一些靜電場能量公式的適用范圍

魯坤

【摘 要】靜電場能量公式有用場強和電勢表達的兩種形式。兩種形式的意義不同，適用范圍也不相同。許多教材中都涉及了靜電場能量公式，但都沒有詳細說明這兩種形式所適用的確切范圍。

【關(guān)鍵詞】靜電場；能量；適用范圍

0.引言

很多文章與教材中都涉及了靜電場能量公式，然而都沒有詳細說明電場能量與電勢能這兩種形式所適用的確切范圍。如下題（例）在求解問題時就存在著不妥。

如圖1 所示，設(shè)電容器的兩個帶電極板面積為S，分別帶電+q和- q ，板間距為x，求二板間“相互作用能”。

圖1 平行板電容器

取坐標(biāo)軸x軸與二板垂直，坐標(biāo)原點在下極板上。設(shè)上極板為研究體系（體系1），下極板為外部體系（體系2），并取下極板產(chǎn)生的電勢?的參考點在坐標(biāo)原點。那么用電勢表達的靜電場互能公式W=?ρ?dV（1）求得W=x此結(jié)果是否正確姑且不說，我認(rèn)為所使用的公式（1）不妥。因為若按此類理解，也可應(yīng)用電勢表達靜電場互能的另一公式W=?ρ?1dV（2）來求解（本文將給出?ρ?2dV=?ρ2?1dV的證明） ，其中?1為研究體系（上極板）產(chǎn)生的勢。因為在同一問題中，若用不同的互能公式求解，再將結(jié)果進行比較時，電勢參考點應(yīng)取同一個（坐標(biāo)原點），即?1在下極板處也為零，從而有Wi=0。同一問題，所得互能不同（兩種求法參考點相同），在處理該問題時認(rèn)識有誤。通過分析可知，其錯誤是沒有弄清公式的適用范圍。

1.一些能量公式用于無限大均勻帶電平面時所得結(jié)果不唯一的根源

上述平行板電容器是在無限大均勻帶電平面模型上建立起來的。按上面的思路，計算該情形互能會算出不唯一的矛盾結(jié)果。究其根本，是因為上述所用公式的適用范圍與問題中所使用的物理模型的適用范圍不相協(xié)調(diào)所致。眾所周知，對無限大均勻帶電平面這樣的理想物理模型，其適用范圍不含無限遠點。因為在無限遠處看，帶電平面不可能無限大，都應(yīng)是有限大小的；同理，無限大均勻帶電模型，只可以是在近點范圍觀測和抽象出來的結(jié)果。即無限大均勻帶電平面與無限遠點不能同時出現(xiàn)在同一問題中?，F(xiàn)在我們再從有關(guān)教材出發(fā)，回顧總能Wt、互能Wi和自能Ws之間的關(guān)系及其物理含義。靜電場總能公式若用場強表達為Wt=?E·DdV（3）

利用矢量分析，式（3）又可寫為Wt=?ρ?dV-?D·dS（4）

其中S是V的邊界面。因為Wt是靜電場總能量，所以可將V取成整個空間，即S 在無限遠。對于電荷分布在有限范圍內(nèi)的情形，若取無限遠為電勢零點，即?S=0，而D～1/r2，面積S～r2，面積分當(dāng)r→∞時趨于零，則由式（4）得

Wt=?ρ?dV（5）若取有限遠r0點當(dāng)做電勢零點，由于ф～（1/r-1/r0） ， D～1/r2，而面積S～r2，所以當(dāng)r→∞時面積分不再趨于零，則此時Wt≠?ρ?dV可見，當(dāng)取無限遠為電勢零點，并整個空間都是模型的適用范圍時，式（5）才成立。

下面再證明式（1）和（2）相等，同時也能進一步說明其適用范圍與例模型的適用范圍不相協(xié)調(diào)。若用 ф1和ρ1分別為研究體系的所產(chǎn)生的勢和電荷分布；用ф2和ρ2分別表示外部體系的所產(chǎn)生的勢和電荷分布。當(dāng)取無限遠為電勢零點時，式（5）可寫為Wt=?（ρ1+ρ2）（ф1+ф2）dV（6）則互能和自能分別為W=?ρ?2dV+?ρ2?1dV（7）、W=?ρ?1dV+?ρ2?2dV（8）

