基于擬時(shí)間函數(shù)的氣井不穩(wěn)定生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析

王軍磊 賈愛(ài)林 甯波 蔣俊超

中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院

對(duì)于頁(yè)巖氣、致密氣等非常規(guī)氣藏，水平井輔以分段壓裂技術(shù)能夠增大地層接觸面積，減小滲流阻力，提高氣井產(chǎn)能，同時(shí)也將引起持續(xù)數(shù)年的不穩(wěn)定線性流動(dòng)期［1－4］。將日常生產(chǎn)數(shù)據(jù)處理為產(chǎn)量修正的生產(chǎn)擬壓差、擬時(shí)間，以反映出的流態(tài)特征為診斷工具，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式能夠獲取不同的參數(shù)，以此來(lái)評(píng)價(jià)壓裂效果與預(yù)測(cè)氣井產(chǎn)量［5－6］。

但是，氣體擬時(shí)間計(jì)算中涉及的平均地層壓力往往難以確定。Agrwal［7］和 Mattar［8］分別利用壓力迭代法和地質(zhì)儲(chǔ)量迭代法確定平均地層壓力，但都只適用于擬穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)階段；Anderson［9］為提出使用探測(cè)邊界內(nèi)平均地層壓力的觀點(diǎn)，隨后 Nobakht等［10－11］給出了利用物質(zhì)平衡方程結(jié)合探測(cè)邊界傳播規(guī)律的求解思路，該方法雖然突破了擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)條件的限制，但難以應(yīng)用到更具實(shí)際意義的變產(chǎn)量生產(chǎn)情況。

這樣，如何計(jì)算變產(chǎn)量下的探測(cè)邊界移動(dòng)規(guī)律成為合理分析生產(chǎn)數(shù)據(jù)的關(guān)鍵。傳統(tǒng)探測(cè)邊界公式是基于不穩(wěn)定滲流研究的結(jié)果，多是通過(guò)脈沖波的最大響應(yīng) 位 置［12－13］或 聯(lián) 立 不 穩(wěn) 定 與 擬 穩(wěn) 態(tài) 壓 力 導(dǎo) 數(shù)［14－15］確定。這些公式形式基本一致，均認(rèn)為探測(cè)邊界移動(dòng)速度與氣井工作制度無(wú)關(guān)，但 Wattenbarger［16］計(jì)算表明，定壓和定產(chǎn)下的探測(cè)邊界公式并不相同。鑒于此，筆者借助低滲透儲(chǔ)層中的“動(dòng)邊界”［17－19］概念，將探測(cè)邊界視為壓力擾動(dòng)的外邊緣，通過(guò)積分方法獲得變產(chǎn)量下的探測(cè)邊界通用表達(dá)式，利用Nobakht方法計(jì)算平均地層壓力，并給出相應(yīng)迭代算法計(jì)算氣體擬時(shí)間函數(shù)，同時(shí)對(duì)比分析使用真實(shí)時(shí)間對(duì)線性關(guān)系產(chǎn)生的影響，進(jìn)而利用擬時(shí)間分析氣井不穩(wěn)定生產(chǎn)數(shù)據(jù)，計(jì)算壓裂參數(shù)。

1 探測(cè)邊界內(nèi)的平均地層壓力

1.1 探測(cè)邊界模型及近似解

致密介質(zhì)滲透率極低，無(wú)自然產(chǎn)能，氣體只有在壓裂區(qū)域（SRV）內(nèi)才能夠發(fā)生有效流動(dòng)。假設(shè)各條裂縫等長(zhǎng)、等間距分布，SRV區(qū)域內(nèi)的滲流可以等效為一系列的線性流模型［20－22］。

借助低滲透“動(dòng)邊界”概念研究探測(cè)邊界問(wèn)題：假定地層均質(zhì)，含氣飽和度100%，氣體全部為CH4，忽略重力和毛細(xì)管力的影響，不考慮地層孔隙的可壓縮性，壓力只在探測(cè)邊界內(nèi)傳播。利用無(wú)量綱量處理氣體擬壓力控制方程，其中變產(chǎn)量下無(wú)量綱定義為：

式中K為滲透率，mD；h為地層厚度，m；φ為地層孔隙度；μg為氣體黏度，mPa·s；Bg為氣體體積系數(shù)；cg為氣體壓縮系數(shù)，MPa－1；Zg為氣體偏差因子；T為地層溫度，K；y為空間坐標(biāo)，m；yf為動(dòng)邊界空間位置，m；xf為裂縫半長(zhǎng)，m；qsc為氣井產(chǎn)量，m3／d；qref為參考產(chǎn)量，m3／d；Gp為累積產(chǎn)量，m3；p為地層壓力，MPa；t為生產(chǎn)時(shí)間，h；下標(biāo)sc為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，psc＝0.1MPa，Tsc＝293.15K；下標(biāo)i為地層原始狀態(tài)；下標(biāo)D為無(wú)量綱量。

