推理閉包子空間的基本性質(zhì)及其交并運(yùn)算

高 超，趙 彬

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安 710062)

模糊命題演算系統(tǒng)是模糊邏輯學(xué)中一個(gè)重要研究方面。典型的模糊命題演算系統(tǒng)有Lukasiewicz模糊命題演算系統(tǒng)［1］，模糊命題演算的形式演繹系統(tǒng)［2］，基礎(chǔ)模糊命題演算系統(tǒng)BL*［3］等。吳洪博教授通過(guò)對(duì)命題演算系統(tǒng)L*共同特征的研究［4－5］提出了基于命題演算系統(tǒng)的一種推理閉包算子，并且建立了一般非空集合上的推理閉包空間［6］，并在推理閉包空間之間引入了連續(xù)映射［7］。本文結(jié)合拓?fù)鋵W(xué)的思想和方法［8－12］，研究了推理閉包子空間的基本性質(zhì)及它們之間連續(xù)映射的性質(zhì)。進(jìn)一步通過(guò)推理閉包空間中的兩個(gè)子空間的交集和并集運(yùn)算，探索了推理閉包空間中兩個(gè)子空間與它們的交集(并集)形成的推理閉包子空間的關(guān)系，給出了交集(并集)上的結(jié)論閉域形式，這有助于更深入地理解全體推理閉包子空間的結(jié)構(gòu)，為范疇論中研究萬(wàn)有空間做了必要的準(zhǔn)備。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［6］設(shè)X是一個(gè)非空集合。若c:2X→2X，滿足條件:

1)c(?)≠?;

2)?A∈2X，A?c(A);

3)?~D?2X，如果~D是2X的定向子集，c(∪~D)=∪D∈~Dc(D);

4)?A ∈2X，c(c(A))=c(A)，則稱(chēng)c為X上的一個(gè)推理閉包算子，這里2X為X的冪集，稱(chēng)c(A)為A的推理閉包。

定義2［6］設(shè)X是一個(gè)非空集合。c:2X→2X為X上的一個(gè)推理閉包算子，則稱(chēng)集族~F={F∈2X|c(F)=F}為集合X上由c誘導(dǎo)的結(jié)論閉域，并稱(chēng)(X，~F)為X上的推理閉包空間，~F中的元素稱(chēng)為推理閉包空間(X，~F)中的結(jié)論閉集。

定義3［6］設(shè)(X，~F)是非空集合X上的推理閉包空間，?A∈2X，稱(chēng)集合∩{F∈~F|A?F}為A的信息閉包，記為ˉA。

定義4［6］設(shè)(X，~F1)，(Y，~F2)是兩個(gè)推理閉包空間，f:X→Y是映射。若對(duì)于Y中的任意結(jié)論閉集F，f－1(F)是X的中結(jié)論閉集，則稱(chēng)f是從X到Y(jié)的一個(gè)連續(xù)映射。

定理1［6］設(shè)(X，~F)是非空集合X的一個(gè)推理閉包空間，則以下性質(zhì)成立:

1)X ∈ ~F，? ? ~F;

2)~F對(duì)非空定向并封閉，即若{Fi|i∈I}是~F中的一個(gè)非空定向集族，則∪{Fi|i∈I}∈~F;

3)~F對(duì)任意交封閉，即:若{Fi|i∈I}?~F，則∩ {Fi|i∈ I}∈ ~F。

注1 由定理1性質(zhì)3知，?{Fi|i∈I}?~F，c(Fi)=Fi，則c(∩Fi)=∩Fi=∩c(Fi)，即c保交。

定理2［6］設(shè)(X，~F)是推理閉包空間，c:2X→2X是X上的推理閉包算子，則?A∈2X，ˉA=c(A)。

定理3［7］設(shè)(X，~F1)，(Y，~F2)，(Z，~F3)是推理閉包空間，則

1)恒同映射iX:X→X是一個(gè)連續(xù)映射;

2)如果f:X→Y和g:Y→Z都是連續(xù)映射，則g·f:X→Z也是連續(xù)映射。

2 推理閉包子空間的基本性質(zhì)

