淺談逆矩陣求解的方法

馬學玲，詹建明

（湖北民族學院 科技學院；湖北民族學理學院，湖北 恩施 445000）

矩陣是工科數(shù)學中的一個非常重要的概念,它是代數(shù)學的主要研究對象,也是數(shù)學研究和應(yīng)用的一個重要工具.“矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的,他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個術(shù)語.

矩陣的應(yīng)用相當廣泛.它不僅被應(yīng)用于數(shù)學領(lǐng)域里,而且在力學、物理、科技、現(xiàn)代自然科學、工程技術(shù)乃至社會科學等許多領(lǐng)域都是一個不可缺少的工具.逆矩陣作為矩陣論的一個重要分支,它的存在不可或缺，同時逆矩陣的應(yīng)用也相當廣泛,為了更便捷地求矩陣的逆,本文根據(jù)逆矩陣的定義和性質(zhì)總結(jié)了一些求逆矩陣的方法,這些方法能幫助我們更快更準地解決繁瑣的求逆矩陣問題.同時，它還是理工科學生更好地學習大學數(shù)學的必備基礎(chǔ)知識,可為他們以后繼續(xù)深造打下堅實的基礎(chǔ).

1 逆矩陣

我們知道,對于任意n階方陣A都有AE=EA=A這里E是n階單位矩陣.

1.1 逆矩陣定義

定義 令A(yù)是數(shù)域F上一個n階矩陣,若是存在F上n階矩陣B,使得

那么A叫作一個可逆矩陣（或非奇異矩陣）,而B叫作A的逆矩陣.

1.2 逆矩陣的性質(zhì)

（1）逆矩陣唯一；

（2）若A可逆,則A-1也可逆且(A-1)-1=A；

（3）(AT)-1=(A-1)T；

（4）若A、B均可逆且A、B同階，則AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1；

1.3 可逆的等價條件

若 A∈Fn×n，以下條件等價：

（1）A可逆；（2）堝B∈Fn×n,st AB=E；

（3）r(A)=n； （4）|A|≠0；

（5）A的行向量組線性無關(guān)；

（6）A的列向量組線性無關(guān)；

（7）A可表示成一系列初等矩陣的乘積；

（8）A可經(jīng)過一系列初等行變換化成E；

（9）A可經(jīng)過一系列初等列變換化成E；

（10）齊次線性方程組Ax=0只有零解.

2 逆矩陣的求法

在判斷一個n階矩陣A可逆后,就可以求其逆矩陣.主要求逆矩陣的方法有：

2.1 利用定義求逆矩陣

由AB=E解出A-1，即求出B.

2.2 利用伴隨矩陣求逆矩陣

定理1 矩陣A可逆當且僅當矩陣A的行列式detA≠0，且

這種求逆矩陣的方法，因為要求A的行列式|A|及A的伴隨矩陣A*，計算量很大,但是在理論上是很重要的.

2.3 利用初等行（列）變換求逆矩陣

如果n階矩陣A可逆,要求A-1,先由A作出一個n×2n矩陣（或者2n×n）,即(A|E)（或者），然后對這個矩陣施以行初等變換（或者列初等變換）,將它的左（上）半部的矩陣A化為單位矩陣,那么右（下）半部的單位矩陣就同時化為A-1：

2.4 利用混合初等行列變換求逆陣矩

在一般的高等代數(shù)課本里面,只介紹了有限次使用行變換或有限次使用列變換來求可逆矩陣的逆矩陣,但是在實際解題過程中只用初等行變換或只用初等列變換對于有些矩陣化為單位矩陣是有難度的,會給我們的計算帶來不便.在求解逆矩陣的時候是否可以既進行行變換，又進行列變換？如果可以怎樣變換？下面介紹這一方法，若同時采用行和列初等變換,把一個矩陣置于含單位矩陣的分塊矩陣中,這樣可以較快求出矩陣的逆.

定理2 若用一系列初等行列變換將可逆矩陣A化成單位矩陣E，則必存在矩陣B,C使得A-1=BC,且B由E初等列變換得到,C由E初等行變換得到（矩陣B,C均為非奇異矩陣）.例3 矩陣

解

2.5 利用分塊矩陣求逆矩陣

設(shè)A、B分別為P、Q階可逆矩陣,則：

2.6 利用哈密頓－凱萊（Hamilton-Caylay）定理求逆矩陣

利用矩陣的特征多項式求可逆矩陣的逆，首先求出可逆矩陣的特征多項式,然后根據(jù)Hamilton-Caylay可得到可逆矩陣的逆矩陣.

定理3 設(shè)A=(aij)是數(shù)域F上的一個n階矩陣，A的特征多項式 fλ(λ)=λn+kλn-1+…+k1λ+k0，若 A可逆,則 A的逆矩陣

解 A的特征多項式為

由|A|=9，所以A是可逆的.

2.7 利用Gauss-Jordan定理求逆矩陣

解

由矩陣的乘法寫成方程的形式:

即X=BY,其中

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