對比電勢能分析火積耗散計算

張明智 李婷婷 甄鵬洋

（華北電力大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，河北保定071003）

0 引言

過增元等[1]提出熱量傳遞勢容和熱量傳遞勢容耗散函數(shù)。通過對熱量傳遞與電荷傳遞現(xiàn)象比擬，得出一個新的物理量火積—與電勢能相對應(yīng)，代表物體向外傳遞熱量的能力。熱量傳遞過程中傳遞能力的損失稱為火積耗散。韓光澤等[2]將導(dǎo)熱系統(tǒng)與導(dǎo)電系統(tǒng)類比，發(fā)現(xiàn)它們的傳遞能力的損耗都可以由廣義功來反映。在力學(xué)系統(tǒng)中，功為強(qiáng)度量力與廣延量力所走過的位移量的乘積。對于導(dǎo)電系統(tǒng)，廣義功電功是強(qiáng)度量電勢與廣延量電荷的乘積；對于導(dǎo)熱系統(tǒng)，廣義功熱力功是強(qiáng)度量溫度與廣延量熱量的乘積。本文將涉及到的物理量進(jìn)行了比擬，如表1所示：

表1 導(dǎo)電與導(dǎo)熱系統(tǒng)相關(guān)物理量對照Tab.1 Contrast of related physical quantities of electrical and thermal conductive systems

目前關(guān)于火積的研究涉及到：火積的概念，火積傳遞效率[3]，火積耗散率，火積耗散極值原理[4]，火積耗散熱阻[5]及其在傳熱傳質(zhì)優(yōu)化中的應(yīng)用[6]等。本文討論了不同情況下火積耗散數(shù)學(xué)表達(dá)式，進(jìn)一步明確火積耗散的物理意義和計算方法。

1 導(dǎo)電系統(tǒng)電勢能耗散

1.1 電功與電勢能

廣義功電功，是強(qiáng)度量電勢與廣延量電荷的乘積，可以表示為微分式：

設(shè)帶電量為Q的電容器，電勢是φ，本構(gòu)方程是Q=ceφ，將其對外放電，當(dāng)電勢由φ2達(dá)到φ1時，電容器對外做電功為：

電容器對外界做的電功等于一個狀態(tài)函數(shù)的變化，在電磁學(xué)中，這個狀態(tài)函數(shù)被定義為導(dǎo)體的電勢能：

導(dǎo)體電勢能的大小表征導(dǎo)體向外傳遞電荷的能力，電勢能耗散量為導(dǎo)體向外做電功的大小。

1.2 電勢能耗散計算

1.2.1 無源有限系統(tǒng)

設(shè)兩個結(jié)構(gòu)完全相同的電容器，電勢分別為φ1、φ2，將其并聯(lián)成為一個無內(nèi)電源的有限體系。利用式（3）分別計算出并聯(lián)前后的總電勢能，兩者的差就是電勢能耗散。并聯(lián)之前兩電容器總電勢能為：

并聯(lián)后總電容是 2Ce，電勢是（φ1+φ2）2，總電勢能為：

并聯(lián)過程中電勢能耗散：

1.2.2 穩(wěn)流開口系統(tǒng)

設(shè)將電荷量恒為Q的正電荷放在恒定勻強(qiáng)電場中，將其從φ1點(diǎn)移動到φ2點(diǎn)。當(dāng)電荷沿等勢線運(yùn)動時，φ1=φ2，過程中沒有電勢能損耗。當(dāng)電荷沿著電場線正向運(yùn)動時，φ1＞φ2，過程中必有電勢能損耗。從這兩種不同移動電荷過程的比較分析中可以看出，產(chǎn)生電勢能損耗的原因是存在電勢差，高電勢點(diǎn)輸出的電勢能大于低電勢點(diǎn)得到的電勢能。

基于對電勢能損耗機(jī)理的認(rèn)識可將電勢能耗散定義為：

對于電量穩(wěn)定的開口系統(tǒng)，由式（7）可知過程中的電勢能耗散為：

1.2.3 一般系統(tǒng)

電勢能損耗的定義式（7）反應(yīng)了電勢能損耗的機(jī)理，可以由此積分得到系統(tǒng)總的電勢能損耗，但該式與時間無關(guān)，只能用于描述過程的結(jié)果。在研究某些具體問題時往往需要知道單位時間單位體積導(dǎo)電介質(zhì)中的電勢能損耗。將式（7）兩端同時對時間和體積微分得：

式中：▽φ為電勢梯度；J為電流密度，A m2。又已知存在下式：

式中：ψEe為電勢能耗散率，J （s·m3）。

式（11）兩側(cè)同時對時間和體積進(jìn)行積分得電勢能耗散為：

2 導(dǎo)熱系統(tǒng)與火積耗散

2.1 熱力功與火積

定義溫度T與被傳輸熱量Qh的乘積為熱力功Wh[7]，熱力功可以表示為微分式：

設(shè)有一個質(zhì)量和體積不變的物體放在熱源上，熱源緩慢的升高溫度給物體加熱。被加熱物體的本構(gòu)方程是Qh=ChT。其中Ch是熱容，Qh是熱容量。當(dāng)物體的溫度由T1升高到T2時，熱源對物體做的熱力功為：

