考慮應(yīng)力敏感與非達(dá)西效應(yīng)的頁巖氣產(chǎn)能模型

田 冷 肖 聰 顧岱鴻

1.中國石油大學(xué)石油工程教育部重點實驗室 2.中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院

頁巖氣藏是典型的非常規(guī)氣藏［1－2］，在儲層中存在解吸、擴散和滲流相互作用，因而，其在滲流機理和流動方式上都有異于常規(guī)油氣藏，國內(nèi)外許多學(xué)者對頁巖氣滲流規(guī)律及其產(chǎn)能模型進(jìn)行了研究［3－4］。Barenblatt提出頁巖氣雙孔模型［5］，但未考慮頁巖氣解吸和擴散影響；El－Banbi提出線性雙孔模型［6］，首次給出拉普拉斯空間解，但忽略頁巖氣解吸和擴散影響；Ah－Ahmadi等給出了考慮頁巖氣解吸和擴散影響的三孔線性流模型［7］，但沒有考慮微裂縫應(yīng)力敏感的影響；趙玉龍、張烈輝等給出了頁巖氣擬三孔球形流模型［8］，考慮頁巖氣解吸擴散影響，但考慮人工裂縫為無限導(dǎo)流裂縫，忽略了人工裂縫中非線性流和微裂縫中的應(yīng)力敏感效應(yīng)影響；蔡華等在傳統(tǒng)裂縫—基質(zhì)雙重介質(zhì)模型基礎(chǔ)上，建立了考慮裂縫應(yīng)力敏感效應(yīng)的頁巖氣產(chǎn)能模型［9］，但僅局限于對直井，并且沒有考慮高速非達(dá)西流的影響；王海濤等給出了頁巖氣雙孔球形流模型［10］，考慮頁巖氣解吸擴散和微裂縫中的應(yīng)力敏感效應(yīng)影響，但考慮人工裂縫為無限導(dǎo)流裂縫，忽略了人工裂縫中非線性流。

筆者簡化壓裂地層為塊狀模型，建立考慮天然裂縫應(yīng)力敏感和人工裂縫非達(dá)西滲流的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用全隱式有限差分和牛頓—拉普森迭代法進(jìn)行數(shù)值求解，繪制了頁巖氣產(chǎn)量遞減曲線，并分析了相關(guān)因素對氣井產(chǎn)量遞減規(guī)律的影響。

1 產(chǎn)能模型建立

頁巖氣多級壓裂地層簡化為塊狀模型，考慮矩形封閉地層中心1口水平井定壓力生產(chǎn)，其他條件做如下假設(shè)：①在初始條件下，地層各處的壓力為pi，儲層具有雙孔介質(zhì)特征；②人工裂縫垂直于井筒，關(guān)于井筒對稱且均勻分布，人工裂縫條數(shù)為n且完全貫穿儲層，天然裂縫與人工裂縫垂直，氣藏的長、寬分別與水平段和裂縫等長；③人工裂縫有限導(dǎo)流能力，考慮人工裂縫非達(dá)西流動和天然裂縫應(yīng)力敏感效應(yīng)；④僅人工裂縫向井筒供氣，只考慮氣體從基質(zhì)向天然裂縫的線性流動，忽略氣體從基質(zhì)向人工裂縫和井筒的流動；⑤頁巖氣微可壓縮，壓縮系數(shù)恒定；⑥頁巖氣解吸滿足Langmuir等溫吸附方程，擴散滿足Fick第一定律；⑦忽略重力和毛細(xì)管力的影響。

1.1 應(yīng)力敏感效應(yīng)

考慮氣體擬壓力形式下的應(yīng)力敏感對滲透率影響可以表述為：

式中K為考慮應(yīng)力敏感的地層滲透率，D；Ki為原始地層滲透率，D；Ψi為原始地層擬壓力，MPa2／（mPa·s）；β為應(yīng)力敏感系數(shù)，（mPa·s／MPa2）；Ψ 為地層擬壓力，MPa2／（mPa·s）。

