基于q－高斯分布的投資組合實(shí)證分析

劉遵雄，劉江偉，鄭淑娟，陳 英

（1．華東交通大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 南昌330013；2．江西財(cái)經(jīng)大學(xué) 科研處，江西 南昌330013）

一、引 言

一般分布已經(jīng)不能滿足復(fù)雜系統(tǒng)和交叉學(xué)科的研究要求，自從Tsallis提出q－分布以來，q－分布理論已經(jīng)得到廣泛研究并且成功應(yīng)用于各種復(fù)雜系統(tǒng)中［1］。q－高斯分布是q－分布家族中重要的一員，實(shí)質(zhì)上可以看作是在約束條件下Tsallis熵最大化而得到的一種概率密度函數(shù)，亦可以看作是一種廣義高斯分布［2］。q－高斯分布可以由多種模型或隨機(jī)微分方程推導(dǎo)出來，而且表達(dá)形式也稍有差異。其中由線性隨機(jī)微分方程推導(dǎo)出的密度函數(shù)表達(dá)形式易于理解和應(yīng)用，參數(shù)對(duì)分布的影響也很直觀［3－4］。q－高斯分布比高斯分布更加靈活，其參數(shù)可以靈活地控制其尖峰厚尾分布，這對(duì)研究具有尖峰厚尾分布特性的金融時(shí)間序列有重要意義。

為了研究方便，學(xué)者們?cè)谘芯拷鹑谑袌?chǎng)股票收益率時(shí)通常假設(shè)其服從正態(tài)分布，然而從統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果來看，股票收益率并不能很好的服從正態(tài)分布，再加上人們對(duì)金融市場(chǎng)的分析結(jié)果要求越來越嚴(yán)格，因此在研究如何改進(jìn)金融模型時(shí)，改進(jìn)其分布假設(shè)成為一個(gè)重要的研究方向。隨著全球經(jīng)濟(jì)一體化進(jìn)程的加快和中國金融市場(chǎng)的發(fā)展與完善，中國金融機(jī)構(gòu)對(duì)投資組合理論的應(yīng)用實(shí)踐提出了具體要求。投資組合理論主要研究投資者如何利用分散投資來優(yōu)化他們的投資組合，在最小風(fēng)險(xiǎn)的期望下獲得最大的收益［5］。經(jīng)典的投資組合模型包括均值－方差模型和均值－VaR模型［6－7］。雖然以期望度量收益，方差度量風(fēng)險(xiǎn)的均值－方差模型被廣泛應(yīng)用于資產(chǎn)組合優(yōu)化，然而由于方差作為度量測(cè)度具有“對(duì)稱”性，即在最小化方差的同時(shí)，也限制了可能的收益。VaR作為一種簡(jiǎn)便、易于理解的風(fēng)險(xiǎn)度量方法，代替方差作為均值－方差模型的風(fēng)險(xiǎn)度量，構(gòu)成了均值－VaR模型，成為目前流行的資產(chǎn)組合優(yōu)化模型。

考慮到股票收益率分布的尖峰厚尾特性，本文將q－高斯分布引入到投資組合模型中，并和基于高斯分布的投資組合模型進(jìn)行了實(shí)證比較，結(jié)果表明，基于q－高斯分布假設(shè)的投資組合模型具有更高的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)能力，并能帶來較大的收益。

二、q－高斯分布

（一）q－高斯分布密度函數(shù)的推導(dǎo)

已有研究表明，可以利用不同的隨機(jī)微分方程或模型推導(dǎo)出q－高斯分布密度函數(shù)，如非線性隨機(jī)微分方程，馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型，帶有卡方分布的高斯處理過程，有噪聲的線性隨機(jī)微分方程等［8－10］［3］。本文從含有噪聲的線性隨機(jī)微分方程出發(fā)，推導(dǎo)出q－高斯分布概率密度函數(shù)的表達(dá)形式。含有白噪聲的一種線性隨機(jī)微分方程可以表示為：

為便于求解，將式（1）寫成伊藤福克爾－普朗克方程（Ito－Stratonovich Fokker－Planck equation）的形式：

其中β＞0，q＞1。

隨機(jī)變量為N維情況時(shí)，含有噪聲的線性隨機(jī)微分方程根據(jù)式（1）可以寫成：

（二）q－高斯分布的參數(shù)估計(jì)