命題1 設(shè)c:2X→2X是X上的推理閉包算子，設(shè)Y是X的一個(gè)非空子集，且c(?)∩Y≠?。定義c|Y:2Y－2Y為?A∈2Y，c|Y(A)=c(A)∩Y，則c|Y是Y上的推理閉包算子。

證 明 1)c|Y(?)=c(?)∩Y≠?;

2)?A∈2Y，c|Y(A)=c(A)∩Y?A∩Y=A;

c|Y(∪)=c(∪)∩Y=(∪D∈~Dc(D))∩ Y=∪D∈~D(c(D)∩ Y)=∪D∈~Dc|Y(D);

4)?A ∈2Y，

則由定義1知c|Y是Y上的推理閉包算子。

注2 由命題1及定義2知，集族~FY={A∈2Y|c|Y(A)=A}={A∈2Y|c(A)∩Y=A}是集合Y上由c|Y誘導(dǎo)的結(jié)論閉域，則~FY={A∈2Y|c(A)∩Y=A}={A∈2Y|?F∈2Y，s．t．c(A)=F，F(xiàn)∩Y=A}={F∩Y|F∈ ~F}。

定義5 設(shè)c:2X→2X是X上的推理閉包算子，(X，~F)為由c誘導(dǎo)的推理閉包空間，c|Y:2Y→2Y。設(shè)Y?X且c)∩Y≠?，定義={F∩Y|F∈~F}，則稱(chēng)是集合Y上由c誘導(dǎo)的相對(duì)結(jié)論閉域，并稱(chēng)(Y)是(X，~F)的一個(gè)推理閉包子空間。

2)如果含入映射i:Y→X是一個(gè)連續(xù)映射，則~FY?~F2。

因此，相對(duì)結(jié)論閉域是使含入映射連續(xù)的最小結(jié)論閉域。

食品科學(xué)與技術(shù)行業(yè)相關(guān)專(zhuān)家表示，中國(guó)食品工業(yè)要提質(zhì)增效就要走出去，“一帶一路”增加了我國(guó)食品走向世界的機(jī)會(huì)，食品的全球化將有效推動(dòng)食品產(chǎn)業(yè)向規(guī)?；?、集約化發(fā)展，有助于我國(guó)食品企業(yè)更好地掌握全球食品需求動(dòng)態(tài)，掌握食品產(chǎn)業(yè)現(xiàn)狀，促進(jìn)企業(yè)發(fā)展。

2)對(duì)任意V∈~FY，則存在V'∈~F1使得V=V'∩Y，因?yàn)閕:Y→X是連續(xù)映射，則i－1(V')=V'∩ Y∈ ~F2，故V=V'∩Y=i－1(V')∈ ~F2，所以 ~FY?~F2。

注3 由子對(duì)象［13］的定義和定理4(1)知，推理閉包子空間((Y，~F2)，i)是推理閉包空間(X，~F1)的子對(duì)象。

定理5 設(shè)(X，~F)是推理閉包空間，如果Y是X的推理閉包子空間，Z是Y的推理閉包子空間，則Z是X的一個(gè)推理閉包子空間。

證 明 當(dāng)Y是X的推理閉包子空間，Z是Y的推理閉包子空間，有Z?Y?X。設(shè)~F是X的結(jié)論閉域，則Z的結(jié)論閉域是(~FY)Z={F∩Z|F∈~FY}={F∩Z|T∈~F，F(xiàn)=T∩Y}={T∩Y∩Z|T∈~F}={T∩Z|T∈~F}=~FZ，則Z是X的一個(gè)推理閉包子空間。

注4 定理5說(shuō)明推理閉包空間具有傳遞性。若((Y，~FY)，f)是(X，~F)的子對(duì)象，((Z，~FZ)，g)是(Y，~FY)的子對(duì)象，則((Z，~FZ)，f·g)是(X，~F)的子對(duì)象。

定理6 設(shè)(Y，~FY)是推理閉包空間(X，~F)的一個(gè)子空間，A是Y的一個(gè)子集，則A在Y中的信息閉包是A在X中信息閉包與Y的交。

證 明 記A在X中的信息閉包為ˉA，A在Y中的信息閉包為cY(A)，則cY(A)=∩{F'∈~FY|A?F'}=∩{F∩Y|F∈~F，A?F∩Y}=∩{F∩Y|F∈~F，A?F}={∩{F∈~F|A?F}}∩ Y= ˉA ∩ Y。