1.2 非線性流動效應(yīng)

Forcheimer建議用二次流動項來描述非線性流動：

引入非達(dá)西流動效應(yīng)修正系數(shù)（δ），則達(dá)西定律修正方程表示為：

式中K為地層滲透率，D；p為地層壓力，MPa；μ為氣體黏度，mPa·s；ρ為氣體密度，kg／m3；δ 為非達(dá)西流動效應(yīng)修正系數(shù)；v為滲流速度，m／s；χ為非達(dá)西系數(shù)，μm0.6；l為長度，m。

1.3 吸附效應(yīng)

目前主要運用蘭格繆爾等溫吸附方程來描述頁巖氣吸附、解吸過程，其表達(dá)式為：

式中VE是平衡吸附濃度，m3／m3；VL是蘭格繆爾吸附濃度，m3／m3；pL是蘭格繆爾壓力，MPa；ψL是蘭格繆爾擬壓力，MPa2／（mPa·s）。

1.4 數(shù)學(xué)模型

考慮頁巖氣在儲層中解吸擴散氣體從基質(zhì)到天然裂縫為擬穩(wěn)態(tài)竄流，天然裂縫到人工裂縫為不穩(wěn)定竄流，由質(zhì)量守恒定律分別得到基質(zhì)、天然裂縫和人工裂縫中流動方程。

1.4.1 人工裂縫

式中Ψj分別為人工裂縫、天然裂縫和基質(zhì)的擬壓力，MPa2／（mPa·s），j＝F，f，m；x、y分別為距離，m；μ為氣體黏度，mPa·s；φj分別為人工裂縫孔隙度、天然裂縫孔隙度和基質(zhì)孔隙度，小數(shù)，j＝F，f，m；（Ct）j分別是人工裂縫、天然裂縫和基質(zhì)系統(tǒng)的綜合壓縮系數(shù)，MPa－1，j＝F，f，m；Kf、Kfi、Km分別為人工裂縫滲透率、天然裂縫滲透率和基質(zhì)滲透率，D；t為時間，h；psc為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下的壓力，MPa；T為儲層溫度，K；Tsc為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下的溫度，K；α是基質(zhì)巖塊形狀因子，m－2；Lf為人工裂縫之間的距離，m。

1.4.2 天然裂縫

1.4.3 基質(zhì)

由菲克第一定律得到，氣體向基質(zhì)中的擴散速度可以表示為：

式中V為頁巖氣濃度，m3／m3。

帶入蘭格繆爾等溫吸附方程可以得到：

2）無因次時間

3）無因次應(yīng)力敏感系數(shù)

5）無因次儲容比

6）裂縫導(dǎo)流能力比

7）無因次初始擬壓力

8）無因次蘭格繆爾擬壓力

9）無因次蘭格繆爾體積

10）無因次產(chǎn)量

11）無因次距離

式中Acw為井筒流動面積，Acw＝2LFh，m2；LF為井筒長度，m；h為地層厚度，m；ye是人工裂縫長度，m。

將式（6）～式（8）及邊始條件式無因次化后得到以下方程。

1）人工裂縫

2）天然裂縫

初始條件：

根據(jù)無因次產(chǎn)量與無因次擬力的關(guān)系，可以得到：

2 產(chǎn)能方程求解

2.1 網(wǎng)格劃分

方程式（21）、（25）、（29）是關(guān)于擬壓力的強非線性偏微分方程，難以求出其解析解。因此采用數(shù)值解法，利用全隱式有限差分法將其進(jìn)行離散。

對模型做進(jìn)一步假設(shè)：人工裂縫沿水平井筒均勻分布，所有人工裂縫等效，并且不考慮裂縫之間的干擾。取其中一個流動單元（圖1）進(jìn)行分析，并對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分（圖1）。

