質子-中子相互作用與殼模型配對近似

傅冠健 趙玉民

（上海交通大學 物理與天文系 上海 200240）

質子-中子相互作用與殼模型配對近似

傅冠健 趙玉民

（上海交通大學 物理與天文系 上海 200240）

質子-中子相互作用和質子-中子配對是原子核結構中有趣的問題。本文指出，經驗上由結合能提取的質子-中子相互作用和殼模型計算得到的T=0質子-中子相互作用的計算結果很接近；計算中奇奇核和偶偶核的結合能應該附加一個額外項，這個額外項由質子-中子相互作用給出。自旋平行的質子-中子配對（角動量為9，同位旋為0）在96Cd的10+、12+、14+、16+、112+、114+和116+態(tài)以及92Pd原子核的10+和12+態(tài)中重要，而傳統(tǒng)的SD配對近似對于10+和12+態(tài)的描述更合適。

質子-中子相互作用，T=0質子-中子配對，配對近似

原子核是由質子和中子構成的復雜多體系統(tǒng)，核子間的相互作用可以分為質子-質子相互作用(T=1, TZ=-1)、中子-中子相互作用(T=1, TZ=1)、以及質子-中子相互作用(T=0或1, TZ=0)，其中T和TZ分別是同位旋和同位旋三分量。人們對T=1相互作用（特別是同類核子間的相互作用）和同類核子的配對現象已有比較深入的認識。在這方面人們發(fā)展了很多理論模型，如辛弱數理論[1-2]、BCS理論[3-4]、相互作用玻色子模型[5]、殼模型配對近似理論[6-8]等，并取得了巨大成功。

人們很早就認識到質子-中子相互作用（尤其是T=0的部分）在原子核的形變、相變、集體運動等現象中起重要作用[9]，但是對質子-中子相互作用的理解仍然比較膚淺。由于理論計算上的困難，關于質子-中子配對（尤其是T=0配對）的研究比較少。2011年斯德哥爾摩研究組首次給出了92Pd原子核低能部分的能級圖，并指出1g9/2軌道上自旋平行的質子-中子配對(J=9，T=0)在低激發(fā)態(tài)中的主導現象[10]。單軌道的殼模型理論計算表明[11]，這種新的配對機制在92Pd附近的原子核中確實重要，相互作用玻色子模型的計算也得到類似的結果[12]。

本文總結我們近年來關于質子-中子相互作用和自旋平行質子-中子配對方面的研究[13-14]。我們通過兩種途徑研究質子-中子相互作用：用結合能實驗數據提取質子-中子相互作用，以及在殼模型框架下計算質子-中子相互作用。在原有的殼模型配對近似理論基礎上引入了同位旋自由度[15]，在同位旋守恒的配對近似框架下研究自旋平行的質子-中子配對在96Cd和92Pd原子核低激發(fā)態(tài)中的貢獻。

1 質子-中子相互作用

原子核中最后一個質子和最后一個中子之間的相互作用可以用四個相鄰原子核結合能的雙重差分來定義[16-17]，即：

式中，Z是質子數，N是中子數，B是原子核結合能，這里的結合能取正值。δV1p-1n在重核區(qū)的系統(tǒng)性較好，在輕核區(qū)較差。從圖1可以看到大部分δV1p-1n為負值，這表明質子-中子相互作用是吸引的。如果以雙幻核作為核心把所有價核子之間的δV1p-1n累加起來，就得到總的質子-中子相互作用：

另一方面，我們在殼模型框架下采用USDB有效相互作用[18]計算sd殼原子核的基態(tài)波函數。USDB相互作用是sd空間殼模型計算中常用的相互作用之一。該相互作用包含3個單粒子能量參數和63個兩體剩余相互作用矩陣元參數，這些參數基于核子-核子散射實驗數據通過對sd殼原子核實驗能級擬合得到。利用計算得到的基態(tài)波函數進一步計算T=0質子-中子相互作用和T=1質子-中子相互作用的期望值，分別記為

圖2是殼模型計算得到的質子-中子相互作用與經驗提取的質子-中子相互作用的比較?？梢钥吹絍pn和VT=0在數值上非常接近，VT=1,TZ=0的強度比VT=0的強度小很多。這表明經驗提取的質子-中子相互作用是殼模型框架下T=0質子-中子相互作用的一個好的近似。

圖1 原子核中最后一個質子和最后一個中子之間的經驗相互作用Fig.1 Empirical proton-neutron interaction between the last proton and the last neutron.

