基于模態(tài)的模糊描述邏輯（M—FALC）的形式化公理體系

摘 要：模糊描述邏輯的提出是針對現(xiàn)實(shí)生活中存在的模糊現(xiàn)象，而模態(tài)邏輯解決的是現(xiàn)實(shí)生活中具有的狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)換現(xiàn)象等。將模態(tài)邏輯中的模態(tài)思想和模糊邏輯中的模糊理論相結(jié)合，同時(shí)結(jié)合描述邏輯，形成模態(tài)模糊描述邏輯（M-FALC）?？紤]不同論域中的可能存在的模糊概念，關(guān)系，公式等，本文給出M-FALC的形式化公理體系及其推理，既能解決現(xiàn)實(shí)問題中的狀態(tài)現(xiàn)象又解決模糊現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：模糊描述邏輯；模態(tài)邏輯；模態(tài)模糊描述邏輯

中圖分類號：TP182

針對現(xiàn)實(shí)生活中，有許多的信息具有模態(tài)屬性[1]并且?guī)в心：?，不精確性的特點(diǎn)，將模態(tài)邏輯與模糊描述邏輯進(jìn)行結(jié)合。模糊描述邏輯是描述邏輯的模糊擴(kuò)展，而模態(tài)邏輯可以表達(dá)模態(tài)詞的含義[2]。兩者都具有模糊的性質(zhì)，其中模糊邏輯是對經(jīng)典邏輯的語義進(jìn)行了擴(kuò)充，而模態(tài)邏輯是對經(jīng)典邏輯的語構(gòu)進(jìn)行的擴(kuò)充。這里將模態(tài)描述邏輯與模糊描述邏輯相結(jié)合，增強(qiáng)語義表達(dá)的能力。

1 基礎(chǔ)知識簡介

1.1 模糊描述邏輯（Fuz-ALC）

近年來，用模糊論來表達(dá)本體中的不確定性知識，越來越多地得到學(xué)術(shù)界研究者的廣泛關(guān)注，成為不確定人工智能，知識發(fā)現(xiàn)和智能數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域中的重要研究方向。1965年，Zadeh最早提出模糊集理論[3]，從此被廣泛應(yīng)用在人工智能領(lǐng)域，數(shù)據(jù)挖掘以及決策分析中。由此產(chǎn)生了表達(dá)模糊思想的描述邏輯-模糊描述邏輯（FALC）以及基于此的多種擴(kuò)展的模糊描述邏輯。

1.2 模態(tài)描述邏輯（Modal-ALC）

用描述邏輯不能表示動態(tài)的知識，如基于時(shí)間，不同智能主體的，主觀的知識等，但是可以用模態(tài)邏輯來表示。模態(tài)邏輯是研究形如“必然的”或“可能”這種表達(dá)式的推理行為[4]，引入了兩個(gè)模態(tài)算子：□（必然）和◇（可能）[5]。將模態(tài)邏輯和描述邏輯進(jìn)行整合產(chǎn)生的模態(tài)描述邏輯（MALC）可以作帶不確定信息的語義Web的邏輯基礎(chǔ)，比描述邏輯ALC有更強(qiáng)的表達(dá)能力[6][7]。

2 基于模態(tài)的模糊描述邏輯（M-FALC）的形式化公理體系

傳統(tǒng)的模態(tài)算子有□和◇，分別表示“必然”和“可能”，在M-FALC中，將傳統(tǒng)的兩個(gè)模態(tài)算子擴(kuò)展到廣義模態(tài)算子上，如同時(shí)態(tài)邏輯中時(shí)態(tài)算子就可以有多個(gè)?，F(xiàn)定義如下：

定義2.1：設(shè)W是非空集合，稱為宇宙，其成員稱為可能世界，每一個(gè)可能世界用x，y，z…等表示，而每一個(gè)可能世界都有一個(gè)模態(tài)算子，模態(tài)算子可以分別用α，β，γ…等表示（如將現(xiàn)有狀態(tài)作為默認(rèn)狀態(tài)，則其模態(tài)算子可以省略，退化為一般情況的描述邏輯）。

注：本文中涉及的廣義模態(tài)算子和傳統(tǒng)模態(tài)算子是相通的，比如，廣義模態(tài)算子有α，β，γ…，考慮的是每個(gè)可能世界x，y，z…中的真和假，當(dāng)某個(gè)事物在廣義模態(tài)劃分的所有可能世界中為真，等同于在傳統(tǒng)模態(tài)劃分的世界，即模態(tài)算子取□（“必然”）的情況下為真。反之等同于在傳統(tǒng)模態(tài)劃分的世界，即模態(tài)算子取◇（“可能”）的情況下為真。

2.1 M-FALC的語法

將經(jīng)典邏輯的語義進(jìn)行擴(kuò)充得到的模糊邏輯和將經(jīng)典邏輯的語構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)充得到模態(tài)邏輯相結(jié)合，得到的模態(tài)模糊描述邏輯（M-FALC）是1-型模糊描述邏輯FALC的語法的擴(kuò)充。M-FALC的概念按如下規(guī)則定義：

