含五個未知函數(shù)的方程的非平凡整函數(shù)解

陳 靜，朱美玲

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 楚雄 675000)

1.引言及主要結(jié)果

在研究費馬型丟番圖方程時，人們把方程的整數(shù)解與對應(yīng)的代數(shù)曲線上的有理點的研究聯(lián)系起來。例如求解丟番圖方程xn+yn=zn的整數(shù)解可轉(zhuǎn)化為求方程F(X，Y):=Xn+Yn=1在有理數(shù)域Q上的解;求解xn+yn+zn=tn的非平凡整數(shù)解的問題可以轉(zhuǎn)化為求方程F(X，Y，Z):=Xn+Yn+Zn=1的非平凡有理數(shù)解的存在性問題［1］。通過類似的研究方法，人們可以得出函數(shù)方程沒有級小于1的非常數(shù)整函數(shù)解［2—3］。而對于一般的正整數(shù)n，方程xn+yn+zn+tn+un=hn的非平凡整數(shù)解的存在性問題目前尚未解決。在本文中我們考慮一個類似的問題，即函數(shù)方程在整函數(shù)環(huán)上是否有非平凡解?獲得如下結(jié)果:

2.三個引理

對于C中的亞純函數(shù)f(z)，記log+x=max(log x，0)，

其中n(t，f)表示f(z)在圓|z|≤t(0≤t≤r)上的極點的個數(shù)(重數(shù)極點按其重數(shù)算)。n(0，f)表示f(z)在z=0處的極點重數(shù)，T(r，f)=m(r，f)+N(r，f)。

關(guān)于亞純函數(shù)，有以下結(jié)果:

引理1［1］設(shè)函數(shù)f(z)為開平面C上的亞純函數(shù)，則f(z)與其導(dǎo)數(shù)f'(z)有相同的級。

引理2［2］設(shè) fj(z)(j=1，2，…，l)是非常數(shù)的整函數(shù)，如果 max{ρf1，ρf2，…，ρfj}＜ 1，則

引理3［3］設(shè)為開平面C上的n個亞純函數(shù)，則W(f，f，…，f)≡0的充要條件12n是f1，f2，…，fn線性相關(guān)，其中W(f1，f2，…，fn)表示f1，f2，…，fn的朗斯基行列式。

3.定理的證明

假設(shè)方程

存在級小于1的非常數(shù)整函數(shù)解f1(z)，f2(z)，f3(z)，f4(z)和f5(z).記

再令

因為τ(z)恒不為零，進(jìn)而可得

其中 j=1，2，3，4 時，順次地分別取 k=2，3，4，5，m=1，3，4，5，n=1，2，4，5，s=1，2，3，5，t=1，2，3，4。

將(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)相乘并整理得

由引理1可知

于是 max{ρf1，ρf1'，ρf2，ρf2'，ρf3，ρf3'，ρf4，ρf4'，ρf5，ρf5'}＜ 1，

從而由引理2和(3.7)得

又由于τ(z)為整函數(shù)，所以τ(z)=0，這與所設(shè)矛盾，定理得證。

［1］儀洪勛，楊重駿.亞純函數(shù)唯一性理論 ［M］.北京:科學(xué)出版社，1995:376—379.

［2］LiYuhua.Uniqueness theorems for meromorphic function of order less than one［J］.Northeast，math，2000，16(04):411—416.

［3］蘇敏.函數(shù)方程f6(z)+g6(z)+h6(z)=1的整函數(shù)解 ［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版)，29(02)，2009:41—44.