淺談數(shù)學(xué)猜想的課堂建構(gòu)策略

李積芳

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“要讓學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！蔽艺J(rèn)為猜想是一把鑰匙，可以打開學(xué)生探索數(shù)學(xué)的大門，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。下面以“三角形內(nèi)角和”一課的教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)猜想的課堂建構(gòu)策略。

一、巧妙預(yù)設(shè)，激發(fā)數(shù)學(xué)探索

猜想具有啟迪思維的重要作用。課堂教學(xué)中，教師如果能夠善用猜想，讓學(xué)生勇于提出質(zhì)疑，并引導(dǎo)其進(jìn)行探索，會收獲意外的驚喜。

例如，“三角形內(nèi)角和”一課是在學(xué)生已經(jīng)掌握三角形的特性、三邊關(guān)系等知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。課前通過測試，了解到有93%的學(xué)生對“三角形內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論有所了解，有63%的學(xué)生能正確計(jì)算出所求內(nèi)角的度數(shù)。因此，我將教學(xué)的重點(diǎn)放在“三角形內(nèi)角和是180°”的驗(yàn)證上，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想驗(yàn)證的過程。那么，如何激發(fā)學(xué)生進(jìn)行大膽的猜想呢？我先用課件展示拉動三角形的一個頂點(diǎn)，使三角形的高慢慢增大的情況（如下圖），讓學(xué)生觀察思考：拉動的三角形的三個內(nèi)角有什么變化？如果不斷拉動，三角形的三個內(nèi)角又會怎樣？然后再用課件展示拉動三角形的另一個頂點(diǎn)，使三角形的高慢慢減小的情況，讓學(xué)生觀察思考：三角形的三個內(nèi)角有什么變化？如果不斷拉動，三角形的三個內(nèi)角又會怎么樣？通過討論，學(xué)生形成“三角形的內(nèi)角和可能是固定的”“三角形內(nèi)角和不超過180°”“三角形內(nèi)角和可能是180°”等猜想。

■

顯而易見，鼓勵學(xué)生大膽猜想，能培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和邏輯推理能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維獲得發(fā)展，并通過演繹證明使其領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，建立演繹系統(tǒng)的思想方法。

二、驗(yàn)證猜想，解決數(shù)學(xué)問題

“三角形內(nèi)角和為180°”在小學(xué)階段主要有以下幾種常用的驗(yàn)證猜想的方法（如下圖）：一是用量角器計(jì)量；二是撕、拼的方法；三是折疊的方法；四是旋轉(zhuǎn)調(diào)頭法。教學(xué)中，我讓學(xué)生自主選擇材料、不同的方法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和，以豐富學(xué)生的認(rèn)識，了解驗(yàn)證的科學(xué)性。

■

撕拼法 折疊法

■

旋轉(zhuǎn)調(diào)頭法

合作學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，每個學(xué)生都要通過自己的獨(dú)立探究驗(yàn)證三角形內(nèi)角和是180°。學(xué)生先探究選擇哪種三角形，再思考用何種驗(yàn)證方法，然后進(jìn)行組內(nèi)交流，最后進(jìn)行全班匯報(bào)。學(xué)生通過展示驗(yàn)證的方法及測量的度數(shù)并討論存在的問題，最終達(dá)成共識：三角形的內(nèi)角和是180°。通過全班的交流匯報(bào)，學(xué)生獲得驗(yàn)證的方法更豐富，從而使學(xué)生形成科學(xué)的探究態(tài)度。

三、鞏固結(jié)論，發(fā)展數(shù)學(xué)思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出除了發(fā)展學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能之外，還要發(fā)展其數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)和基本的數(shù)學(xué)思想方法。一個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得益于其數(shù)學(xué)思想方法的滲透，和其了解多少數(shù)學(xué)結(jié)論、解答多少數(shù)學(xué)題目關(guān)聯(lián)不大，關(guān)鍵在于能否運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題，這才是數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)所在。