引理1 設(shè)(X，~F1)和(Y，~F2)是兩個(gè)推理閉包空間，c1:2X→2X，c2:2Y→2Y分別是X和Y上的推理閉包算子，~F1和~F2分別是X和Y上由c1和c2誘導(dǎo)出的結(jié)論閉域，f:X→Y且f(X)是Y的推理閉包子空間，則f:X→Y是連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)f:X→f(X)是一個(gè)連續(xù)映射。

證 明 必要性:設(shè)f:X→Y是連續(xù)映射，f(X)?Y，f(X)是Y的推理閉包子空間。設(shè)U?f(X)是f(X)的結(jié)論閉集，則U∈~F2，因?yàn)閒連續(xù)，所以f－1(U)∈ ~F1，則f:X→f(X)是一個(gè)連續(xù)映射。

充分性:設(shè)f:X→f(X)是一個(gè)連續(xù)映射，f(X)是Y的推理閉包子空間，設(shè)V是Y的結(jié)論閉集，則V∩f(X)是f(X)的結(jié)論閉集，而f－1(V∩f(X))=f－1(V)∩ f－1(f(X))=f－1(V)是 X 的結(jié)論閉集，所以f:X→Y是連續(xù)映射。

引理2 設(shè)(X，~F1)和(Y，~F2)是2個(gè)推理閉包空間，c1:2X→2X和c2:2Y→2Y分別是X和Y上的推理閉包算子，~F1與~F2分別是X和Y上由c1和c2誘導(dǎo)出的結(jié)論閉域，A是X的一個(gè)推理閉包子空間，若f:X→Y連續(xù)，則f|A:A→Y連續(xù)。

證 明 若f:X→Y是一個(gè)連續(xù)映射，設(shè)U∈~F2，則 f－1(U)∈ ~F1，(f|A)－1(U)=(f|A)－1(U ∩f(A))=f－1(U)∩ A ? A，且 f－1(U)∩ A ∈ ~F1，則f|A:A→Y是一個(gè)連續(xù)映射。

定義6 設(shè)X和Y是2個(gè)推理閉包空間，如果f:X→Y是一個(gè)一一映射，并且f和f－1:Y→X都是連續(xù)的，則稱(chēng)f是一個(gè)同胚映射或同胚。

定理7 設(shè)(X，~F1)和(Y，~F2)是2個(gè)推理閉包空間，A是X的一個(gè)推理閉包子空間，則:

1)如果映射f:X→Y是一個(gè)同胚，則映射f|A:A→f(A)也是一個(gè)同胚;

2)如果X可嵌入Y，則X的任何一個(gè)推理閉包子空間也可嵌入Y。

證 明 1)因?yàn)閒:X→Y是一個(gè)同胚，則f|A:A→f(A)是一個(gè)在上的一一映射，由引理1和引理2結(jié)果知:映射f|A是連續(xù)的，下證(f|A)－1:f(A)→A是一個(gè)連續(xù)映射。設(shè)?V∈~F1|A，即存在V'∈ ~F1，使得 V=V'∩ A? A則((f|A)－1)－1(V)=(f|A)(V)=f(V)=(f－1)－1(V)，由于 f－1是連續(xù)映射，因此(f－1)－1(V)∈ ~F2，且(f－1)－1(V)=f(V) ? f(A)。 所 以 ((f|A)－1)－1(V)∈ ~F2|f(A)，故映射 f|A:A → f(A)也是一個(gè)同胚。

2)設(shè)f:X→Y是一個(gè)嵌入，A是X的任何一個(gè)推理閉包子空間，且f|A:A→f(A)，由結(jié)論1)知f|A是A到(f|A)(A)的一個(gè)同胚，所以A可嵌入Y。

3 推理閉包子空間的交并運(yùn)算

對(duì)于推理閉包子空間而言，子空間作為子集，自然也有交集與并集運(yùn)算，那么推理閉包空間中兩個(gè)子空間與它們的交集(并集)形成的子空間有何關(guān)系，研究這一問(wèn)題對(duì)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和完善推理閉包空間子空間的結(jié)構(gòu)理論有著重要意義。