圖2 sd殼原子核的T=0質子-中子相互作用和T=1質子-中子相互作用與經驗質子-中子相互作用的比較Fig.2 Total isoscalar and isovector valence proton-neutron interactions vs. total empirical valence proton-neutron interaction for nuclei in the sd shell.

從圖1中還看到一個有趣的現象，即偶質量數原子核的δV1p-1n強度明顯大于奇質量數原子核的δV1p-1n強度。文獻[19-20]曾提出質子-中子對力會導致奇奇核的結合能額外地增強，文獻[21]進一步指出由質子-中子相互作用引起的組態(tài)混雜最終導致奇奇核的結合能額外地增強，這樣可以解釋δV1p-1n的奇偶性。然而文獻[19]提出：假設偶偶核結合能額外地增強，也可以解釋δV1p-1n的奇偶性。那么δV1p-1n奇偶性的真正原因是什么？是奇奇核的結合能額外地增強，還是偶偶核的結合能額外地增強，亦或是兩者兼而有之？

為了研究這個問題，我們討論Vpn。文獻[9]指出Vpn近似與NpNn成正比，其中Np(Nn)是價質子（中子）數。對于一種同位素（假設質子數為Z），Vpn可以被近似表示為一個簡單的線性公式Vpn≈aZN+bZ。如果假設Vpn精確符合上述線性關系，那么通過計算會發(fā)現δV1p-1n的奇偶性不復存在，正是因為Vpn對于線性關系的偏離才有δV1p-1n的奇偶性。

圖3 V′ 和V′隨中子數N的變化pn′pnFig.3 Vp′n and Vpn vs. neutron number N for a few sd shell nuclei.

2 自旋平行的質子-中子配對

在原有的殼模型配對近似理論基礎上，我們發(fā)展了同位旋守恒的殼模型配對近似方法。這是目前研究同位旋標量的核子配對組態(tài)唯一的、直接的方法。假設雙幻核外有2n個價核子，那么配對近似的組態(tài)空間由n個集體對耦合而成：

其中：

式中，A(ri)?表示一個角動量為Jri和同位旋為Tri的集體對；y(abri)是集體對結構系數。

我們利用這個方法研究96Cd和92Pd低激發(fā)態(tài)中的質子-中子配對(J=9, T=0)。我們把96Cd和92Pd看做雙幻核100Sn以下、2p1/22p3/21f5/21g9/2殼層內的價空穴系統(tǒng)，將自旋平行的質子-中子配對記為A(9)，采用JUN45有效相互作用[22]計算并比較幾種不同的組態(tài)空間下的T=0低激發(fā)態(tài)波函數。其中JUN45相互作用是2p1/22p3/21f5/21g9/2空間殼模型計算中常用的相互作用之一，該相互作用包含4個單粒子能量參數和133個兩體剩余相互作用矩陣元參數，這些參數基于唯象相互作用通過擬合2p1/22p3/21f5/21g9/2殼原子核實驗能級得到。

我們首先考察96Cd原子核。96Cd是雙幻核100Sn以下的兩質子空穴-兩中子空穴系統(tǒng)。我們在以下4個殼模型空間下計算T=0態(tài)波函數：(1) 單軌道的1g9/2子空間；(2) 雙軌道的2p1/21g9/2子空間；(3) 三軌道的2p1/22p3/21g9/2子空間；(4) 2p1/22p3/21f5/21g9/2全空間。我們發(fā)現對于不同角動量、能量最低的T=0態(tài)，空間(1)和空間(4)中計算得到的波函數重疊(overlap)平方約等于0.7，空間(2)和空間(4)中計算得到的波函數重疊平方同樣約等于0.7。而對于絕大部分T=0低激發(fā)態(tài)，空間(3)和空間(4)中計算得到的波函數重疊平方大于0.9。這表明對于T=0低激發(fā)態(tài)，2p1/22p3/21g9/2子空間是2p1/22p3/21f5/21g9/2全空間好的截斷近似。