地層中的無(wú)量綱擬壓力控制方程滿足：

壓力及探測(cè)邊界初始條件為：

由于探測(cè)邊界yfD隨時(shí)間而變化，直接求解（2）～（4）并非易事，這里采用近似求解方法。首先對(duì)控制方程（2）兩側(cè)先后關(guān)于空間變量（yD）和時(shí)間變量（tD）進(jìn)行積分，利用邊界條件將偏微分方程式（2）轉(zhuǎn)化為探測(cè)邊界內(nèi)物質(zhì)平衡方程：

考慮到初始條件式（3）及邊界條件式（4），令方程式（5）的近似解滿足二階精度近似，即

上式中α0（tD）和α1（tD）為待定系數(shù)，通過(guò)邊界條件可以得到探測(cè)邊界內(nèi)的壓力分布公式，即

將壓力近似解式（7）代入物質(zhì)平衡方程式（5），可以得到探測(cè)邊界在地層中的移動(dòng)規(guī)律：

式（8）與經(jīng)典探測(cè)邊界公式相比，系數(shù)更大、時(shí)間修正為物質(zhì)平衡時(shí)間。利用式（8）可以得到任意生產(chǎn)制度下氣井探測(cè)邊界隨時(shí)間的移動(dòng)規(guī)律。

1.2 探測(cè)邊界內(nèi)平均地層壓力

從氣井流量來(lái)源的角度分析探測(cè)邊界的物理意義。氣井流量完全來(lái)自于地層孔隙內(nèi)氣體的彈性壓縮，以探測(cè)邊界作為空間劃分點(diǎn)，氣井流量由兩部分地層組成：探測(cè)邊界內(nèi)＋探測(cè)邊界外。使用物質(zhì)平衡方程的理想條件為外邊界封閉，即探測(cè)邊界內(nèi)地層的流量供給占?xì)饩髁康?00%，所以探測(cè)邊界以內(nèi)地層對(duì)氣井產(chǎn)量的供給比例決定著在探測(cè)邊界內(nèi)使用物質(zhì)平衡方程的準(zhǔn)確性。

本文參考文獻(xiàn)［16］給出了定流量探測(cè)邊界表達(dá)式y(tǒng)Df＝（2tD）1／2，定壓為yDf＝（4tD）1／2，而利用式（8）得到的探測(cè)邊界定流量表達(dá)式為：yDf＝（6tD）1／2。定壓：yDf＝（6tDmb）1／2＝（12tD）1／2。利用經(jīng)典解關(guān)于yD的導(dǎo)數(shù)可獲得不同位置處的流量qD（yD，tD），通過(guò)計(jì)算qD（yD，tD）／qD（0，tD）比值獲得探測(cè)邊界內(nèi)地層對(duì)氣井流量的供給比例。其中本文參考文獻(xiàn)［16］定產(chǎn)條件下的計(jì)算結(jié)果為68.3%，定壓為63.9%，近似解式（8）分別為91.68%、95.02%。使用近似解增加了壓力擾動(dòng)的波及范圍，減小了探測(cè)邊界外地層的流量供給比重，提高了在探測(cè)邊界內(nèi)使用物質(zhì)平衡方程的精度。

利用式（8）并結(jié)合物質(zhì)平衡方程式（9）可以得到不同時(shí)刻探測(cè)邊界內(nèi)的平均地層壓力（pavg），這是計(jì)算氣體擬時(shí)間函數(shù)的基礎(chǔ)。

其中，利用式（8）可獲得不同生產(chǎn)制度下的探測(cè)邊界內(nèi)地質(zhì)儲(chǔ)量（G）為：

2 氣體擬時(shí)間

氣體具有強(qiáng)可壓縮性，其黏度（μg）、偏差因子（Zg）、體積系數(shù)（Bg）等都是關(guān)于壓力的強(qiáng)非線性函數(shù)，如果直接對(duì)氣體滲流控制方程中的擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行強(qiáng)行近似必然會(huì)引起較大的誤差。使用擬時(shí)間函數(shù)（ta）能夠?qū)怏w滲流問(wèn)題等效轉(zhuǎn)化為液體滲流問(wèn)題，同時(shí)改進(jìn)了“強(qiáng)行近似擴(kuò)散系數(shù)（1／φμgcg）為常數(shù)”的假設(shè)條件，結(jié)果必然使得理論描述更接近于礦場(chǎng)實(shí)際情況，也方便液體研究領(lǐng)域內(nèi)成果的參考和借鑒。其中，擬時(shí)間定義為：