多元q－高斯分布的概率密度函數(shù)表達(dá)式中，需要估計(jì)的參數(shù)有正交矩陣Q，形狀參數(shù)βj，qj。q－高斯分布的參數(shù)估計(jì)方法很多，有矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法、曲線擬合參數(shù)估計(jì)方法等。下面以矩估計(jì)法為例，給出q－高斯分布概率密度函數(shù)的參數(shù)估計(jì)方法。

首先根據(jù)抽樣方法，計(jì)算樣本協(xié)方差Sspl，估算總體協(xié)方差S，對(duì)S做對(duì)角化運(yùn)算，根據(jù)QSQ＇＝diag（λ1，λ1，…，λ1）求出Q。

（三）參數(shù)對(duì)q－高斯分布的影響

為能直觀地考察q－高斯密度函數(shù)中參數(shù)對(duì)分布的影響，以二元q－高斯函數(shù)為例進(jìn)行研究。由式（13）知，二元q－高斯的密度函數(shù)為：

其中Q為單位正交矩陣，β1＞0，β2＞0，1＜q1＜3，1＜q2＜3。根據(jù)啟發(fā)式算法思想，選取不同的q，β畫出二元q－高斯分布的圖形以便比較參數(shù)對(duì)分布的影響，可以得到如下兩條結(jié)論：第一，選取β1＝β2＝1，Q＝ ［1，0；0，1］不變，q1＝q2分別取2．9，2．2，1．6，1．1，觀察其分布圖形和垂直截面圖可以看出，當(dāng)β，Q不變，q越小時(shí)，圖形越尖；第二，選取q1＝q2＝2，Q＝［1，0；0，1］不變，β1＝β2分別取1，2，5，10，觀察其分布圖形和垂直截面圖可以看出，當(dāng)q，Q不變，β越大時(shí)，圖形越尖。考慮到金融市場(chǎng)股票收益率分布的尖峰厚尾性，可以通過調(diào)整q－高斯分布密度函數(shù)中的參數(shù)，更加準(zhǔn)確地?cái)M合收益率的分布，這為研究股票收益率提供了更好的統(tǒng)計(jì)分析工具。

三、投資組合模型

（一）均值－方差模型

Markowitz投資組合理論認(rèn)為，投資者進(jìn)行決策時(shí)，總希望以盡可能小的風(fēng)險(xiǎn)獲得盡可能大的收益，或在收益率一定的情況下，盡可能降低風(fēng)險(xiǎn)［11］，因此現(xiàn)代投資組合理論主要研究投資者如何利用分散投資來優(yōu)化他們的投資組合比例。Markowitz均值－方差模型，是用于估計(jì)投資者投資組合風(fēng)險(xiǎn)與收益的一種有力的工具［6，12］。假設(shè)有n個(gè)資產(chǎn)，他們的收益率分別為R1，R2，…，Rn，用向量表示為R＝（R1，R2，…，Rn），其均值為μ＝（μ1，μ2，…，μn），協(xié)方差為 Σ（n階 方 陣），Ri、Rj的 協(xié) 方 差 記 為 cov（Ri，Rj），向量w＝ （w1，w2，…，wn）T為投資組合的投資比例，則Markowitz均值－方差模型形式化地表示為：

實(shí)踐操作中，通常采取采樣的方法，用待分析資產(chǎn)收益率數(shù)據(jù)的均值和方差S來估計(jì)整體均值和方差，即：

（二）均值－VaR模型

均值－方差模型利用收益率的方差作為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，這種方法雖然可以有效的減小組合收益的波動(dòng)，但由于方差是一種“對(duì)稱”的度量，方差的最小化不只會(huì)減少收益向下的偏離，同時(shí)也會(huì)減少收益向上的偏離，所以它同時(shí)也限制了可能的收益［5］。VaR（Value at Risk）指的是在正常的市場(chǎng)條件中，在一定持有期及置信水平下，某一資產(chǎn)或投資組合所面臨的最大的損失［13］。用VaR代替方差作為風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度就得到了均值－VaR模型［7］，可以形式化地表示成如下形式：