定理8 設(shè)(X，~F)是一個(gè)推理閉包空間，c是X上的推理閉包算子，~F是集合X上由c誘導(dǎo)的結(jié)論閉域。設(shè)Y，Z?X且c(?)∩Y≠?，c(?)∩Z≠?，即(Y，~FY)和(Z，~FZ)是(X，~F)的兩個(gè)推理閉包子空間。記Y∧Z={U'∩V'|U'∈~FY，V'∈ ~FZ}，則~FY∧~FZ是Y∩Z上的由c誘導(dǎo)的相對(duì)結(jié)論閉域，即~FY∧=Y∩Z。

證 明 由推理閉包子空間的定義可知:

由定理1［6］知，~F對(duì)任意交封閉，?U，V∈~F，(U∩V)∩(Y∩Z)∈~FY∧~FZ，則U∩V∈~F，所以 U ∩ V ∈ ~FY∩Z，則 ~FY∧ ~FZ? ~FY∩Z。

反過(guò)來(lái)，設(shè)W∈~FY∩Z，則存在W'∈~F，使得W=W'∩(Y∩Z)。W=(W'∩Y)∩(W'∩Z)∈~FY∧ ~FZ，即? ~FY∧。

由推理閉包子空間定義知，~FY∩Z是由c誘導(dǎo)的Y∩Z上的相對(duì)結(jié)論閉域，由上述證明知~FY∧=，則∧也是由c誘導(dǎo)的Y∩Z上的相對(duì)結(jié)論閉域。

定理9 設(shè)(X，F(xiàn)~)是一個(gè)推理閉包空間，c是X上的推理閉包算子，F(xiàn)~是集合X上由c誘導(dǎo)的結(jié)論閉域。{Yi|i∈I}是X的一族非空定向集，且(Yi)(i∈I)是(X，F(xiàn)~)的推理閉包子空間，記∨↑

i∈IF~Yi={∪i∈IVi|Vi∈}，其中{Vi∈|i∈I}構(gòu)成定向集族，則∨↑i∈是 ∪i∈IYi上由 c誘導(dǎo)的相對(duì)結(jié)論閉域，即=∨↑i∈I。

另一方面，設(shè){Vi∈|i∈I}是定向的，則?i∈ I，?V'i∈ F~，s．t．ViV'i∩ Yi，則 ∪i∈IVi∈∨i∈I，且有 c|∪jIYj(∪i∈IVi)=c(∪i∈IVi)∩∈

所以 ∪i∈IVi∈。

［1］ 王國(guó)俊．非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理［M］．北京:科學(xué)出版社，2003．

［2］ 王國(guó)俊．模糊命題演算的一種形式演繹系統(tǒng)［J］．科學(xué)通報(bào)，1997，42(10):1041-1045．

［3］ 吳洪博，基礎(chǔ) R0-代數(shù)與基礎(chǔ) L*系統(tǒng)［J］．?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展，2003，32(5):565-576．

［4］ WU Hong-bo．A kind of simplified formal deductive system L0*for the system L ［J］．Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9(2):365-371．

［5］ XU Yang，RUAN Da，QIN Ke-yun，et al．Lattice Valued Logic［M］．Berlin:Springer，2003．

［6］ 吳洪博．推理閉包算子及其誘導(dǎo)的空間［J］．西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，38(1):9-13．

［7］ 郝加興，吳洪博，喬希民．推理閉包空間之間的連續(xù)映射及商映射［J］．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2010，24(4):1-5．

［8］ 熊金城．點(diǎn)集拓?fù)渲v義［M］．3版．北京:高等教育出版社，2006．

［9］ 王國(guó)?。甃-Fuzzy拓?fù)淇臻g論［M］．西安:陜西師范大學(xué)出版社，1988．

［10］ VICKERS S．Topoogy Via logic［M］．Oxford:Cambridge University Press，1989．

［11］ MUNKRES JR．Topology(second edition)［M］．Beijing:China Machine Press，2004．

［12］鄭崇友，樊磊，崔宏斌．Frame與連續(xù)格［M］．北京:首都師范大學(xué)出版社，1994．

［13］ 賀偉．范疇論［M］．北京:科學(xué)出版社，2006．