考，問題就簡化了，因為函數(shù)f（x）在區(qū)間

（-1/3，-2/3）內(nèi)是減函數(shù)，所以在（-1/3，-2/3）內(nèi)，f′（x）=3x2+2a+1≤0恒成立.因為二次函數(shù)f′（x）開口向上，f′（x）最小只可能是f′（-2/3）或f′（-1/3），由f′（-2/3）=4/3-4a/3+1≤0與f′（-1/3）=1/3-2a/3+1≤0，得到a≥2。

上一道題的另一種考查形式為：（a-1）n2+（a-1）+2>0恒成立，求a的取值范圍。

分析：這道題的變量為n，并且沒有任何的限制條件，需要用判別式來思考解決。

解析：如果a-1=0，即a=1時，因此2>0恒成立.如果a-1≠0，即a≠1時，則a-1>0，Δ=（a-1）2-8（a-1）<0，所以1≤a<9。

點評：這一個不等式題目需要利用二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)零點的分布，最終得出參數(shù)的取值范圍。

綜上所述，由于高中數(shù)學(xué)不等式恒成立問題涉及面比較廣、綜合性比較強，如果基礎(chǔ)知識掌握不牢固，沒有掌握解題方法，則在解題中很容易出錯。因此在課堂以及課下學(xué)習(xí)的過程中，打好堅實的基礎(chǔ)，掌握解題技巧，在解題中不斷總結(jié)，這樣才能促進學(xué)生提高解題能力和思維能力。

參考文獻：

李冬倩.高中數(shù)學(xué)中不等式的恒成立問題[J].新校園：理論版，2012（11）.

（作者單位 內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰第四中學(xué)）