偏微分方程的應(yīng)用

范俊杰

（武漢理工大學(xué)數(shù)學(xué)系，湖北 武漢 430070）

在科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函數(shù)來描述已經(jīng)不夠精確了，所以不少問題必須用多個變量的函數(shù)來描述，才能夠更精確地得到人們所需要的結(jié)果。這樣就產(chǎn)生了研究某些物理現(xiàn)象的理想的含有多個變量的函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，這種方程就是偏微分方程。實際上，偏微分方程的解一般有無窮多個，而在解決具體物理問題時，我們必須從眾多一般解中找到能夠滿足題目給定的特殊條件的解，這樣我們才能夠了解具體問題的特殊性。本文在簡要的介紹偏微分方程的發(fā)展歷史的基礎(chǔ)上，詳細的討論了其在弦振動及人口問題中的應(yīng)用。

1 偏微分方程的發(fā)展

1746年，達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。由此開創(chuàng)了偏微分方程這門學(xué)科。和歐拉同時代的瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·貝努利也研究了數(shù)學(xué)物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀，那時候，數(shù)學(xué)物理問題的研究繁榮起來了，許多數(shù)學(xué)家都對數(shù)學(xué)物理問題的解決做出了貢獻。這里應(yīng)該提一提法國數(shù)學(xué)家傅立葉，他在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發(fā)展的影響是很大的[3]。

2 偏微分方程在某些具體問題中的應(yīng)用

2.1 偏微分方程在弦振動中的應(yīng)用

弦是一個力學(xué)系統(tǒng)，是一個質(zhì)點組，故它的運動符合牛頓第二定律。設(shè)弦在未受擾動時平衡位置是x軸，其上各點均以該點的橫坐標表示。弦上各點的位移假設(shè)發(fā)生在某個平面內(nèi)垂直于x軸的方向上，t時刻的形狀是曲線u＝u(x，t)，適當假設(shè)如下：

（Ⅰ）弦是一個“柔軟”的連續(xù)體，之所以能維持其形狀是由于弦能抵抗彎矩，因此任何時刻弦的張力總是沿著弦的切線方向，且弦的重力可忽略不計[4]。

（Ⅱ）弦的振動發(fā)生在一個平面內(nèi)，且弦上各點的運動方向垂直于平衡位置。

（Ⅲ）微小是指弦振動的幅度及弦上任意點切線的傾角都很小，u（x，t）是弦上橫坐標為x的點在時刻t的位置。

（Ⅳ）弦的擾動是小擾動，即弦上各點的位移與弦長相比很小，且振動平穩(wěn)即弦在任意位置的傾角都很小，這并不是說u(x，t)的數(shù)值很小，而是ux很小。

為了導(dǎo)出弦的橫振動方程，我們選擇平面直角坐標系，弦的平衡位置為x軸，其兩端分別固定在x＝0及x＝1處。

先證明弦上每點張力為常數(shù)。在弦上任取M1M2為一小段，M1M2的長度則為，由于假定弦只做微小振動，即可以認為這段在振動過程中并未伸長，由胡克定律可知，弦上每一點所受張力在運動過程中保持不變，即張力與時間t無關(guān)。

再證明弦上每點張力也不隨地點的變化而變化。將點M1和M2的張力分別記為T1和T2，張力的方向分別沿著弦在點M1和M2處的切方向。由于假定弦只做橫向振動，因此張力在x軸方向分量的代數(shù)和為零，即有