2.1 定壓生產(chǎn)

在定壓生產(chǎn)條件下，線性流動(dòng)階段的產(chǎn)量變化規(guī)律［16］滿足1／qsc＝αt0.5。其中：

式（13）表明探測(cè)邊界內(nèi)的平均地層壓力為常數(shù)，擬時(shí)間與真實(shí)時(shí)間關(guān)系簡(jiǎn)化為：

用擬時(shí)間取代真實(shí)時(shí)間，產(chǎn)量和探測(cè)邊界內(nèi)的平均地層壓力重新修正式為：

其中，擬時(shí)間修正因子用來(lái)表示真實(shí)時(shí)間與擬時(shí)間的差異，定義為：

根據(jù)式（16）結(jié)合Newton迭代算法可以獲得不同生產(chǎn)壓差下的平均地層壓力。圖1計(jì)算了不同井底壓力（pw）下對(duì)應(yīng)的擬時(shí)間修正因子（fcp）。結(jié)果表明，pw越小，fcp越大，（mi－mw）／qsc—t斜率較（mi－mw）／qsc—ta偏小程度越明顯，直接使用真實(shí)時(shí)間分析生產(chǎn)數(shù)據(jù)的可靠性越差。

圖1 不同井底壓力下的擬時(shí)間修正因子圖

2.2 定產(chǎn)生產(chǎn)

定產(chǎn)生產(chǎn)時(shí)，同樣利用式（9）式（10）可以獲得探測(cè)邊界內(nèi)的物質(zhì)平衡方程：

為方便研究，這里做如下假設(shè)：cg≈1／p，Zg＝1，μg＝常數(shù)，結(jié)合利用式（18），可以得到擬時(shí)間與真實(shí)時(shí)間的近似關(guān)系式為：

則產(chǎn)量修正下的擬壓差（mi－mw）／qsc與真實(shí)時(shí)間t的線性關(guān)系應(yīng)滿足：

用圖2計(jì)算得到不同產(chǎn)量下的t1／2與［m（pi）－m（pw）］／qsc變 化 規(guī) 律。 結(jié) 果 表 明：t1／2與 ［m（pi）－m（pw）］／qsc在生產(chǎn)早期呈線性關(guān)系，隨著生產(chǎn)進(jìn)行逐漸偏離直線關(guān)系（線性相關(guān)系數(shù)變?。x程度受氣井產(chǎn)量控制，產(chǎn)量越大偏離直線的起始時(shí)間越小，偏離程度越大（線性相關(guān)系數(shù)越小），這將導(dǎo)致無(wú)法直接使用真實(shí)時(shí)間分析氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)。

圖2 產(chǎn)量修正擬壓差與生產(chǎn)時(shí)間的線性關(guān)系圖

2.3 變產(chǎn)量生產(chǎn)

物質(zhì)平衡時(shí)間（tmb）能夠較好地處理產(chǎn)量變化引起的時(shí)間疊加影響，但Palacio和Blasingame［23］研究表明，tmb通常只在擬穩(wěn)定階段精確成立。將物質(zhì)平衡時(shí)間（tmb）修正為1.23tmb，物質(zhì)平衡時(shí)間在不穩(wěn)定流動(dòng)階段也能夠精確成立（表1）。

表1 修正物質(zhì)平衡時(shí)間效果表

將式（20）中的擬時(shí)間（ta）替換為修正物質(zhì)平衡擬時(shí)間1.23tmba，可得到變產(chǎn)量條件下的解析表達(dá)式為：

其中，探測(cè)邊界內(nèi)的平均地層壓力通過(guò)下式確定，即

式（21）與式（23）中均含有未知量xf，這里采用迭代方法計(jì)算xf：

1）繪制［m（pi）－m（pw）］／qsc與真實(shí)物質(zhì)平衡時(shí)間（tmb1／2）的曲線，利用式（21）的線性關(guān)系式中的斜率（β）計(jì)算xf，作為初值。

2）使用式（23）計(jì)算生產(chǎn)數(shù)據(jù)記錄點(diǎn)處的平均地層壓力，形成t—pavg的數(shù)據(jù)表。

3）利用t—pavg數(shù)據(jù)表并結(jié)合式（22），借助數(shù)值積分計(jì)算物質(zhì)平衡擬時(shí)間（tmba），進(jìn)一步形成t—tmba數(shù)據(jù)表。

4）繪制各個(gè)時(shí)間點(diǎn)t對(duì)應(yīng)的［m（pi）－m（pw）］／qsc與物質(zhì)平衡擬時(shí)間（tmba1／2）的線性關(guān)系式，確定斜率（β），計(jì)算xf。