我們在以下3個配對空間下計算96Cd原子核不同角動量、能量最低態(tài)的波函數：(1) T=0自旋平行的A(9)配對子空間；(2) T=1傳統(tǒng)的SD配對子空間；(3) 2p1/22p3/21f5/21g9/2殼模型全空間。我們發(fā)現對于態(tài)，空間(1)和空間(3)中計算得到的波函數重疊平方大于0.5，A(9)配對子空間是殼模型全空間的有效截斷近似；對于這兩個態(tài)，傳統(tǒng)的SD配對近似描述則更合適；空間(2)和空間(3)中計算得到的波函數重疊平方約等于0.9。

我們考察92Pd原子核，92Pd是雙幻核100Sn以下的四質子空穴-四中子空穴系統(tǒng)。由于計算困難，很難在2p1/22p3/21f5/21g9/2全空間下進行研究，我們采用三軌道2p1/22p3/21g9/2空間。我們在以下3種配對空間下計算92Pd原子核10+和12+態(tài)的波函數：(1) A(9)配對子空間；(2) SD配對子空間；(3) 2p1/22p3/21g9/2殼模型空間。發(fā)現空間(1)和空間(3)中計算得到的波函數重疊平方約等于0.5，空間(2)和空間(3)中計算得到的波函數重疊平方大于0.8，SD配對近似比A(9)配對近似更合適。

3 結語

本文總結了我們近年來關于質子-中子相互作用方面的工作，利用原子核結合能實驗數據提取經驗質子-中子相互作用，并用殼模型計算T=0質子-中子相互作用和T=1質子-中子相互作用，指出經驗質子-中子相互作用與T=0質子-中子相互作用的計算結果非常接近。計算表明奇奇核和偶偶核的結合能都有一個額外項，這個額外項由質子-中子相互作用給出，利用這個額外項我們可以自然地解釋δV1p-1n的奇偶性。

研究自旋平行T=0質子-中子配對（記為A(9)配對）在96Cd和92Pd原子核低激發(fā)態(tài)中的貢獻。在同位旋守恒的殼模型配對近似框架下，分別在2p1/22p3/21f5/21g9/2殼模型空間和配對截斷子空間計算低激發(fā)態(tài)波函數。數值計算結果表明，A(9)配對在96Cd原子核的和1態(tài)以及92Pd原子核的態(tài)中重要，而傳統(tǒng)的SD配對近似對于這兩個原子核的態(tài)的描述則更合適。

1 Racah G. Theory of complex spectra II[J]. Physical Review, 1942, 62: 438-462

2 Racah G. Theory of complex spectra III[J]. Physical Review, 1943, 63: 367-382

3 Bardeen J, Cooper L N, Schrieffer J R. Microscopic theory of superconductivity[J]. Physical Review, 1957, 106: 162-164

4 Bardeen J, Cooper L N, Schrieffer J R. Theory of superconductivity[J]. Physical Review, 1957, 108: 1175-1204

5 Arima A, Iachello F. The interacting Boson model[J]. Advances in Nuclear Physics, 1984, 13: 139-200

6 Chen J Q. The Wick theorem for coupled fermion clusters[J]. Nuclear Physics A, 1993, 562: 218-240

7 Chen J Q. Nucleon-pair shell model: formalism and special cases[J]. Nuclear Physics A, 1997, 626: 686-714

8 Zhao Y M, Yoshinaga N, Yamaji S, et al. Nucleon-pair approximation of the shell model: unified formalism for both odd and even systems[J]. Physical Review C, 2000, 62: 014304