在本課的鞏固環(huán)節(jié)，我先讓學(xué)生根據(jù)“三角形的內(nèi)角和是180°”編題，然后進(jìn)行“猜想——驗(yàn)證——結(jié)論”的思考。如：在三角形ABC中（如下圖），沿著一條高剪開，形成三角形ABD和三角形ACD，請判斷以下的說法是否正確，并說明為什么。

①三角形ABC的內(nèi)角和是180°；

②三角形ABD的內(nèi)角和是90°；

③三角形ADC的內(nèi)角和是90°。

請說明：一個三角形中不可能有兩個直角。

通過對結(jié)論的深化鞏固，學(xué)生深刻理解猜想驗(yàn)證的數(shù)學(xué)過程，獲得數(shù)學(xué)思想方法，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生能力的培養(yǎng)既要注重基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)與基本技能的形式，更要關(guān)注其數(shù)學(xué)基本思想的發(fā)展。尤其是公式、定理、法則等基本數(shù)學(xué)結(jié)論，不能直接讓學(xué)生像背書那樣囫圇吞棗，而是要學(xué)生通過動手操作、觀察實(shí)驗(yàn)、計(jì)算估計(jì)等活動，發(fā)展學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，使其能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，而后證明結(jié)論。唯有如此，才能讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)思想，理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)。

（責(zé)編 杜 華）endprint

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“要讓學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。”我認(rèn)為猜想是一把鑰匙，可以打開學(xué)生探索數(shù)學(xué)的大門，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。下面以“三角形內(nèi)角和”一課的教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)猜想的課堂建構(gòu)策略。

一、巧妙預(yù)設(shè)，激發(fā)數(shù)學(xué)探索

猜想具有啟迪思維的重要作用。課堂教學(xué)中，教師如果能夠善用猜想，讓學(xué)生勇于提出質(zhì)疑，并引導(dǎo)其進(jìn)行探索，會收獲意外的驚喜。

例如，“三角形內(nèi)角和”一課是在學(xué)生已經(jīng)掌握三角形的特性、三邊關(guān)系等知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。課前通過測試，了解到有93%的學(xué)生對“三角形內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論有所了解，有63%的學(xué)生能正確計(jì)算出所求內(nèi)角的度數(shù)。因此，我將教學(xué)的重點(diǎn)放在“三角形內(nèi)角和是180°”的驗(yàn)證上，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想驗(yàn)證的過程。那么，如何激發(fā)學(xué)生進(jìn)行大膽的猜想呢？我先用課件展示拉動三角形的一個頂點(diǎn)，使三角形的高慢慢增大的情況（如下圖），讓學(xué)生觀察思考：拉動的三角形的三個內(nèi)角有什么變化？如果不斷拉動，三角形的三個內(nèi)角又會怎樣？然后再用課件展示拉動三角形的另一個頂點(diǎn)，使三角形的高慢慢減小的情況，讓學(xué)生觀察思考：三角形的三個內(nèi)角有什么變化？如果不斷拉動，三角形的三個內(nèi)角又會怎么樣？通過討論，學(xué)生形成“三角形的內(nèi)角和可能是固定的”“三角形內(nèi)角和不超過180°”“三角形內(nèi)角和可能是180°”等猜想。

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顯而易見，鼓勵學(xué)生大膽猜想，能培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和邏輯推理能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維獲得發(fā)展，并通過演繹證明使其領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，建立演繹系統(tǒng)的思想方法。

二、驗(yàn)證猜想，解決數(shù)學(xué)問題

“三角形內(nèi)角和為180°”在小學(xué)階段主要有以下幾種常用的驗(yàn)證猜想的方法（如下圖）：一是用量角器計(jì)量；二是撕、拼的方法；三是折疊的方法；四是旋轉(zhuǎn)調(diào)頭法。教學(xué)中，我讓學(xué)生自主選擇材料、不同的方法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和，以豐富學(xué)生的認(rèn)識，了解驗(yàn)證的科學(xué)性。

