基于Gumowski-Mira公式的分形圖實(shí)現(xiàn)算法的研究

2014-01-26 07:26:46王海飛馬德峰

中國(guó)教育技術(shù)裝備 2014年17期

◆王海飛馬德峰

◆王海飛馬德峰

分形是生活中常見(jiàn)的現(xiàn)象。分形的內(nèi)容太多，只研究基于公式Gumowski-Mira的分形。通過(guò)介紹公式，然后用VC編程實(shí)現(xiàn)。通過(guò)這幾個(gè)參數(shù)的改變，研究圖形的變化，從而研究各個(gè)參數(shù)的物理意義。

分形；Gumowski-Mira公式；自相似

1 引言

分形是日常生活中常見(jiàn)的現(xiàn)象，本文只研究基于公式Gumowski-Mira的分形。通過(guò)對(duì)公式中參數(shù)的多次改變，研究圖形的變化，從而研究各個(gè)參數(shù)的物理意義。對(duì)于程序代碼，本文會(huì)著重講解其中的每個(gè)參數(shù)和變量對(duì)圖形的影響，從而把其中的物理意義進(jìn)行總結(jié)歸納，讓大家對(duì)分形以及在這個(gè)公式基礎(chǔ)上的分形有一個(gè)清楚、全新的認(rèn)識(shí)！

2 分形概述

分形的起源其實(shí)，分形的研究可以上溯到很久以前。大約100年前，分形的思想已經(jīng)開(kāi)始出現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域。但是，就像其他的一些革命性的思想一樣，分形的研究受到主流學(xué)術(shù)的譴責(zé)，被人們認(rèn)為只是研究一些數(shù)學(xué)中的怪異現(xiàn)象。那時(shí)候著名的數(shù)學(xué)家Charles Hermit把分形稱為“怪物”，這代表了絕大多數(shù)人的觀點(diǎn)。

IBM公司的數(shù)學(xué)家Benoit B. Mandelbrot認(rèn)真地研究了分形與自然的關(guān)系，他向人們展示了分形廣泛地存在于身邊，一些現(xiàn)象都能夠用分形來(lái)進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，他和他的同事們用分形來(lái)描述樹(shù)和山等復(fù)雜事物。他還擴(kuò)展了維數(shù)的概念，開(kāi)創(chuàng)性地提出了分?jǐn)?shù)維的概念，并創(chuàng)造了“fractal”一詞?！癴ractal”就是人們所說(shuō)的“分形”，也叫“分維”，臺(tái)灣的學(xué)者則稱之為“碎形”。為了褒獎(jiǎng)Mandelbrot的突出貢獻(xiàn)，人們把他稱為“分形之父”[1]。

分形的概念Mandelbrot在解釋“分形”一詞時(shí)說(shuō)：“我由拉丁語(yǔ)形容詞fractus創(chuàng)造了‘分形’（fractal）一詞。相應(yīng)的拉丁語(yǔ)動(dòng)詞fragere意味著‘打破’和產(chǎn)生不規(guī)則的碎塊。從而可見(jiàn)，除了‘破碎的’（如像碎片或曲折），fractus也應(yīng)當(dāng)具‘不規(guī)則’的含義，這兩個(gè)含義都被保存在碎片（fragment）中?！盵2]有許多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是分形，如謝爾賓斯基三角形、科切雪花、皮亞諾曲線、曼德勃羅集、洛侖茲吸引子等。分形同樣可以描述許多真實(shí)世界的對(duì)象，如云彩、山脈、湍流和海岸線等，當(dāng)然它們不是單純的分形形狀。

Mandelbrot曾給出了一個(gè)分形的數(shù)學(xué)定義：一個(gè)幾何對(duì)象，它的豪斯道夫維數(shù)嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)。這不僅有些抽象，而且也不是一個(gè)令人滿意的定義，因?yàn)檫€有好多分形沒(méi)有被該定義涵蓋。后來(lái)他又給出一個(gè)比較通俗的定義：部分與整體以某種形式相似的圖形。該定義仍然不能表達(dá)分形的全部意思，但會(huì)使很多初學(xué)者開(kāi)始理解分形了，雖然還不能全部理解。

分形的幾何特征分形是破碎的、不規(guī)則的，其幾何性質(zhì)十分豐富，可以說(shuō)，到目前為止它的幾何性質(zhì)還沒(méi)有完全被挖掘出來(lái)。這里只將分形最常見(jiàn)的一些性質(zhì)描述給大家：1）分形是破碎的，局部不能可微的不規(guī)則圖形；2）分形一般是自相似的，或是統(tǒng)計(jì)自相似的；3）分形有時(shí)也是自仿射的；4）分形的維數(shù)一般是分?jǐn)?shù)的，但也有整數(shù)維數(shù)的分形；5）分形圖形具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即無(wú)論局部放大多少倍數(shù)，仍然具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。

3 典型分形圖形

圖3.1是比較典型的分形圖形，它們都具有自相似特性，但并不嚴(yán)格自相似，所以用“具有自相似”特性來(lái)定義分形已經(jīng)有許多局限了，在人們的知識(shí)中應(yīng)該繼續(xù)擴(kuò)展分形的含義。

圖3.1

通過(guò)前面的介紹已經(jīng)知道：分形最明顯的特征是自相似性，其他的特征包括無(wú)限復(fù)雜、無(wú)限細(xì)致等。分形圖形圖3.1，它表現(xiàn)出自相似的特性。這里的自相似性體現(xiàn)在：每一個(gè)圖都是由它的更小版本組成，而整個(gè)圖形并沒(méi)有重復(fù)。也就是說(shuō)，這時(shí)自相似的實(shí)質(zhì)應(yīng)該是某一個(gè)部分在其他地方重復(fù)出現(xiàn)。