熱源對物體做的熱力功等于一個狀態(tài)函數(shù)的變化，這個狀態(tài)函數(shù)被定義為火積：

火積是表征物體向外傳遞熱量能力的物理量，火積耗散量為物體向外做熱力功的大小。

2.2 火積耗散計算

2.2.1 無源有限系統(tǒng)

設(shè)有兩個完全相同的物體，通過直接熱接觸后構(gòu)成一個復(fù)合熱系統(tǒng)。這是一個無源有限系統(tǒng)，利用定義式（15），分別計算出物體被加熱前后的火積，兩者的差就是火積耗散。

設(shè)接觸前兩個物體的溫度分別是T1和T2，接觸前兩個物體的總火積為：

接觸后復(fù)合系統(tǒng)的熱容是2Ch，平衡溫度是，接觸后的總火積是：

組合過程中火積耗散為：

2.2.2 穩(wěn)流開口系統(tǒng)

設(shè)一個質(zhì)量和體積不變的物體放在熱源上加熱，物體其它各方面絕熱。物體的溫度為T，熱容量為QV，熱源的溫度為T′。

文獻(xiàn)[7]指出，當(dāng)物體與熱源之間無熱阻的接觸，T′=T，則該系統(tǒng)加熱過程中沒有火積耗散。當(dāng)物體與熱源之間有熱阻，T′＞T，過程中必有火積耗散，并對火積耗散(文獻(xiàn)中稱為勢容耗散)定義為:

該定義式的實(shí)質(zhì)是熱源的傳熱溫度T′與系統(tǒng)內(nèi)部溫度T的差值所做的熱力功，即熱源所付出的火積多于被加熱物體所能得到的火積。

以一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例，輸入厚度為d的平板與輸出平板的熱流密度相等且都為q，由式（19）可得過程中的火積耗散為:

2.2.3 一般系統(tǒng)

火積耗散的微分定義式（19）反應(yīng)了火積耗散的機(jī)理，可以由此積分得到系統(tǒng)總的火積耗散，但該式與時間無關(guān)，只能用于描述過程的結(jié)果。在研究某些具體問題時往往需要知道火積耗散率，也就是單位時間單位體積導(dǎo)熱介質(zhì)中的火積耗散。將式（19）兩端同時除以時間和導(dǎo)熱體體積的微分得:

又已知存在下式：

將式（22）代入式（21）得：

式中：ψEh為火積耗散率，。

式（23）兩側(cè)同時對時間和體積進(jìn)行積分得火積耗散為：

3 結(jié)論

從上面的分析計算中可以看出，導(dǎo)電系統(tǒng)中的電勢能損耗與導(dǎo)熱系統(tǒng)中的火積耗散的機(jī)理是類似的。電勢能損耗的機(jī)理是導(dǎo)電過程存在電勢差，高電勢點(diǎn)輸出的電勢能多于低電勢點(diǎn)得到的電勢能?；鸱e損耗的機(jī)理是導(dǎo)熱過程中存在溫差，熱源輸出的火積大于被加熱物體得到的火積。此外，二者在無源有限系統(tǒng)、穩(wěn)流開口系統(tǒng)以及一般系統(tǒng)的表達(dá)式是一一對應(yīng)的，不僅在形式上完全相同，而且在物理含義上也完全對應(yīng)。這進(jìn)一步說明，本文對火積耗散的數(shù)學(xué)表達(dá)式分析是正確的。關(guān)于火積耗散表達(dá)式的分析有助于在不同場合靈活采用不同的計算方法對火積耗散進(jìn)行計算。

表2 導(dǎo)電與導(dǎo)熱系統(tǒng)勢容耗散對照Tab.2 Contrast of heat transport potential capacity dissipation of electrical and thermal conductive systems

［1］過增元,程新廣,夏再忠.最小熱量傳遞勢容耗散函數(shù)原理及其在導(dǎo)熱優(yōu)化中的應(yīng)用[J].科學(xué)通報,2003,48(1):21-25.

［2］韓光澤,朱宏燁,程新廣,等.導(dǎo)熱與彈性系統(tǒng)及導(dǎo)電的相似性[J].工程熱物理學(xué)報,2005,26(6):1022-1024.

［3］胡幗杰,過增元.傳熱過程的效率[J].工程熱物理學(xué)報,2011.32(6):1005-1008.

［4］丁開強(qiáng).基于火積耗散極值原理的通道內(nèi)層流換熱流場優(yōu)化[D].山東大學(xué),2013.

［5］朱曉磊,張勤,孟繼安,等.多股流換熱器的火積耗散熱阻分析[J].工程熱物理學(xué)報,2012,33(12):2140-2142.

［6］葉莉.一種板式換熱器板片的性能優(yōu)化及火積理論分析[D].南京航空航天大學(xué),2012.

［7］韓光澤,過增元.導(dǎo)熱能力損耗機(jī)理及其數(shù)學(xué)描述[J].中國電機(jī)工程學(xué)報,2007,27(17):98-102.