5）重復(fù)步驟（2）～（4），直到xf收斂為止。

3 實(shí)例分析

以某壓裂水平氣井為例進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。其中地層滲透率為 0.187mD，厚度為 11.7m，孔隙度為12.4%，原始地層壓力為28.95MPa，原始地層溫度為313.15K，水平段長(zhǎng)度為1045m，壓裂10段，氣井生產(chǎn)歷史見(jiàn)圖3。

圖3 氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)圖

按照上述迭代算法分析氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)。圖4計(jì)算了不同時(shí)刻探測(cè)邊界移動(dòng)規(guī)律以及探測(cè)邊界內(nèi)的平均地層壓力，結(jié)果表明：隨著生產(chǎn)的進(jìn)行，探測(cè)邊界不斷向外傳播，傳播速度逐漸減慢，同時(shí)井底壓力不斷下降，探測(cè)邊界內(nèi)的平均地層壓力隨之下降。

圖4 探測(cè)邊界及平均地層壓力變化規(guī)律圖

圖5對(duì)比了使用物質(zhì)平衡時(shí)間和物質(zhì)平衡擬時(shí)間的計(jì)算效果：①直接使用物質(zhì)平衡時(shí)間，生產(chǎn)數(shù)據(jù)間的線性關(guān)系并不明顯，直線的線性相關(guān)系數(shù)較低，斜率整體偏低，同時(shí)呈現(xiàn)出定壓和定產(chǎn)情況的特征；②使用物質(zhì)平衡擬時(shí)間，能夠明確生產(chǎn)數(shù)據(jù)間的線性關(guān)系，此時(shí)擬合出的線性關(guān)系式是考慮了氣體高壓物性和產(chǎn)量變化共同作用的結(jié)果，更接近氣體的實(shí)際流動(dòng)情況。利用生產(chǎn)數(shù)據(jù)間的線性關(guān)系斜率（β）來(lái)計(jì)算壓裂長(zhǎng)度（xf）：

圖5 利用擬時(shí)間分析生產(chǎn)數(shù)據(jù)結(jié)果圖

由于圖5中物質(zhì)平衡擬時(shí)間對(duì)應(yīng)的直線斜率（βtmba）大于物質(zhì)平衡時(shí)間斜率（βtmb），故使用真實(shí)時(shí)間分析氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)導(dǎo)致壓裂參數(shù)計(jì)算結(jié)果偏高，物質(zhì)平衡時(shí)間計(jì)算結(jié)果為xf＝53.40m，物質(zhì)平衡擬時(shí)間計(jì)算結(jié)果為41.73m，為進(jìn)一步驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果，基于線性流動(dòng)模型重新計(jì)算井底壓力，同時(shí)對(duì)比實(shí)測(cè)壓力（圖6）。圖6表明，基于擬時(shí)間（xf＝41.73m）解釋參數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果更為合理，而真實(shí)時(shí)間（xf＝53.40m）解釋結(jié)果則高估了氣井的實(shí)際生產(chǎn)能力，導(dǎo)致相同生產(chǎn)時(shí)間內(nèi)井底壓力的下降幅度更大。

圖6 生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合效果圖

4 結(jié)論

1）完整給出了考慮氣井產(chǎn)量變化和探測(cè)邊界影響的氣體滲流數(shù)學(xué)模型，用積分平均方法完成了近似求解，得到了探測(cè)邊界傳播規(guī)律的通用解析表達(dá)式，并通過(guò)對(duì)比經(jīng)典結(jié)果驗(yàn)證近似解的準(zhǔn)確性。

2）探測(cè)邊界公式中時(shí)間修正為物質(zhì)平衡時(shí)間，利用新公式計(jì)算的探測(cè)邊界內(nèi)地層儲(chǔ)存氣體對(duì)氣井產(chǎn)量貢獻(xiàn)率超過(guò)90%，高于 Watterbarger結(jié)果，提高了在探測(cè)邊界內(nèi)使用物質(zhì)平衡方程的精度。

3）同修正擬壓差—擬時(shí)間形成的線性關(guān)系式相比，定產(chǎn)條件下直接使用真實(shí)時(shí)間導(dǎo)致線性關(guān)系不成立，定壓條件下則引起直線斜率減小，其偏差程度分別由氣井產(chǎn)量及井底壓力決定。

4）在實(shí)際氣井生產(chǎn)中，氣體物質(zhì)平衡擬時(shí)間函數(shù)能夠明確生產(chǎn)數(shù)據(jù)間的線性關(guān)系，提高壓裂參數(shù)解釋結(jié)果的可靠性，為準(zhǔn)確評(píng)價(jià)水力壓裂效果提供理論支持。

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