T2cosβ-T1cosα＝0（α，β 分別是曲線 u（x，t）的切線與 x 軸的夾角）

對于微小振動 α≈0，β≈0，所以 cosα＝cosβ，于是可得 T1＝T2，這說明張力不隨地點變化。

綜上所述張力為常數(shù)，記為T。根據(jù)牛頓第二定律可以建立弦的橫向振動方向。

作用在弦的這一微小元素上的垂直方向的力即為在橫向分量的代數(shù)和為：

由于微小振動，所以α，β都較小，即：

應(yīng)用微分中值定理可將上式化為：

設(shè)弦的密度為ρ，由于弦段(x1，x2)較小，所以其上的每點加速度相同，因此可以用其上的任意一點的加速度代替。于是該弦段的慣性力的大小為：

（1）弦自由振動的方程

當弦自由振動時，不受外力，由牛頓第二定律可知合力為慣性力，可得下式：

（2）弦強迫振動方程

若在弦的每單位長度上還有橫向外力作用，外力密度為F(x，t)，由于弦段M1和M2很小，其上各點處的外力密度近似相等，故作用在弦段上的外力近似等于[1]：

當x1→x2時，對上式取極限可得：

2.2 偏微分方程在“人口”問題中的應(yīng)用

人口問題是生物學(xué)家非常感興趣的問題之一（人口并不僅限于人，它可以是任何一個與人有類似性質(zhì)的生命群體）。對人口的發(fā)展進行研究我們所采用威爾霍斯特模型：其中，aˉ稱為生命系數(shù)，并且aˉ比 ɑ 要小很多。 aˉP2（t）就是考慮到生存競爭而引入的競爭項。當群體總數(shù)p（t）不太大時，由于aˉ比ɑ小很多，則可以略去上面方程中右端的第二項而回到馬爾薩斯模型。但是當群體總數(shù)增大到一定程度時，上面方程中右端的第二項所產(chǎn)生的影響就不能忽略。

威爾霍斯特模型是將生物群體中每一個個體視為同等地位來對待的，而這個原則只適用于低等動物。對于人類群體來說，必須考慮不同個體之間的差別，特別是年齡因素的影響。人口的數(shù)量不僅和時間有關(guān)，還應(yīng)該和年齡有關(guān)，而且人口的出生、死亡等都和年齡有關(guān)。不考慮年齡因素就不能正確的把握人口的發(fā)展動態(tài)。此時，我們必須給出用偏微分方程描述的人口模型：

其中，p（t,x）表示任意時刻 t按年齡 x的人口分布密度，d（x）表示年齡為x的人口死亡率，b（x）表示年齡為x（ɑ≤x≤A）的人的生育率，ɑ表示可以生育的最低年齡，A表示人的最大年齡。

對于上述偏微分方程模型成立如下結(jié)論：

定理1：對偏微分方程的初值問題（3），如果下列條件成立：

（Ⅰ）在閉區(qū)間0到A上，p0（x）≥0且適當光滑；

（Ⅱ）在閉區(qū)間 0到A上，d（x）≥0且適當光滑，并且當 x→A-0時，d（x）趨近于無窮大及

則該初邊值問題（1）-（3）存在唯一的整體解 p（t，x）同時滿足 p（t，x）≥0 且 p（t，A）＝0。

該模型在經(jīng)過適當?shù)暮喕僭O(shè)后，例如假設(shè) d（x）≡d＝常數(shù)，b（x）≡b＝常數(shù)，就可以回到常微分方程模型。但在偏微分方程模型中d＝d（x）、b＝b（x）均與年齡有關(guān)，這與現(xiàn)實情況相符。因此，偏微分方程模型確實更能精確地描述人口分布的發(fā)展過程。

3 結(jié)論

隨著物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的不斷擴展，偏微分方程的應(yīng)用范圍變得更加廣泛。而從數(shù)學(xué)自身的角度來看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、常微分方程、數(shù)值分析、微分幾何等各方面均有不同程度的發(fā)展。所以從這個角度來說，偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心。由于同一類型的偏微分方程往往可以用來描述許多性質(zhì)上頗不相同的自然現(xiàn)象，所以對一些重要的偏微分方程開展研究，可以有許多方面的應(yīng)用前景，并有望在新興學(xué)科或邊緣學(xué)科的開發(fā)中及時的發(fā)揮作用。

［1］吳方同.數(shù)學(xué)物理方程[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2001:18-36.

［2］朱長江,鄧引斌.偏微分方程教程[M].北京:科學(xué)出版社,2005:106-112.

［3］李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京:高等教育出版社,2002:19-26.

［4］陳祖樨.偏微分方程[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2004:21-33.