圖1 流動基本單元及其離散示意圖

人工裂縫、天然裂縫和基質(zhì)離散分別遵循以下原則：①人工裂縫中近井筒附近壓降大，非達(dá)西效應(yīng)嚴(yán)重，故將其細(xì)分，取較小的步長，而在遠(yuǎn)離井筒地帶，由于高的人工裂縫導(dǎo)流能力，可以粗化其模塊，取較大步長；②天然微裂縫考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)，縫內(nèi)壓力分布差異大，步長應(yīng)適當(dāng)選取，以滿足精度要求；③基質(zhì)向微裂縫擬穩(wěn)定竄流，壓力處處相等，便于處理，將基質(zhì)離散為與微裂縫相同的單元數(shù)。

2.2 方程離散

由于偏微分方程中存在非達(dá)西流動修正系數(shù)（δ），同時δ也是壓力的函數(shù)，我們已經(jīng)知道人工裂縫具有高導(dǎo)流能力。因此一定時間差內(nèi)，縫內(nèi)壓差并不大，可以利用前一時間的縫內(nèi)壓力分布迭代求解的δ作為本次的δ參與求解。將式（22）～式（32）運用全隱式有限差分法離散后的方程如下所示。

2.2.1 人工裂縫

2.2.2 天然裂縫

2.2.3 基質(zhì)

2.2.4 邊界和初始條件

對于式（30）～式（33），利用牛頓拉普森迭代法進(jìn)行數(shù)值求解。

3 典型曲線繪制及因素分析

通過有限差分和牛頓迭代法獲得無因次產(chǎn)量（qD）隨無因次時間（tD）的變化關(guān)系，并做出各種因素影響下的產(chǎn)量qD－tD和產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)qD－tD雙對數(shù)圖版。對典型曲線（圖2）分析得到4個流動階段：①階段Ⅰ——人工裂縫線性流階段。產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)曲線斜率為－1／2，為前期人工裂縫中線性流階段。②階段Ⅱ——雙線性流階段。產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)曲線斜率為－1／4，為人工裂縫和微裂縫中雙線性流階段。③階段Ⅲ——竄流階段。產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)“凹”形，此時為基質(zhì)向微裂縫的擬穩(wěn)定竄流階段。④階段Ⅳ——邊界控制流階段。此時邊界已經(jīng)對生產(chǎn)動態(tài)產(chǎn)生影響，產(chǎn)量和產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)曲線迅速下降，出現(xiàn)邊界控制階段。

圖2 典型曲線及流動階段劃分示意圖

3.1 應(yīng)力敏感效應(yīng)

文中考慮微裂縫中的應(yīng)力敏感效應(yīng)，圖3表明：應(yīng)力敏感對前期幾乎沒有影響，其主要影響微裂縫中的流動階段，也就是竄流及其后流動階段。隨著應(yīng)力敏感系數(shù)的增大，無因次產(chǎn)量和產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)曲線整體下移，分析其機理可知，裂縫壓力降低，裂縫發(fā)生閉合，滲透率降低，氣體流動滲流阻力增大，從而使產(chǎn)能減小。

圖3 不同應(yīng)力敏感系數(shù)的典型曲線圖

圖3中A和B階段應(yīng)力敏感效應(yīng)顯著，而A、C階段應(yīng)力敏感較弱。分析其機理為：A階段主要是人工裂縫線性流階段，此時裂縫中壓力并沒有降低，應(yīng)力敏感效應(yīng)并沒有發(fā)生；B階段為天然裂縫中線性以及基質(zhì)向裂縫竄流前期階段，此時竄流量不足以彌補裂縫中的虧空量，導(dǎo)致壓力降低，應(yīng)力敏感效應(yīng)顯著發(fā)生；C階段為竄流后期，由于解吸發(fā)生，竄流量能夠很好地補充虧空量，裂縫壓力基本沒有下降，應(yīng)力敏感效應(yīng)消失；D階段為邊界控制流階段，流動到達(dá)邊界后，無外來流體補充，裂縫中壓力降低，此時應(yīng)力敏感影響顯著。