定義3.2：設(shè)CN是M-FALC描述邏輯中原子概念的集合，R為關(guān)系，C和D是概念，α，β，γ…為模態(tài)算子，且α，β，γ…∈Δ（Δ為所有模態(tài)算子的集合），p表示概率值，則M-FALC中概念按照如下抽象語法定義：

（1）原子概念C，全概念T和空概念⊥都是M-FALC概念；

（2）對每一個(gè)概念CP∈CN，CP是M-FALC概念；

（3）如果CP和DP都是M-FALC概念，則 是M-FALC概念；

（4）如果CP是M-FALC概念，模態(tài)算子α∈Δ，則αCP是M-FALC概念；

2.2 M-FALC的語義

模態(tài)模糊描述邏輯（M-FALC）的語義模型用一個(gè)四元組K=（W，ω，Δ，F(xiàn)I）來表示：

（1）非空集合W，稱為宇宙，是模態(tài)模糊描述邏輯模型中所有可能狀態(tài)的集合，相當(dāng)于每個(gè)可能世界中的x，y，z…等；

（2）非空集合ω，稱為模態(tài)算子，是模態(tài)模糊描述邏輯中的可能世界對應(yīng)的模態(tài)算子α，β，γ…等的集合。和前面所論述的一樣，當(dāng)某事物在所有模態(tài)算子限定的情況下都成立，相當(dāng)于在□（“必然”）情況下成立，否則，相當(dāng)于在◇（“可能”）情況下成立；

（3）非空集合Δ，是該系統(tǒng)中所討論的所有個(gè)體對象的集合，又稱為論域；

（4）FI是指對該系統(tǒng)中的個(gè)體常元，概念和關(guān)系加以模糊解釋的映射I。

在M-FALC中的語義是將概念解釋為某一論域或某一模態(tài)下的表征模糊度的隸屬度值，關(guān)系是該論域或該模態(tài)下的模糊關(guān)系。本文應(yīng)用的模糊解釋，也就是M-FALC的映射關(guān)系表示為FI=（ω，ΔFI，·FI），其中，模態(tài)算子ω限制的是某一個(gè)可能世界，或者是某一特定狀態(tài)；解釋論域ΔFI是非空的個(gè)體集合；·FI是從模態(tài)模糊概念和關(guān)系到某個(gè)模態(tài)下的隸屬度值的映射函數(shù)，也就是將概念解釋為某一模態(tài)ω下，在論域ΔFI下的模糊值，關(guān)系也是該模態(tài)ω下，該論域ΔFI下的模糊二元關(guān)系?，F(xiàn)將基于模態(tài)的模糊描述邏輯的語法和語義如表1所示：

表1給出了M-FALC的語法及語義。與FALC不同的地方在于，這里有模態(tài)算子的限定，我們用α代替；另外，M-FALC中ΔFI是[0，1]區(qū)間內(nèi)數(shù)值的集合，我們這里用u來表示，其中u∈[0，1]。

3 結(jié)論

模態(tài)模糊描述邏輯的提出是為了表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活中許多問題不僅具有模糊現(xiàn)象，而且該模糊現(xiàn)象也具有一定模態(tài)限制；既能保持描述邏輯的優(yōu)點(diǎn)，又?jǐn)U展了描述邏輯的語義和語構(gòu)，增強(qiáng)了描述邏輯的表達(dá)能力。本文只是在理論上提出了新的觀點(diǎn)，進(jìn)一步的工作不僅是要完善語法，語義及知識庫的解釋，也期望能在實(shí)際的推理機(jī)上得到應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]BaaderF，LauxA.TerminologicalLogicswithModalOperators[C].Procofthe14thInt’lJointConfonArtificalIntel-ligence，1995：808-814.

[2]余泉，王駒.模態(tài)描述邏輯的模型[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24（2）：222-237.

[3]ZadehLA.FuzzylogicComputingwithwords.IEEETrans.onFuzzySystems，1996，4（2）：103-111.

[4]JiangYC，TangY，WangJ.FuzzyERmodelingwithdescriptionlogics.JournalofSoftware，2006，17（1）：20-30（inChinesewithEnglishabstract）.http：//www.jos.org.cn/1000-9825/17/20.htm.

[5]StoilosG，StamouG，PanJZ.Handlingimpreciseknowledgewithfuzzydescriptionlogic.In：ParsiaB，SattlerU，TomanD，eds.Proc.oftheInt’lWorkshoponDescriptionLogics.Aachen：CEUR-WS.orgPublishers，2006：71-79.

[6]余泉，王駒.模態(tài)描述邏輯的模型[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)半年刊學(xué)報(bào)2007，24（2）：222-237.

[7]余泉，張維，王駒.模態(tài)描述邏輯MALC模型的幾個(gè)代數(shù)性質(zhì)[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2010，32（10）：135-138.