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撕拼法 折疊法

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旋轉(zhuǎn)調(diào)頭法

合作學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，每個學(xué)生都要通過自己的獨(dú)立探究驗(yàn)證三角形內(nèi)角和是180°。學(xué)生先探究選擇哪種三角形，再思考用何種驗(yàn)證方法，然后進(jìn)行組內(nèi)交流，最后進(jìn)行全班匯報(bào)。學(xué)生通過展示驗(yàn)證的方法及測量的度數(shù)并討論存在的問題，最終達(dá)成共識：三角形的內(nèi)角和是180°。通過全班的交流匯報(bào)，學(xué)生獲得驗(yàn)證的方法更豐富，從而使學(xué)生形成科學(xué)的探究態(tài)度。

三、鞏固結(jié)論，發(fā)展數(shù)學(xué)思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出除了發(fā)展學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能之外，還要發(fā)展其數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)和基本的數(shù)學(xué)思想方法。一個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得益于其數(shù)學(xué)思想方法的滲透，和其了解多少數(shù)學(xué)結(jié)論、解答多少數(shù)學(xué)題目關(guān)聯(lián)不大，關(guān)鍵在于能否運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題，這才是數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)所在。

在本課的鞏固環(huán)節(jié)，我先讓學(xué)生根據(jù)“三角形的內(nèi)角和是180°”編題，然后進(jìn)行“猜想——驗(yàn)證——結(jié)論”的思考。如：在三角形ABC中（如下圖），沿著一條高剪開，形成三角形ABD和三角形ACD，請判斷以下的說法是否正確，并說明為什么。

①三角形ABC的內(nèi)角和是180°；

②三角形ABD的內(nèi)角和是90°；

③三角形ADC的內(nèi)角和是90°。

請說明：一個三角形中不可能有兩個直角。

通過對結(jié)論的深化鞏固，學(xué)生深刻理解猜想驗(yàn)證的數(shù)學(xué)過程，獲得數(shù)學(xué)思想方法，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生能力的培養(yǎng)既要注重基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)與基本技能的形式，更要關(guān)注其數(shù)學(xué)基本思想的發(fā)展。尤其是公式、定理、法則等基本數(shù)學(xué)結(jié)論，不能直接讓學(xué)生像背書那樣囫圇吞棗，而是要學(xué)生通過動手操作、觀察實(shí)驗(yàn)、計(jì)算估計(jì)等活動，發(fā)展學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，使其能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，而后證明結(jié)論。唯有如此，才能讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)思想，理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)。

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《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“要讓學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！蔽艺J(rèn)為猜想是一把鑰匙，可以打開學(xué)生探索數(shù)學(xué)的大門，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。下面以“三角形內(nèi)角和”一課的教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)猜想的課堂建構(gòu)策略。

一、巧妙預(yù)設(shè)，激發(fā)數(shù)學(xué)探索

猜想具有啟迪思維的重要作用。課堂教學(xué)中，教師如果能夠善用猜想，讓學(xué)生勇于提出質(zhì)疑，并引導(dǎo)其進(jìn)行探索，會收獲意外的驚喜。

例如，“三角形內(nèi)角和”一課是在學(xué)生已經(jīng)掌握三角形的特性、三邊關(guān)系等知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。課前通過測試，了解到有93%的學(xué)生對“三角形內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論有所了解，有63%的學(xué)生能正確計(jì)算出所求內(nèi)角的度數(shù)。因此，我將教學(xué)的重點(diǎn)放在“三角形內(nèi)角和是180°”的驗(yàn)證上，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想驗(yàn)證的過程。那么，如何激發(fā)學(xué)生進(jìn)行大膽的猜想呢？我先用課件展示拉動三角形的一個頂點(diǎn)，使三角形的高慢慢增大的情況（如下圖），讓學(xué)生觀察思考：拉動的三角形的三個內(nèi)角有什么變化？如果不斷拉動，三角形的三個內(nèi)角又會怎樣？然后再用課件展示拉動三角形的另一個頂點(diǎn)，使三角形的高慢慢減小的情況，讓學(xué)生觀察思考：三角形的三個內(nèi)角有什么變化？如果不斷拉動，三角形的三個內(nèi)角又會怎么樣？通過討論，學(xué)生形成“三角形的內(nèi)角和可能是固定的”“三角形內(nèi)角和不超過180°”“三角形內(nèi)角和可能是180°”等猜想。