3.2 非達(dá)西效應(yīng)

人工裂縫中非達(dá)西效應(yīng)的影響主要通過非達(dá)西修正系數(shù)（δ）是否等于1來體現(xiàn)，圖4給出了考慮和不考慮非達(dá)西效應(yīng)下的無因次產(chǎn)量及其導(dǎo)數(shù)典型曲線，分析可知：高導(dǎo)流能力人工裂縫中，非達(dá)西效應(yīng)影響顯著，考慮非達(dá)西效應(yīng)時，曲線整體下移，這是由于附加阻力的存在，導(dǎo)致滲流能力降低，產(chǎn)能下降。

圖4 考慮非達(dá)西效應(yīng)影響典型曲線圖

圖5 蘭格繆爾參數(shù)影響典型曲線圖

3.3 吸附效應(yīng)

頁巖氣吸附效應(yīng)中最重要的兩個特征參數(shù)就是蘭格繆爾壓力和蘭格繆爾體積，通過分析繪制的典型曲線圖版（圖5）可以得到，pL和VL主要是影響竄流階段以及產(chǎn)量衰減出現(xiàn)的早晚，pL越大（pL取1.5MPa、5MPa和10MPa）竄流階段出現(xiàn)得越晚，產(chǎn)量越晚出現(xiàn)衰減；同時，VL越?。╒L取1.5m3／m3、5m3／m3）竄流階段出現(xiàn)得越早，產(chǎn)量越早出現(xiàn)衰減。

從微觀機理分析，隨著蘭格繆爾體積和蘭格繆爾壓力增大，吸附氣含量增大，隨壓力降低，基質(zhì)中的吸附氣向裂縫中解吸擴散，使得裂縫中壓力降落速度減慢，所需時間延長，從而竄流階段出現(xiàn)的時間向后延遲，出現(xiàn)圖中“凹”形向右移的現(xiàn)象。同時，由于基質(zhì)中頁巖氣解吸，補充了氣體的虧空，使得壓力降低緩慢，封閉邊界的影響較小，當(dāng)頁巖氣解吸達(dá)到一定程度后，解吸量不足以彌補邊界的影響，產(chǎn)能開始顯著降低，邊界控制流動階段顯著發(fā)生。

4 結(jié)論

1）建立了考慮應(yīng)力敏感和非達(dá)西效應(yīng)、頁巖氣吸附、解吸產(chǎn)能模型，運用數(shù)值方法繪制典型曲線，并對其產(chǎn)能影響因素進(jìn)行了分析。

2）通過對典型曲線的分析，頁巖氣流動分為4個階段：人工裂縫中的線性流階段；人工裂縫和天然裂縫中的雙線性流階段；基質(zhì)向天然裂縫中的竄流階段；氣藏邊界控制流動階段。

3）考慮天然裂縫中的應(yīng)力敏感效應(yīng)，由于頁巖氣解吸，竄流以及邊界控制的影響，天然裂縫中應(yīng)力敏感效應(yīng)階段性發(fā)生，其中在天然裂縫雙線性階段，竄流前期階段以及后期邊界控制流階段，應(yīng)力敏感顯影顯著發(fā)生，并且應(yīng)力敏感系數(shù)越大，無因次產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)曲線下移量越多，產(chǎn)能降低越顯著。

4）高導(dǎo)流能力人工裂縫中非達(dá)西效應(yīng)顯著發(fā)生?？紤]非達(dá)西效應(yīng)時，產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)曲線前期下降。因此，在實際氣藏開發(fā)中不能忽視非達(dá)西效應(yīng)的影響，尤其是對于高生產(chǎn)壓差氣井。

5）分析表征頁巖氣吸附特性的兩個特征參數(shù)——蘭格繆爾壓力和蘭格繆爾體積，得知兩者主要影響竄流階段以及邊界控制流階段發(fā)生的早晚。

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