相關(guān)研究表明，約束條件下均值－VaR的有效解集是均值－方差有效解集的子集，且均值－VaR的最優(yōu)解為［5］：

四、實(shí)證分析

一般情況下，均值－方差模型和均值－VaR模型都是在高斯分布假設(shè)下對(duì)投資比例進(jìn)行估算，為了獲得更優(yōu)的投資比例，本文將對(duì)實(shí)際的收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)并驗(yàn)證將q－高斯分布應(yīng)用于該投資組合模型的有效性。選取滬市三只股票（海信電器HXDQ600060，三一重工SYZG600031，同方股份TFGF600100），選取2011年6月2日到2012年12月31日共388個(gè)日收益率數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來源：銳思數(shù)據(jù)庫http：／／www．resset．cn／cn），其基本檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如表1所示。

表1 頻率檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量表

從表1知，三支股票峰度分別為6．062，5．753，6．582，均大于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰度值3，說明三只股票不服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?？ǚ綑z驗(yàn)和QQ圖檢驗(yàn)的結(jié)果也說明三支股票不服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。繪制出三只股票的直方圖，分別用正態(tài)分布（均值方差參數(shù)見表1）和q－高斯分布擬合三只股票的收益率分布如圖1－3所示（其中計(jì)算出來的q－高斯分布的參數(shù)分別為βHXDQ＝907，qHXDQ＝1．214 8；βSYZG＝1 462．3，qSYZG＝1．269 7；βTFGF＝3 111，qTFGF＝1．307 8）。從圖上可以看出，q－高斯擬合曲線比高斯曲線有更高的尖峰，更厚的尾部，更接近收益率數(shù)據(jù)的實(shí)際分布，說明用q－高斯分布擬合收益率分布的效果更好。

圖1 海信電器直方圖及擬合曲線圖

圖2 三一重工直方圖及擬合曲線圖

圖3 同方股份直方圖及擬合曲線圖

分別用高斯分布和q－高斯分布擬合三只股票的收益率分布，采用均值－方差模型和均值－VaR模型分別解出該模型所對(duì)應(yīng)的投資比例見表2，并同時(shí)畫出均值－方差模型和均值－VaR模型有效前沿如圖4所示。從圖4可以也可以看出，均值－VaR模型的解是約束條件下均值－方差模型的有效子集。用計(jì)算出來的投資比例投資于所選三只股票，用2013年1月4日到2013年1月31日的收益率數(shù)據(jù)做實(shí)證比較，實(shí)際收益如表2中“實(shí)際收益”所示。

圖4 均值－方差和均值－VaR模型有效前沿圖

表2 不同分布假設(shè)下投資組合模型的投資比例與實(shí)際收益表

從表2可以看出，基于q－高斯分布的均值－方差模型投資比例為［0．396 4，0．259 8，0．343 8］，實(shí)際收益為0．005 1，大于高斯分布假設(shè)下的0．004 7；基于q－高斯分布的均值－VaR模型投資比例為［0．620，0．260，0．120］，實(shí)際收益為0．006 3，同樣大于高斯分布假設(shè)下的0．004 9；并且基于q－高斯分布的均值－VaR模型是表2中四種模型中最優(yōu)的。實(shí)證結(jié)果表明將q－高斯分布應(yīng)用于投資組合模型中，可以提高模型解的有效性，同時(shí)基于此解做投資，可以有效提高預(yù)期收益。

五、結(jié) 論

本文從含有白噪聲的線性隨機(jī)微分方程中推導(dǎo)了q－高斯分布密度函數(shù)的表達(dá)式，并研究了其尖峰厚尾的特性?？紤]到通常股票收益率分布具有尖峰厚尾特性，因此將q－高斯分布應(yīng)用于投資組合理論的均值－方差模型和均值－VaR模型。選取滬市三支股票進(jìn)行實(shí)證分析和求解，并與基于高斯分布假設(shè)下的求解做了比較，結(jié)果表明將q－高斯分布應(yīng)用于投資組合模型可以更準(zhǔn)確的擬合收益率的分布，并且按照基于q－高斯分布的投資組合模型的投資比例選擇股票，可以帶來更多實(shí)際收益。

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