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顯而易見，鼓勵學(xué)生大膽猜想，能培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和邏輯推理能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維獲得發(fā)展，并通過演繹證明使其領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，建立演繹系統(tǒng)的思想方法。

二、驗(yàn)證猜想，解決數(shù)學(xué)問題

“三角形內(nèi)角和為180°”在小學(xué)階段主要有以下幾種常用的驗(yàn)證猜想的方法（如下圖）：一是用量角器計(jì)量；二是撕、拼的方法；三是折疊的方法；四是旋轉(zhuǎn)調(diào)頭法。教學(xué)中，我讓學(xué)生自主選擇材料、不同的方法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和，以豐富學(xué)生的認(rèn)識，了解驗(yàn)證的科學(xué)性。

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撕拼法 折疊法

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旋轉(zhuǎn)調(diào)頭法

合作學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，每個學(xué)生都要通過自己的獨(dú)立探究驗(yàn)證三角形內(nèi)角和是180°。學(xué)生先探究選擇哪種三角形，再思考用何種驗(yàn)證方法，然后進(jìn)行組內(nèi)交流，最后進(jìn)行全班匯報(bào)。學(xué)生通過展示驗(yàn)證的方法及測量的度數(shù)并討論存在的問題，最終達(dá)成共識：三角形的內(nèi)角和是180°。通過全班的交流匯報(bào)，學(xué)生獲得驗(yàn)證的方法更豐富，從而使學(xué)生形成科學(xué)的探究態(tài)度。

三、鞏固結(jié)論，發(fā)展數(shù)學(xué)思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出除了發(fā)展學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能之外，還要發(fā)展其數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)和基本的數(shù)學(xué)思想方法。一個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得益于其數(shù)學(xué)思想方法的滲透，和其了解多少數(shù)學(xué)結(jié)論、解答多少數(shù)學(xué)題目關(guān)聯(lián)不大，關(guān)鍵在于能否運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題，這才是數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)所在。

在本課的鞏固環(huán)節(jié)，我先讓學(xué)生根據(jù)“三角形的內(nèi)角和是180°”編題，然后進(jìn)行“猜想——驗(yàn)證——結(jié)論”的思考。如：在三角形ABC中（如下圖），沿著一條高剪開，形成三角形ABD和三角形ACD，請判斷以下的說法是否正確，并說明為什么。

①三角形ABC的內(nèi)角和是180°；

②三角形ABD的內(nèi)角和是90°；

③三角形ADC的內(nèi)角和是90°。

請說明：一個三角形中不可能有兩個直角。

通過對結(jié)論的深化鞏固，學(xué)生深刻理解猜想驗(yàn)證的數(shù)學(xué)過程，獲得數(shù)學(xué)思想方法，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生能力的培養(yǎng)既要注重基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)與基本技能的形式，更要關(guān)注其數(shù)學(xué)基本思想的發(fā)展。尤其是公式、定理、法則等基本數(shù)學(xué)結(jié)論，不能直接讓學(xué)生像背書那樣囫圇吞棗，而是要學(xué)生通過動手操作、觀察實(shí)驗(yàn)、計(jì)算估計(jì)等活動，發(fā)展學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，使其能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，而后證明結(jié)論。唯有如此，才能讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)思想，理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)。

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