推廣到一般情況， Wt、Wi和Ws的物理意義為：設(shè)帶電體系由若干個帶電體組成，帶電體系的總靜電能Wt由各帶電體之間的相互作用能Wi每一個帶電體的自能Ws組成；把每一個帶電體看成一個整體，把各帶電體從無窮遠移到現(xiàn)在位置所作的功，為它們之間的相互作用能；把每一個帶電體上的各部分電荷從無限分散的狀態(tài)聚集起來時所作的功，等于這個帶電體的自能；而式（6）、（7）和（8）都是取了無限遠為電勢零點的結(jié)果。對整個空間都適用的物理模型，其電荷分布（以體分布為例，點、線、面分布與此相近，不再贅述） 應(yīng)在有限范圍。若電荷分布在有限范圍，可取無限遠為電勢零點；反之，如果分布在無限遠處的是無限多電荷，就不能選無限遠為電勢零點。設(shè)電荷分布在有限空間，取真空中的無限遠為電勢零點（只有取真空中的無限遠為電勢零點，才可下述表示），則研究體系和外部電荷體系所產(chǎn)生的勢分別為：?1=?（9）、?2=?（10）把式（9）和（10）代入式（7），即可證得Wt=?ρ1?2dV=?ρ2?1dV（11）現(xiàn)在又可看出，只有對可取無限遠為電勢零點的物理模型，式（1）、（2）、（5）和式（6）～（11）才成立。由以上分析可知，例出現(xiàn)的錯誤是將取了無限遠為電勢零點、且只適用于整個空間的靜電場能量公式用于了不能取無限遠為電勢零點、也不適用于整個空間的物理模型（無限大均勻帶電平面）的結(jié)果。而且例用式（1）求得的均勻帶電平行板電容器的能量也不是相互作用能Wi，嚴(yán)格講，它是電勢能。

2.兩種靜電場能量公式的等價性

2.1靜電場能量公式可以寫作

U=??dVdV可進一步寫為U=??dVdV'

設(shè)φ（r）=?dV'則U=?ρ（r）φ（r）dV

由真空中的高斯公式?·E= E=-?φ

可得靜電場的泊松公式-?2φ=

將上式帶入靜電荷的能力公式U=?ρ（r）ρ（r）dV可得U=?-εφ（r）?2φ（r）dV

由-?2φ=帶入，得U=?EdV

可見兩個計算靜電場能量的公式U=??dVdV'和U=?EdV是等價的。

2.2兩電荷組成的電場的總能量

電場的能量是根據(jù)能量分布在整個電場中，各處的（下轉(zhuǎn)第273頁）（上接第264頁）能量體密度為U=

2

計算得到總的能量為U=

2dV

兩個帶電體所形成的的合場強為應(yīng)該是各電荷分別產(chǎn)生場強 1，2的矢量和，即=1+2將合場強帶入總的能

U=?

2dV=?（1+2）2dV

=?

2dV+=?

2dV+=?21·2dV

因此U1=?

12dV、U2=?

22dV、U12=?21·2dV

U1、U2是二帶電體所具有的固有能量，U12二者的相互作用能，因為此種能量的計算方式和利用點電荷計算能量的公式是等價的，所以相互作用能還可寫成

U12=

由于

12+

22≥2

1

·2，所以U總是大于0的，但是相互作用能U12=（ U12=?21·2dV）的正負卻是由兩個帶電體的帶電情況而定。

假如兩個點電荷是±q，那么相互作用能是負的。從上面的公式可知，相互作用能U12=（U12=?21·2dV）是總能量一部分，而系統(tǒng)的總能量U=?E2dV與±q之間的相互作用能U12=表面上看不相容，其根本原因是因為二者的意義不同。 [科]

【參考文獻】

[1]田曉岑.二靜電體系相互作用力與相互作用能一般關(guān)系的正確表達式[J].大學(xué)物理，2003，22（10）：20～1.

[2]陳正照.靜電場能和電荷間的相互作用能[J].太原重型機械學(xué)院學(xué)報，1989，4（10）.

[3]蔣學(xué)華.靜電場的能量與能量密度[J].通化師范學(xué)院學(xué)報，2003，4（24）.