9 Casten R F. Nuclear structure from a simple perspective[M]. Oxford: Oxford University Press, 2000

10 Cederwall B, Algora A, Gadea A, et al. Evidence for a spin-aligned neutron-proton paired phase from the level structure of92Pd[J]. Nature, 2011, 469: 68-71

11 Qi C, Blomqvist J, B?ck T, et al. Spin-aligned neutron-proton pair mode in atomic nuclei[J]. Physical Review C, 2011, 84: 021301(R)

12 Zerguine S, van Isacker P. Spin-aligned neutron-proton pairs in N=Z nuclei[J]. Physical Review C, 2011, 83: 064314

13 Fu G J, Shen J J, Zhao Y M, et al. Regularities of proton-neutron interactions for nuclei in the sd shell[J]. Physical Review C, 2013, 87: 044309

14 Fu G J, Shen J J, Zhao Y M, et al. Spin-aligned isoscalar pair correlation in96Cd,94Ag, and92Pd[J]. Physical Review C, 2013, 87: 044312

15 Fu G J, Lei Y, Zhao Y M, et al. Nucleon-pair approximation of the shell model with isospin symmetry[J]. Physical Review C, 2013, 87: 044310

16 Zhang J Y, Casten R F, Brenner D S. Empirical proton-neutron interaction energies, linearity and saturation phenomena[J]. Physics Letters B, 1989, 227: 1-5

17 Basu M K, Banerjee D. Study of the neutron-proton interaction[J]. Physical Review C, 1971, 3: 992-997

18 Brown B A, Richter W A. New “USD” Hamiltonians for the sd shell[J]. Physical Review C, 2006, 74: 034315

19 Friedman W A, Bertsch G F. Neutron-proton pairing reexamined[J]. Physical Review C, 2007, 76: 057301

20 de-Shalit A. Interpretation of regularities in neutron and proton separation energies[J]. Physical Review, 1957, 105: 1528-1530

21 Gao Z C, Chen Y S. Enhancement of the n-p interaction in odd-odd nuclei[J]. Physical Review C, 1999, 59: 735-739 22 Honma H, Otsuka T, Mizusaki T, et al. New effective interaction for f5pg9-shell nuclei[J]. Physical Review C, 2009, 80: 064323

CLCTL11, O571.2

Proton-neutron interactions and nucleon-pair approximation

FU Guanjian ZHAO Yumin
(Department of Physics and Astronomy, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Background: Nucleon-pair correlations play an important role in low-lying states of atomic nuclei. Purpose: The aim is to study empirical proton-neutron interactions and investigate the contribution from spin-aligned proton-neutron pairs (with spin 9 and isospin 0) in low-lying states of96Cd and92Pd. Methods: The empirical proton-neutron interaction is obtained by using nuclear binding energies of a few neighboring nuclei and the nuclear shell model. The contribution from spin-aligned proton-neutron pairs in the shell model wave functions is evaluated by using the nucleon-pair approximation with isospin symmetry. Results: The empirical proton-neutron interaction is reasonably consistent with isoscalar interactions calculated by using the shell model. There exists an additional binding energy in both even-even and odd-odd nuclei originated from proton-neutron interactions. Spin-aligned isoscalar pairs play an important role in theand1 states of96Cd and thestates of92Pd. For thestates, the conventional isovector SD pairs are more relevant. Conclusion: Both isoscalar and isovector nucleon pairs play an important role in low-lying states of N=Z nuclei. This is a consequence of nonorthogonality feature of nucleon-pair basis.

Proton-neutron interaction, T=0 proton-neutron pair, Nucleon-pair approximation

TL11，O571.2

10.11889/j.0253-3219.2014.hjs.37.100502

國家自然科學基金(No.11225524)和973項目(No.2013CB834401)資助

傅冠健，男，1988年出生，2010年畢業(yè)于上海交通大學，現為該校在讀博士研究生，研究領域為原子核結構

趙玉民，E-mail: ymzhao@sjtu.edu.cn

2014-04-30，

2014-05-28