圖3.2是真實(shí)拍攝的一張蕨類植物的圖片，它也具有自相似特性。在這棵蕨類植物中，枝杈是整個(gè)植物的小版本，而枝杈的枝杈則是更小的版本。這種特性可以無(wú)限地持續(xù)下去。但是，它并不像計(jì)算機(jī)生成的分形圖形那樣嚴(yán)格地自相似，這大概是因?yàn)樵诔砷L(zhǎng)過(guò)程中受到許多外界因素的影響。正是因?yàn)榉中尉哂械淖韵嗨铺匦裕攀狗中稳绱酥匾⑶揖哂袑?shí)際應(yīng)用意義。自然界中許多植物具有自相似特性。

圖3.2

圖3.3的風(fēng)景圖片是說(shuō)明分形的另一很好的例子，這張美麗的圖片是利用分形技術(shù)生成的。在生成自然真實(shí)的景物中，分形具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)榉中慰梢院芎玫貥?gòu)建自然景物的模型。其實(shí)，分形應(yīng)用的領(lǐng)域很廣，周圍到處有分形應(yīng)用的實(shí)例。如微生物中，菌落均呈現(xiàn)共同的形態(tài)特征：以母細(xì)胞為中心的環(huán)狀層次結(jié)構(gòu)。為了抽取隆起部分，科學(xué)家已經(jīng)采用分形理論模型實(shí)現(xiàn)對(duì)菌落圖像的紋理分割[3]。只要注意觀察，就會(huì)注意到分形的應(yīng)用非常廣泛。

圖3.3

4 分形與Gumowski-Mira公式

Newton分形一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)，如果取其Taylor展開(kāi)前兩項(xiàng)作為它的近似，則有：

令f(x)=0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x可表示為：

于是有了求f(x)=0方程根的Newton迭代法：

當(dāng)n趨向于無(wú)窮大，極限x(n)存在，則序列{X(n)}平方收斂到f(x)的零點(diǎn)。

把復(fù)數(shù)Z運(yùn)用到（4.1）式上，得到如下公式：

并運(yùn)用逃逸時(shí)間法就畫(huà)得一幅Newton分形圖。

Gumowski-Mira公式Gumowski-Mira公式作為下面的迭代法出現(xiàn)：

式中b用于控制軌道是膨脹還是收縮，如果b稍大于1，比如1.004，則軌道就會(huì)膨脹；反之若稍小于1，比如0.998，軌道就會(huì)收縮。在對(duì)下面這些函數(shù)作圖時(shí)，大多數(shù)用的是1.005，一個(gè)經(jīng)典的函數(shù)是：

Mira公式算法Mira公式算法[4]（w代表函數(shù)，random是隨機(jī)數(shù)，0＜random＜1）：

計(jì)算軌道，在迭代100到20000次間，每次都畫(huà)（x，y）點(diǎn)，當(dāng)然也可加進(jìn)顏色：

5 基于Gumowski-Mira公式的分形圖生成

下面是根據(jù)Gumowski-Mira公式在VC環(huán)境下編寫(xiě)的部分程序代碼[5-8]：

6 Gumowski-Mira公式參數(shù)的意義

主要通過(guò)對(duì)不同參數(shù)值的設(shè)置所對(duì)應(yīng)的圖形的不同來(lái)研究各個(gè)參數(shù)（即參數(shù)n，b，a）的物理意義。

通過(guò)圖6.1、圖6.2的對(duì)比可以看到參數(shù)n決定著圖像的清晰程度，因?yàn)閰?shù)n代表著循環(huán)的次數(shù)，即點(diǎn)的個(gè)數(shù)，所以n的值越大圖像越清晰。

通過(guò)圖6.3、圖6.4和圖6.5的對(duì)比可以看出，參數(shù)b是一個(gè)非常敏感的常數(shù)，通常非常接近于1.0。如果b有一個(gè)輕微增長(zhǎng)，比如由0.99增大到0.999，軌跡會(huì)膨脹，或者螺旋向外至無(wú)限。如果b有一個(gè)輕微的減小，比如0.985，那么軌跡會(huì)收縮至奇異吸引子。

通過(guò)圖6.6、圖6.7、圖6.8、圖6.9可以看出，其實(shí)參數(shù)a也是一個(gè)很敏感的參數(shù)，a對(duì)圖形的舒展有很大影響，隨著a值的增大，圖形周圍的類似于翅膀的東西就會(huì)迅速收斂。

通過(guò)圖6.10和圖6.11可以看出，隨著y乘的倍數(shù)縮小，圖形會(huì)在縱軸即y軸方向變扁，也就是說(shuō)這個(gè)系數(shù)控制著y軸方向舒展的程度。

通過(guò)圖6.10、圖6.12和圖6.13可以看出，隨著y軸偏移量的增大，圖形會(huì)往下面移動(dòng)，說(shuō)明坐標(biāo)y會(huì)隨著偏移量的增大而增大，所以偏移量增大，圖形會(huì)往下移動(dòng)。

通過(guò)圖6.10、圖6.14和圖6.15對(duì)比可以看出，隨著x所乘倍數(shù)的變大，圖形就會(huì)在x方向舒展；相反，圖形就會(huì)在x方向上收斂。

通過(guò)圖6.16、圖6.17和圖6.18可以看出，隨著x坐標(biāo)偏移量的增大，圖形就會(huì)右移，即坐標(biāo)x會(huì)隨著偏移量的增大右移。