基于LMS算法與RLS算法自適應(yīng)濾波及仿真分析

馬國棟 ， 閻樹田 ， 賀成柱 ， 楊 晨

（1.蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050；2.甘肅省裝備制造業(yè)數(shù)字化設(shè)計(jì)公共服務(wù)平臺 甘肅 蘭州 730030）

自適應(yīng)濾波器是現(xiàn)代信號處理的重要組成部分。因其濾波功能強(qiáng)大，成為信號處理和自動(dòng)控制應(yīng)用領(lǐng)域不可或缺的設(shè)備。自適應(yīng)濾波器的算法決定了其性能，根據(jù)濾波器算法優(yōu)化準(zhǔn)則不同，自適應(yīng)濾波器算法可分為兩類基本算法：最小均方誤差（LMS）算法和遞歸最小二乘（RLS）算法[1]。

自適應(yīng)濾波算法推導(dǎo)較為繁瑣，推導(dǎo)過程中涉及到多個(gè)關(guān)系的建立及多個(gè)參數(shù)的假設(shè)，而這些都是在一種理想的狀態(tài)下完成的[2]。文中針對兩種算法進(jìn)行了公式推導(dǎo)。在LMS算法中，本文主要抓住使得輸出誤差序列e（n）均方值最小及如何使得目標(biāo)函數(shù)s取得最小值為突破點(diǎn)，進(jìn)而引出自相關(guān)矩陣、期望信號與輸人信號的相關(guān)矢量、非奇異矩陣等概念與假設(shè)，再使用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算推導(dǎo)，使得復(fù)雜的算法在理解上具有層次感，使讀者對算法的結(jié)構(gòu)一目了然。同樣在RLS算法中，本文主要以“遺忘因子”的概念為跳板，分析權(quán)重的范圍，通過對比，取濾波器的實(shí)際輸入d*（i）作為期望響應(yīng)d（i），并選擇合適的代價(jià)函數(shù)。這樣不僅可以優(yōu)化算法，也使得算法在理解上更具有層次感，便于讀者理解學(xué)習(xí)。

同時(shí)，文中按照原理推導(dǎo)、軟件編程、軟件仿真的試驗(yàn)方法與步驟，使用MATLAB軟件[3-4]設(shè)計(jì)自適應(yīng)數(shù)字濾波器。設(shè)置輸入信號、噪聲信號，通過輸出信號的圖像走勢對兩種算法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行對比分析，便于讀者對兩種算法的學(xué)習(xí)及對濾波器的設(shè)計(jì)。

1 自適應(yīng)濾波器的原理

自適應(yīng)濾波的基本原理就是利用前一時(shí)刻獲得濾波器參數(shù)的結(jié)果自動(dòng)調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知的或隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。因此，自適應(yīng)濾波器具有自我調(diào)節(jié)和跟蹤能力。自適應(yīng)濾波器的一般結(jié)構(gòu)如圖1所示[5-6]。

圖1中x（n）為輸入信號，通過參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器后產(chǎn)生輸出信號 y（n），將輸出信 y（n）號與期望信號 d（n）進(jìn)行比較，得到誤差信號 e（n）。 e（n）和 x（n）通過自適應(yīng)算法對濾波器的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整的目的使得誤差信號e（n）最小。

圖1 自適應(yīng)濾波器的一般結(jié)構(gòu)Fig.1 General structure of adaptive filter

2 自適應(yīng)濾波算法

2.1 LMS算法

最小均方算法即LMS算法是B.Widrow和Hoff提出的來，由于實(shí)現(xiàn)簡單且對信號統(tǒng)計(jì)特性變化具有穩(wěn)健性，因此獲得極為廣泛的應(yīng)用。

給定系統(tǒng)的輸入信號為：X（n）=[x（n），x（n-1），…，x（n-N）]T，

輸入輸出關(guān)系式為：

其中 W（n）=[ω0（n），ω1（n），…，ωN（n）]T為濾波器的 N+1個(gè)權(quán)系數(shù)構(gòu)成的權(quán)系數(shù)矢量，誤差信號為

LMS算法根據(jù)誤差信號來調(diào)整濾波器系數(shù)，使輸出誤差序列e（n）的均方值最小。

式（3）中，R=E[X（n）x（n-m）]，m=0，1...，N，為（N+1）×（N+1）維輸入信號的自相關(guān)矩陣；

P=E[f（n）X（n）]為（N+1）×1 維期望信號與輸入信號的相關(guān)矢量。

目標(biāo)函數(shù)s是W（n）的二次函數(shù)，其圖形是N+2維空間中一個(gè)中間下凹的超拋物面，它有唯一的最低點(diǎn)，即最小均方值，該曲面稱為均方誤差性能曲面為了最快尋找到最小點(diǎn)，要按照梯度負(fù)方向移動(dòng)。

令Δ（n）表示n時(shí)刻的（N+1）×1維梯度矢量，則自適應(yīng)濾波器系數(shù)矢量的變化與梯度的關(guān)系為:

式中，μ為自適應(yīng)步長，為正的實(shí)常數(shù)。

對于LMS算法

式（1）、式（2）、式（7）聯(lián)立即構(gòu)成 LMS 算法的迭代公式。

2.2 RLS算法

遞歸最小二乘算法即RLS算法，它是利用在已知n-1時(shí)濾波器抽頭權(quán)系數(shù)的情況下，通過簡單的更新，求出n時(shí)刻的濾波器抽頭權(quán)系數(shù)。使用指數(shù)加權(quán)的誤差平方和J（n）=∑λn-i|ε（i）|2（0＜λ＜1，稱為遺忘因子），引入遺忘因子作用是離 n 時(shí)刻近的誤差附較大重，離n時(shí)刻遠(yuǎn)的誤差賦較小權(quán)重，確保在過去某一段時(shí)間的觀測數(shù)據(jù)被“遺忘”，從而使濾波器可以工作在非平穩(wěn)狀態(tài)下：ε（i）=d（i）-wH（n）u（i）

定義估計(jì)誤差：ε（i）=d（i）-y（i）=d（i）-wH（n）u（i），其中 d（i）為期望相應(yīng)，y（i）為濾波器輸出，可取濾波器的實(shí)際輸入d*（i）作為期望響應(yīng) d（i）。

由以上式子可見指數(shù)加權(quán)最小二乘法的解轉(zhuǎn)化為Wiener濾波器的形式:wopt=R-1r。因抽頭權(quán)向量取得是n時(shí)刻的 w（n），而非 i時(shí)刻的 w（i）；所以，當(dāng) i≤n 時(shí)，

化簡得：w（n）=w（n-1）+k（n）e*（n）

總結(jié)RLS算法的一般步驟為：

1）初始化：w（0）=0，R（0）=δ-1I.

2）更新：對于 n=1，2，…計(jì)算:

濾波：y（n）=wH（n-1）u（n）；估計(jì)誤差：e（n）=d（n）-y（n）；更更新權(quán)向量：w（n）=w（n-1）+k（n）e*（n）；更新

3 MATLAB 仿真分析

3.1 LMS算法仿真

根據(jù)上述算法的推導(dǎo)，使用MATLAB軟件對LMS算法進(jìn)行仿真分析，假設(shè)輸入信號：x（s）=10×sin（0.5×t），噪聲信號為隨機(jī)信號，通過軟件編程可得仿真結(jié)果如下：

圖2 標(biāo)準(zhǔn)的輸入信號與隨機(jī)的噪聲信號Fig.2 Standard input signal and the random noise signal

圖3 濾波器三種輸出比對Fig.3 Three output matching filter

3.2 RLS算法仿真

使用MATLAB軟件對RLS算法進(jìn)行仿真分析，假設(shè)輸入信號：x（k）=A0cos（w0t+φ0）+b（k），噪聲信號：xr（k）=A0cos（w0t+φ0），設(shè)置濾波器階數(shù)為 200，采樣周期為 1 ms。 仿真結(jié)果如圖4~6所示。

圖2~3的仿真分析可以明顯看出LMS算法具有計(jì)算量小，易于實(shí)現(xiàn)，性能穩(wěn)定的特點(diǎn)；隨機(jī)噪聲信號的期望輸出與輸入信號的波形重合度較高；同時(shí)也可以看出，誤差的走勢較為平緩，其跟蹤能力較慢，對非平穩(wěn)信號的適應(yīng)性差；為滿足較好的算法收斂和穩(wěn)態(tài)誤差的要求值不可能取得太大，這也就決定了LMS算法的收斂速度不快。

圖4 輸入信號Fig.4 Input signal

圖5 誤差與輸出信號Fig.5 Error and output signals

圖6 Cxx矩陣曲線Fig.6 Cxx matrix curve

圖4 ~6是RLS算法得出的結(jié)果。可以看出，系數(shù)的變化曲線在200步時(shí)有一個(gè)超調(diào)，這是由于向量為零，200步以后的變化曲線僅代表值，獲得的濾波器的傳遞函數(shù)類似于LMS濾波器的傳遞函數(shù)。它的中心頻率調(diào)整為正弦信號頻率，即75 rad/s。如圖6所示曲線在采樣步數(shù)時(shí)突變。200步以后曲線值變小。這也正說明了RLS算法具有較好的收斂性能和跟蹤能力，但它卻需要更多的計(jì)算量來完成，不利于適時(shí)實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié) 論

自適應(yīng)濾波是信號處理的重要基礎(chǔ)，在各個(gè)領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用。在實(shí)際問題中，需要研究有效、實(shí)用的自適應(yīng)算法。本文對自適應(yīng)濾波算法原理進(jìn)行化繁為簡地推導(dǎo)，并使用MATLAB軟件對兩種算法進(jìn)行仿真分析。對讀者根據(jù)實(shí)際需要選擇濾波器的算法，設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器具有一定的參考價(jià)值。

[1]鄭田娟.LMS與RLE自適應(yīng)濾波算法對比研究[J].科技廣場，2012（3）:20-21.ZHENG Tian-juan.Comparative study of LMS and RLS adaptive algorithms[J].Science Mosaic，2012（3）:20-21.

[2]謝勝利，何昭水，高鷹.信號處理的自適應(yīng)理論[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[3]飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.MATLAB7輔助信號處理技術(shù)與應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[4]陳懷琛.數(shù)字信號處理教程-MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2004.

[5]Simon Haykin著，鄭寶玉等譯.自適應(yīng)濾波器原理[M].4版.北京：電子工業(yè)出版社，2010.

[6]龔耀寰.自適應(yīng)濾波器[M].北京:電子工業(yè)出版社，1989.